完整版二次函数综合题分类讨论带答案doc.docx
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二次函数综合题分类讨论
一、直角三角形分类讨论:
1
1、已知点A(1,0),B(-5,0),在直线y
2
x
2上存在点C,使得ABC为直角三角形,
这样的C点你能找到
个
2、如图1,已知抛物线
C1:
y
ax
22
5
的顶点为P,与x轴相较于A、B两点(点
A在点B的左边),点B的横坐标是
1.
(1)求P点坐标及a的值;
(2)如图1,抛物线
C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线
C2向右平移,平移后得到抛物线
C3,C,3的顶
点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求
C,3的解析式;(3)如图2,点Q是x
轴正半轴上一点,将抛物线
C1绕点Q旋转180
后得到抛物线C,4,抛物线C,4的顶点为
N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形
是直角三角形时,求点
Q的坐标。
(2013
汇编P56+P147)
3、如图,矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上,边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的.O’点在x轴的正半轴上,B点的坐标为(1,3).
(1)如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为
—1.求这个二次函数的解析式;
(2)在
(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P,使得POM为直角三角形
若存在,请求出P点的坐标和POM的面积;若不存在,请说明理由;
?
(3)求边C’O’所在直线的解析式.
练习(09成都28)已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点
C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为y=kx-3,与x轴的交点为
N,且cos∠BCO
=(3√(10)/10).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在此抛物线上是否存在异于点
C的点P,
使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形?
若存在,求出点
P的
坐标;(3)过点A作x轴的垂线,交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,
使
抛物线与线段NQ总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度
?
向下最多可平移
多少个单位长度5?
4A
二、
4
3
2
1
N
2
B
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1
2
3P
4
M
5
6
等腰三角形分类讨论
1、如图,已知RtRtABC,ACB90,
BAC
30,在直线BC或直线AC上取一点P,
使得PAB是等腰三角形,则符合条件的
P点有
个
2
A
的坐标为
(12),
,点
B
的坐标为
(31),
,二次函数y
x2
、①,在平面直角坐标系中,点
的图象记为抛物线
l1.
(1)平移抛物线
l1,使平移后的抛物线过点
A,但不过点B,写出平移后的一个抛物线的
函数表达式:
(任写一个即可).
(2)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过A,B两点,记为抛物线l2,如图②,求抛物线
l2
的函数表达式.
(3)设抛物线
l2
△
△
,求点K的坐标.
的顶点为C,K为y轴上一点.若S
ABKS
ABC
(4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线
l2上是否存在点
P,使△ABP为等腰三角
形.若存在,请判断点P共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明师.
y
y
y
l2
l1
l2
A
A
A
1
B
1
C
B
x
1
B
O
x
O
O
1
x
1
1
图①
图②
图③
解:
(1)有多种答案,符合条件即可.例如
y
x2
1,y
x2
x,y
(x1)2
2或
yx2
2x3,y(x2
1)2,y(x1
2)2.
(2)设抛物线l2的函数表达式为
yx2
bx
c,
y
l2
Q点A(12),,B(31),在抛物线l2上,
K
G
A
1
b
c
,
b
9,
2
2
9
3b
c
解得
11
1
c.
2
抛物线l2的函数表达式为
y
x2
9
x
11
.
2
2
9x
11
9
2
7,
9,7
(3)y
x2
x
C点的坐标为
.
2
2
4
16
4
16
过A,B,C三点分别作x轴的垂线,垂足分别为
D,E,F,
则AD
2,CF
7
,BE
1,DE
5
,FE
3
16
2,DF
.
4
4
S△ABC
S梯形ADEB
S梯形ADFC
S梯形CFEB.
1(2
1)
2
1
2
7
5
1
1
7
3
15.
2
2
16
4
2
16
4
16
延长BA交y轴于点G,设直线AB的函数表达式为y
mx
n,
2
m
,
m
1,
Q点A(12),,B(31),在直线AB上,
n
2
1
3m
解得
5
n.
n.
2
直线AB的函数表达式为
y
1
x
5
G点的坐标为
5
2
.
0,.
2
2
B
Cx
ODFE
图②
设K点坐标为(0,h),分两种情况:
若K点位于G点的上方,则
KG
h
5
.连结
AK
,
BK
.
2
S△ABK
S△BKG
S△AKG
13
h
5
11
h
5
h
5.
2
2
2
2
2
QS△ABK
15
5
15
,解得h
55
K点的坐标为
55
S△ABC
,
h
16
16
.
0,
.
16
2
16
若K点位于G点的下方,则
KG
5
h.同理可得,h
25
.
2
16
y
K点的坐标为
25
.
l2
0,
16
A
(4)作图痕迹如图③所示.
B
由图③可知,点
P共有3个可能的位置.
