扑克牌中的数学奥妙doc.docx
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扑克牌中的数学奥妙doc.docx
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扑克牌中的数学奥妙doc
扑克牌中的数学奥妙
一、小课题的选题缘由
现在不少同学痴迷于电脑游戏,很多电脑游戏,不但影响学业,还会对我们产生不良影响,早就引起家长同学的关注。
由此我们想到了一种既益智又感兴趣的游戏---扑克牌游戏。
这游戏可以训练我们的快速反应能力,游戏使我们的思维处于高速运转状态,能训练我们快速反应能力。
同时在数学学习中也有很大的好处:
①可以我们从不同的角度去解决问题;②可以让我们健脑,提升我们数学地思考问题能力。
③可以训练我们在数学解题中的推理能力和逻辑演绎能力。
二、课题研究主要内容
1.问题的提出
陈××(女,我的校友),她爸和我爸既是同事又是非常要好的朋友,而且他们俩还全是数学老师。
今年暑假,她们一家三口到我家玩。
我们聊天的过程中,爸爸拿出13张扑克(A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K),给我们做了一个扑克游戏。
爸爸先把游戏规则告诉我们,游戏规则:
一副扑克牌中选出1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K十三张扑克牌(最好同色)。
将十三张扑克适当排列,叠在一起,正面朝下,第一张抽到底部,第二张放在桌上(正面朝上),第三张抽到底部,第四张放在桌上(正面朝上),第五张抽到底部,第六张放在桌上(正面朝上),......依次类推。
最后排到桌面上的扑克顺序是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K。
我们非常好奇,要求爸爸教我们原来扑克的排列顺序。
爸爸却要求我们自己探索其中的奥秘。
好呀,谁怕谁。
就这13张牌,我们自己来摆弄摆弄动动手动动脑,一定把它搞定。
2、实验操作过程
实验1.扑克抽一发一
于是我与陈同学接过扑克,开始了游戏的探索历程。
我们设计了十三个方格,并给每个方格依次编了序号。
只要将扑克放入相应的编号中即可。
根据游戏规则,我们很快填好了,十三张扑克相应位置,如下表:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
8
2
9
3
10
4
J
5
Q
6
K
然后按以上表格中的扑克点数排好顺序,牌7放在最上面。
叠成一叠拿在手中,按游戏规则抽一张放底部,发一张到桌面上,很快我们完成了,此时桌面上的扑克牌的序号是:
A,2,3,4,5,6,7,9,J,K,10,
8,Q,我们发现牌7以下的顺序全错了。
为什么呢?
爸爸笑而不语,叫我们再想想,再摆摆,探索其余六张扑克的相应位置。
因为1—7这七张扑克已经对了。
所以我与陈同学将1—7这七张扑克放到相应的方格序号中,即:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
2
3
4
5
6
我们结合游戏的规则及第一次摆放的后六张的错误教训,我们苦苦冥想,正当山穷水尽的时候,陈同学说摆放8—K这六张扑克时,1—7这七张扑克已经放在桌上了,因此留下的空格序号只有6个,只要将剩下的六张扑克放入相应的六个空格序号中即可。
我恍然大悟,我们将余下的六个方格重新摆放,如下图:
剩下方
格序号
3
5
7
9
11
13
按照游戏规则,将8,9,10,这三张扑克放入相应序号的方格中,如下表:
剩下方
格序号
3
5
7
9
11
13
扑克
点数
抽
8
抽
9
抽
10
再将剩下的三张扑克J,Q,K,放入剩下的三个空白方格序号中,摆放如下:
剩下方
格序号
3
7
11
扑克
点数
抽
J
抽
再将剩下的两张扑克Q,K,放入剩下的两个空白方格序号中,摆放如下:
剩下方
格序号
11
3
扑克
点数
K
Q
这样十三张扑克点数与方格序号的对应关系如下表:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
Q
2
8
3
J
4
9
5
K
6
10
我们将十三张扑克按以上顺序放好,牌7放在最上面。
然后按照规则发牌,果然桌面上牌的顺序为:
A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K。
我们成功啦!
我们两个人别提有多高兴。
爸爸笑了,问我们怎么想到的?
我们把刚才的想法说出来,并列出表格加以说明。
第一次,把A-7这7张扑克按照规则放在相应的方格序号中。
如下表:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
抽
2
抽
3
抽
4
抽
5
抽
6
抽
第二次,因为1—7这七张扑克已经排好,所以只要排8—K六张
扑克。
根据游戏规则放入剩下的六个空格方格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
抽
2
8
3
抽
4
9
5
抽
6
10
第三次,因为A-10这十张扑克已经排好,所以只需排J-K这三张
扑克,根据规则放入剩下的三个空格方格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
抽
2
8
3
J
4
9
5
抽
6
10
第四次,因为A-J这十一张扑克已经排好,所以只需将Q,K这
张扑克根据规则放入剩下的两个空格方格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
Q
2
8
3
J
4
9
5
K
6
10
听完我们的分析,爸爸笑着点了点头。
实验2.钟表
接着爸爸指了指墙上的钟面说,发牌的顺序,首尾顺次连结就像钟面上的十二个数字一样,你们能由钟面来解释吗?
