高考函数知识点总结.docx

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高考函数知识点总结

高中函数大全

一元二次函数

定义域区间

定

义

对应法则

一元二次不等式

值域

指

根式分数指数

映

射

数

函

数

指数函数的图像和性质

指数方程

对数方程

函

数

性

质

奇偶性

单调性

对数的性质

积、商、幂与周期性

根的对数

对数

反

函

数

互为反函数的

函数图像关系

对

数

对数恒等式

和不等式

函

数

常用对数

自然对数

对数函数的图像和性质

函数概念

（一）知识梳理

1．映射的概念

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的

元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:

AB，f表示对应法则

注意：

⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

（1）函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一

确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为yf（x）,xA

（2）函数的定义域、值域

在函数yf（x）,xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做yf（x）的定义域；与x的值相对应的y值

叫做函数值，函数值的集合f（x）xA称为函数yf（x）的值域。

（3）函数的三要素：

定义域、值域和对应法则

3．函数的三种表示法：

图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：

就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：

就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

（3）．解析法：

就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：

映射的概念

例1．

（1）AR，B{y|y0}，f:

xy|x|；

（2）

*

A{x|x2,xN}，By|y0,yN，

2

f:

xyx2x2；

（3）A{x|x0}，B{y|yR}，f:

xyx．

上述三个对应是A到B的映射．

例2．若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,cR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B

的函数有个

例3．设集合M{1,0,1}，N{2,1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：

对M中的每个元素x与

它在N中的象f（x）的和都为奇数，则映射f的个数是（）

（A）8个（B）12个（C）16个（D）18个

考点2：

判断两函数是否为同一个函数

例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）

2

f（x）x，

33

g（x）x；

（2）

x

f（x），

x

g（x）

1

1

x

x

0,

0;

（3）

2121

nxn

f（x），

2nx）

12n1

*）；

g（x）（（n∈N

2

（4）f（x）xx1，g（x）xx；

2x2t（5）（）21

fxx，g（t）t21

考点3：

求函数解析式

方法总结：

（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数f[g（x）]的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）

题型1：

由复合函数的解析式求原来函数的解析式

2x

例1．已知二次函数f（x）满足（21）465

fxx，求f（x）（三种方法）

1x

例2．（09湖北改编）已知）

f（=

1x

1

1

2

x

2

x

，则f（x）的解析式可取为

题型2：

求抽象函数解析式

1

例1．已知函数f（x）满足（x，求f（x）

fx）2f（）3

x考点4：

求函数的定义域

题型1：

求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：

如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注

意：

①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数

不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的

交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：

研究函数的有关问题一定要注意定义域优

先原则，实际问题的定义域不要漏写。

122

例1.（08年湖北）函数f（x）ln（3234）

xxxx

x

的定义域为（）

A.（,4）[2,）;B.（4,0）（0,1）；C.[,4,0）（0,1];D.[,4,0）（0,1）

题型2：

求复合函数和抽象函数的定义域

例1．（2007·湖北）设f

x

2x

lg，则

2x

f

x

2

f

2

x

的定义域为（）

A.4,00,4；B.4,11,4；C.2,11,2；D.4,22,4

例2．已知函数yf（x）的定义域为[a，b]，求yf（x2）的定义域

例3．已知yf（x2）的定义域是[a，b]，求函数yf（x）的定义域

例4．已知yf（2x1）的定义域是（-2，0），求yf（2x1）的定义域

考点5：

求函数的值域

1．求值域的几种常用方法

（1）配方法：

对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4（cosx1）22解决

（2）基本函数法：

一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

22x

如函数ylog1（x2x3）就是利用函数yu

log和ux23的值域来求。

1

22

（3）判别式法：

通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数

2x1313313

y的值域[,]