O
图③
2、如图:
在平面直角坐标系中,
O为坐标原点,四边形
OABC是矩形,
y
点A、C的坐标分别为
A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在
P
C
BC边上运动,当
是腰长为5的等腰三角形时,点
P的坐标为
O
D
3、在菱形ABCD中,对角线
AC,BD相交于点O,以O为坐标原点,
以BD所在直线为x轴,CA所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,且
AC=12,BD=16,E为AD的中点,点P在线段BD上移动,若
为等
腰三角形,则所有符合条件的点
P的坐标为
三、
最值问题
B
类型一:
两点之间线段最短
C
1、请写出
2m32
1
8
2m2
4的最小值为
A
2、如图,四边形ABCD是正方形,
ABE是等边三角形,对角线BD上
60,得到BN,连
E
N
任一点,将BM绕点B逆时针旋转
EN、AM、CM,
求证:
(1)
AMB
ENB,
(2)M点在何处时,AM+CM值最小,(3)
AM+BM+CN
最小值为
31
时,求正方形的边长(2012汇编P52+P137)
B
x
B
x
A
y
A
E
x
D
D
M
C
3、(2010年天津25)在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B
分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点。
(1)若E为边OA上的
一个动点,当
CDE的周长最小时,求点
E的坐标;
(2)若
E、F为边
OA
的两个动点,且
EF=2,当四边形
CDEF
的周长最小时,求当
E、F的坐标
类型二
垂线段最短
1、已知对称轴为
y轴的抛物线
y
ax2
c,与直线
l1交于
A(-4,3),B(2,0)两点,经过
点C(0,-2)的直线l2与x轴平行,O为坐标原点。
(1)求直线l1和这条抛物线的解析式;
(2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙
A,判断直线l2与⊙A的位置关系,并说明理由;
(3)设直线l1上的点D的横坐标为-1,Pm,n是
(1)中抛物线上的动点,当
PDO的周
长最小时,求四边形CODP
的面积。
(2013汇编
P36+P139)
2、如图,在直角坐标系中,A点坐标为(-3,-2),⊙A的半径为1,P为x轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,则当PQ最小时,P点的坐标为
OP
Q
A
类型三三角形两边之差小于第三边
在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A,B的坐标分别为A(0,3)和B(5,0),连结AB;
(1)
现将AOB绕点O按逆时针方向旋转90,得到COD,(点A落到点C处),求经过B、
C、D三点的抛物线对应的函数关系式;
(2)将
(1)中抛物线向右平移两个单位,点B的
对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物线相较于点F。
P为平移后得到抛物线对称轴上一
个动点,连接PE、PF,当PEPF取得最大值时,求点P的坐标;(3)在
(2)的条件下,
当点P在抛物线对称轴上运动时,是否存在点P使得EPF为直角三角形?
如果存在,请
求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由。
(2012汇编P16+P125)
汇编2013P96同类型
类型四抛物线顶点的最值
已知抛物线
y
ax2
bx
c(a
0)与
x轴交于
A(-6,0)、B(2,0),与
y轴交于点
C(0,
-6)。
(1)求此抛物线的函数表达式,写出它的对称轴;
(2)若在抛物线的对称轴上存在一点M,使MBC的周长最小,求点M的坐标;(3)在
(2)的情况下,若点P(0,k)为线段
OC上的一个不与端点重合的动点,过点P作PD∥CM交x于点
的面积为S,求当点P运动到何处时S的值最大?
(2012汇编
D,连结MD、MP,设
P8+P123)
MPD
2013汇编P104+P169
三、等积转化问题
1、如图,是一个由弓形和三角形组成的组合图形,若取弧AB的中点M,弦AB的中点N,
连接MN和NC,则折线MNC将此图形分为两部分,这两部分的面积是否相等?
请你在图中画出一条直线,将这个组合图形分成面积相等的两部分,并说明这条直线的画法。
M
AB
N
C
2、我们把能平分四边形面积的直线成为“等积线”,下面是平分四边形面积的方法之一,利用作图,可以得到四边形的“等积线”,如图,在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,
连接OA,OC.显然,折线AOC能平分四边形ABCD的面积,再过点O作OE||AC交CD于E,则直线AE即为一条“等积线”。
(1)
在图中,画出经过
C点的四边形ABCD的“等积线”CK
(2)
如图,AE为四边形
ABCD的一条“等积线”,F为AD边上的一点,请画出经过F
点的四边形ABCD
的“等积线”,并写出画图步骤
D
D
F
AA
O
E
E
BCBC
3、已知:
如图,抛物线yax22axc(a0)与y轴交于点C(0,4),于x轴交于
点A,B,点A的坐标为(4,0)
(1)求抛物线的解析式
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE||AC,交BC于点E,连接CQ,当三角形
CQE的面积为3时,求Q的坐标
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与线段AC交于点F,点D的坐标为
(2,0),问:
是否存在这样的直线l,使得三角形ODF是等腰三角形?
若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由。
y
C
E
BOQDAx
4、如图,已知关于x的二次函数y
x2
bxc
(c0)的图形与x轴相交于A,B两
点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,且OB=OC=3,顶点为M,
(1)
求出二次函数的关系式
(2)
点P为线段MB上的一个动点,过点
P作x轴的垂线PD,垂足为D,若OD=m,
三角形PCD的面积为S,求S关于m的函数关系式,并写出
m的取值范围。
(3)
探索线段MB上是否存在点
P,使得三角形
PCD为直角三角形,如果存在,求出点
P的坐标,如果不存在,请说明理由。
y
M
C
P
AODBx
5、将直角边长为6的等腰直角三角形AOC放在平面直角坐标系中,点
O为坐标原点,点
C、A分别在x轴、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点
A,C,及点B(-3,0)
(1)
求该抛物线的解析式
(2)
若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当三
角形APE的面积最大时,求点
P的坐标
(3)
若点P(t,t)在抛物线上,则称点
P为抛物线的不动点,将(
1)中的抛物线进行平
7
移,平移后,该抛物线只有一个不动点,且顶点在直线y2x上,求此时抛物
4
线的解析式。
y
A
BOCx
6、已知抛物线yax2
bxc与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点
B在x轴
的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB 10x 160 的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2 (1)求A,B,C三点的坐标 (2)求次抛物线的表达式 (3) 连接AC,BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A,点B不重合),过点E作 EF||AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,三角形CEF的面积为S,求S与m 之间的函数关系式,写出自变量 m的取值范围,在此基础上试说明 S是否存在最大 值,若存在,是判断此时三角形 BCE的形状,若不存在,请说明理由。
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