于是我与陈同学画了个钟面,并在钟面上依次标了1—13,这十三个数字作为顺序,如下图
说明:
第一次,1—7这七张扑克
第二次,8—10,这三张扑克
第三次,J这张扑克
第四次,Q,K这两张扑克
结果发现这与画十三个方格序号是一样的道理。
此时,两个爸爸聚在一起“鬼鬼祟祟”地嘀咕着,看来又要给我们出难题了。
果不其然,两个鬼爸爸对我们俩说,能不能再用不同的方法排出发牌的顺序?
爸爸友情提示:
假设法。
于是我们将1— K,这十三张扑克依次放在1—13个序号方格内,如下图:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
J
Q
K
然后按规律将牌发到桌面上,桌面上的牌依次为:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
2
4
6
8
10
Q
A
5
9
K
7
3
J
结合上述两表格
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
Q
2
8
3
J
4
9
5
K
6
10
我们用假设法,同样找到了正确的发牌顺序。
爸爸问,利用着十三张扑克,你们还能玩出什么花样来?
我与陈同学想,能不能将抽一张扑克到底部换成抽两张扑克到底部呢?
那么游戏规则是:
抽二发一。
我们将事先画好的十三个方格进行填补和摆放。
第一次,根据游戏规则抽二发一将牌A,牌2,牌3,牌4,放入相应的方格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
抽
抽
A
抽
抽
2
抽
抽
3
抽
抽
4
抽
第二次,将剩下的扑克放入相应的剩下的九个方格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
抽
5
A
抽
抽
2
6
抽
3
抽
7
4
抽
第三次,将剩下的扑克放入相应剩余的六个方格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
抽
5
A
8
抽
2
6
抽
3
9
7
4
抽
第四次,将剩下的扑克放入相应的四个空格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
抽
5
A
8
10
2
6
抽
3
9
7
4
抽
第五次,将剩下的扑克放入相应的空格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
J
5
A
8
10
2
6
抽
3
9
7
4
抽
第五次,将剩下的扑克放入相应的空格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
J
5
A
8
10
2
6
Q
3
9
7
4
K
我们根据规则发牌,当然成功的。
我们用假设法同样得到这样由小到大的发牌顺序。
陈同学把手举得高高的说:
“我现在抽三张扑克,发一张,我也会!
”
我也说:
“抽四张发一张扑克我也会,还有抽五发一,我照样会!
”
妈妈在一边接着说:
“那么抽一张扑克,发两张呢,会不会也一样可以呢?
”
妈妈的问题提醒了我们。
我们尝试着操作:
第一次,根据游戏规则抽一发二将扑克点数方入相应的方格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
抽
A
2
抽
3
4
抽
5
6
抽
7
8
抽
第二次,将剩下的扑克放入相应的方格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
9
A
2
10
3
4
抽
5
6
J
7
8
Q
第三次,将剩余的一张扑克放入最后一个方格序号中:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
9
A
2
10
3
4
K
5
6
J
7
8
Q
根据规则发牌,成功!
探究到此时,我们想一副扑克54张,如果定一个规则发牌,原理也是同样的。
我们制定了一个规则:
54张扑克,抽一张到底部,再发一张到桌面上,以此类推,最后桌面上的顺序是,四张A,四张2,四张3,四张4,……四张K,然后是小王和大王。
同点数的四张扑克又按黑桃,红桃,梅花和方块顺序排列。
经过合作,我们成功地排列正确的发牌顺序!
我们完全学会了这种扑克游戏!
3、原理探索
爸爸问我们,能不能用学过的数学知识解释由A到K这十三张扑克抽一发一的数学原理?
我们非常兴奋,又陷入了沉思之中。
规则:
抽一发一,抽一发一,抽一发一……
因为1+1=2张,所以这个游戏规则的周期是2张的扑克。
第一轮:
扑克的总数是13张,13÷2=6……1,此时商是6,所以第一轮发到桌面上的是6个循环期数,又因为规则是发一,所以发到桌面上的是六张扑克牌,分别是牌A,牌2,牌3,牌4,牌5和牌6。
规则是抽一发一,周期为2。
即1×2=2,2×2=4,3×2=6,4×2=8,5×2=10,6×2=12,所以这六张扑克点数与方格序号的关系如下表:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
A
2
3
4
5
6
因为算式13÷2=6……1,中的余数是1,所以第一轮牌6之后,还有一张牌方格序号为13.,那么下一轮的第一个方格序号是13.。
第二轮,因为13-6=7,所以剩下的七张牌放置在相应的七个方格序号中即可。
第二轮的七个方格序号依次为:
13.1.3.5.7.9.11.