2x

x2222

（4）分离常数法：

常用来求“分式型”函数的值域。

如求函数

2cosx3

y的值域，因为

cosx1

（5）利用基本不等式求值域：

如求函数

3x

y的值域

2

x4

（6）利用函数的单调性求求值域：

如求函数y2x4x22（x[1,2]）的值域

（7）图象法：

如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数

32

f（x）2x4x40x，x[3,3]的最小值。

（－48）

（9）对勾函数法像y=x+

m

x

，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了

三种模型：

（1）如

yx

4

x

，求

（1）单调区间

（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x[-1,0）（0,4],求值域

（2）如

yx

4

x4，

求

（1）[3,7]上的值域

（2）单调递增区间（x0或x4）

1

（3）如y2x

，

（1）求[-1,1]上的值域

（2）求单调递增区间x3

函数的单调性

（一）知识梳理

1、函数的单调性定义：

设函数yf（x）的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值

x，x2，当x1x2时，都有

1

f（x1）f（x2），那么就说yf（x）在区间I上是单调增函数，I称为yf（x）的单调增区间；如果对于区间I

内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说yf（x）在区间I上是单调减函数，I

称为yf（x）的单调减区间。

如果用导数的语言来，那就是：

设函数yf（x），如果在某区间I上f（x）0，那么f（x）为区间I上的增函数；

如果在某区间I上f（x）0，那么f（x）为区间I上的减函数；

2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间（a,b）内，若总有f（x）0，则f（x）

为增函数；反之，若f（x）在区间（a,b）内为增函数，则f（x）0，

b

（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意（0

yaxa

x

b0）型函数的图

bb

象和单调性在解题中的运用：

增区间为（,],[,）

aa

（3）复合函数法：

复合函数单调性的特点是同增异减

bb

，减区间为[,0）,（0,]

aa

.

（4）若f（x）与g（x）在定义域内都是增函数（减函数），那么f（x）g（x）在其公共定义域内是增函数（减

函数）。

3、单调性的说明：

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；

（2）函数单调性定义中的

x，x2有三个特征：

一是任意性；二是大小，即x1x2（x1x2）；三是同属于

1

一个单调区间，三者缺一不可；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数

y

1

x

分别在（,0）和（0,）内

都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即（,0）（0,）内是单调递减的，只能说函数

y

1

x

的单调递

减区间为（,0）和（0,）

。

4、函数的最大（小）值

设函数yf（x）的定义域为A，如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f（x）f（x0）恒成立，那么称

f为yf（x）的最大值；如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f（x）f（x0）恒成立，那么称

（x0）

f（x0）为yf（x）的最小值。

（二）考点分析

考点1函数的单调性

题型1：

讨论函数的单调性

例1．

（1）求函数

2

ylog（x3x2）的单调区间；

0.7

（2）已知

2

f（x）82xx,若

2

g（x）f（2x）试确定g（x）的单调区间和单调性．

例2.判断函数f（x）=1

2

x在定义域上的单调性.

题型2：

研究抽象函数的单调性

例1．已知函数f（x）的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有

f（xx）f（x）f（x），且

1212

当x1时f（x）0,f

（2）1，

（1）求证：

f（x）是偶函数；

（2）f（x）在（0,）上是增函数；（3）解不等式

2

f（2x1）2．

题型3：

函数的单调性的应用

例1．若函数f（x）x22（a1）x2在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______

例2．已知函数

f（x）

ax

x

1

在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____

2

考点2函数的值域（最值）的求法

求最值的方法：

（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。

（2）利用函数的单调性求最值：

先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。

（3）基本不等式法：

当函数是分式形式且分

子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。

（4）导数法：

当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形

结合法：

画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。

题型1：

求分式函数的最值

例1．（2007上海）已知函数f（x）

x

2

2x

x

a

x[1,）.当

1

a时，求函数f（x）的最小值。

2

题型2：

利用函数的最值求参数的取值范围

2

x2xa

例2．（2008广东）已知函数f（x）,x[1,）.若对任意x[1,）,f（x）0恒成立,试求实数a的

x

取值范围。

函数的奇偶性

（一）知识梳理

1、函数的奇偶性的定义：

①对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）f（x）〔或

f（x）f（x）0〕，则称f（x）为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数f（x）的定义域内任意一

个x，都有f（x）f（x）〔或f（x）f（x）0〕，则称f（x）为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函

数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

2.函数的奇偶性的判断：

（1）可以利用奇偶函数的定义判断f（x）f（x）

（2）利用定义的等价形式,f（x）f（x）0，

f（x）

f（x）

1（f（x）0）

（3）图像法：

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称

3．函数奇偶性的性质：

（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上

若有单调性，则其单调性恰恰相反.