再由算式7÷2=3……1,可知商是3,所以第二轮发到桌面上的牌是3个循环期数,因为规则是发一,所以发到桌面上的是三张扑克,分别是牌7,牌8,牌9。
对应的方格序号与扑克点数关系如下表:
方格
序号
⒔
⒈
⒊
⒌
⒎
⒐
⒒
扑克点数
7
8
9
因为余数是1,所以第二轮牌9之后是一个方格序号,这个方格序号就是11.,方格序号11也是下一轮的第一个方格序号。
第三轮,因为13-6-3=4,所以剩下的四张扑克放入剩下的四个方格序号即可,第三轮中四个序号方格依次为11.13.3.7.。
再由算式4÷2=2,因为商是2,所以这一轮发到桌面上的是2个循环期数,因为规则是发一,所以第三轮发到桌面上的是牌10和牌J这两张扑克,对应的扑克点数与方格序号如下表:
方格
序号
⒒
⒔
⒊
⒎
扑克点数
10
J
因为余数是0,所以在第三轮中牌J之后没有方格序号了,所以在下一轮中第一个方格序号仍然是11.
第四轮,13-6-3-2=2,所以在第四轮中两个方格序号分别为11.和3.再由2÷2=1,可知这次的商是1,所以这轮发到桌面上的牌为Q,对应的方格序号是3.
第五轮,由13-6-3-2-1=1,所以剩下的一张牌K和剩下的一个方格序号11对应。
这样,我们得到的方格序号与扑克点数关系如下表:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
7
A
Q
2
8
3
J
4
9
5
K
6
10
由此可见,我们用除法算式揭示了发牌顺序,被除数表示每一轮中留在手上的扑克张数,除数是游戏规则中抽发牌的周期,商是周期的循环期数,余数是这一轮中发到桌面上的最后一张牌之后的方格序号的个数,也是下一轮中的是前几个方格序号的个数。
这样,依次应用几次除法算式,利用每次的商和余数,得到每次发到桌面上的扑克点数与序号方格的对应位置,从而得到发牌顺序。
抽一发一被我们攻克了,我们又发起了向抽二发二挑战!
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
因为抽二张发二张,抽二发二,……如此反复,所以这次游戏的规则周期是2+2=4。
第一轮,拿手上的扑克张数是13张,由此得到13÷4=3……1,因为商是3,所以此次发到桌面上的是3个循环期数,第一循环是牌A和牌2,第二循环是牌3和牌4,第三循环是牌5和牌6。
牌A对应的方格序号:
0×4+3=3,
牌2对应的方格序号:
0×4+4=4,
牌3对应的方格序号:
1×4+3=7
牌4对应的方格序号:
1×4+4=8
牌5对应的方格序号:
2×4+3=11
牌6对应的方格序号:
2×4+4=12
因为余数是1,所以发到桌面上的最后一张牌牌6的对应方格序号12之后有一个方格序号13,也是下一轮中的第一个方格序号。
因为13-3×2=7,所以第二轮还剩下7个方格序号依次为:
13.1.2.5.6.9.10.。
第二轮,由7÷4=1……3,商是1,所以这一轮发到桌面上的是一个循环期数,即牌7和牌8。
牌7对应的方格序号是2.
牌8对应的方格序号是5.
由于余数是3,3>2,所以牌9的对应方格序号是10.,因此这一轮发到桌面上的是三张牌,分别是牌7,牌8和牌9,因为牌9对应的方格序号是10,方格序号10是这一轮的最后一个方格序号,所以下一轮的方格号依次为:
13.1.6.9.
第三轮,牌10的对应方格序号是13,所以下一轮的方格序号依次为:
1.6.9.
第四轮,因为规则是抽二发二,所以牌J的对应方格序号是9,牌Q对应方格序号是1,那么牌K的对应序号是6
综上所述,这一游戏的规则,抽2张发2张的扑克点数和方格序号的对应关系为:
方格
序号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
⒒
⒓
⒔
扑克点数
Q
7
A
2
8
K
3
4
J
9
5
6
10
我们将这个发牌顺序按照游戏规则发牌,顺序正确。
接下来,我们用13张扑克按抽2张发3张规则,用除法算式,得到发牌顺序,顺序也正确。
我们为了挑战难度,就用整副扑克54张扑克,照样成立。
三、课题研究的启发和收获
通过对这次扑克游戏的探索和研究,使我们懂得了生活中处处有数学,数学来源于生活,只要细心观察,深入思考,积极探索,都能发现基本的科学原理,归纳出它的数学规律。
这次扑克游戏,我们先动手摆摆扑克,归纳出发牌的顺序,由简单的13张找出规律,再推广到整一副54张扑克的排序,再想到改变游戏规则,最后又从游戏规则中挖掘出数学原理:
周期问题和余数问题。
这个游戏不但培养我们严密的思维习惯和解决问题的能力,而且更重要的是培养了我们爱学习爱思考的创新性思维,通过玩游戏引起我们的研究热情。
同时还让我们远离电脑游戏,还我们一个“绿色低碳”儿童游戏。
我们受益非浅啊!
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