（2）若奇函数f（x）定义域中含有0，则必有f（0）0.故f（0）0是f（x）为奇函数的既不充分也不必要条

件。

（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。

如设f（x）是定义域为R的任一函数，（）（）（）

fxfx

Fx，

2

f（x）f（x）

G（x）。

2

（4）复合函数的奇偶性特点是：

“内偶则偶，内奇同外”.

（5）设f（x），g（x）的定义域分别是

D1,D2，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=

偶，偶偶=偶，奇偶=奇．

（二）考点分析

考点1判断函数的奇偶性及其应用

题型1：

判断有解析式的函数的奇偶性

例1．判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；

（2）f（x）=（x－1）·

1

1

x

x

；

（3）

2

1x

f（x）；（4）

|x2|2

f（x）

x（1

x（1

x）

x）

（

（

x

x

0）,

0）.

题型2：

证明抽象函数的奇偶性

xy

例1.（09年山东）定义在区间（1,1）上的函数f（x）满足：

对任意的x,y（1,1），都有f（x）f（y）f（）.

1xy

求证f（x）为奇函数；

例2．

（1）函数f（x），xR，若对于任意实数a,b，都有f（ab）f（a）f（b），求证：

f（x）为奇函数。

（2）设函数f（x）定义在（l,l）上，证明f（x）f（x）是偶函数，f（x）f（x）是奇函数。

考点2函数奇偶性、单调性的综合应用

例1．已知奇函数f（x）是定义在（2,2）上的减函数，若f（m1）f（2m1）0，求实数m的取值范围。

例2．设函数f（x）对于任意的x,yR，都有f（xy）f（x）f（y），且x0时f（x）0,f

（1）2

（1）求证f（x）是奇函数；

（2）试问当3x3时，f（x）是否有最值？

如果有，求出最值；如果没有，说出理由。

2+a+1）

值范围，并在该范围内求函数y=（

1

2

）

2a

a3的单调递减区间.

1

函数的周期性

（一）知识梳理

1．函数的周期性的定义：

对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f（xT）f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

2．周期性的性质

（1）若yf（x）图像有两条对称轴xa,xb（ab），则yf（x）必是周期函数，且一周期为

T2|ab|；

（2）若yf（x）图像有两个对称中心A（a,0）,B（b,0）（ab），则yf（x）是周期函数，且一周期为

T2|ab|；

（3）如果函数yf（x）的图像有一个对称中心A（a,0）和一条对称轴xb（ab），则函数yf（x）必是周期

函数，且一周期为T4|ab|；

（4）①若f（x+a）=f（x+b）则T=|b-a|；②函数f（x）满足fxfax，则f（x）是周期为2a的周期函数；

③若

1

f（xa）（a0）

f（x）

恒成立，则T2a；④若

1

f（xa）（a0）

f（x）

恒成立，则T2a.

（二）考点分析

考点2函数的周期性

33

例1．设函数f（x）是定义域R上的奇函数，对任意实数x有）

f（x）f（x成立

22

（1）证明：

yf（x）是周期函数，并指出周期；

（2）若f

（1）2，求f

（2）f（3）的值

考点2函数奇偶性、周期性的综合应用

例1.（09年江苏题改编）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x2）f（x）1对于xR恒成立，且f（x）0，

则f（119）________。

例2．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x2）f（x）

（1）求证：

f（x）是周期函数；

11

（2）若f（x）为奇函数，且当0x1时，f（x）x，求使f（x）x在0,2009上的所有x的个数。

22

2.5二次函数

（一）知识梳理

1．二次函数的解析式的三种形式：

（1）一般式：

f（x）=ax

2+bx+c（a≠0）。

（2）顶点式（配方式）：

f（x）=a（x-h）2+k其中（h,k）是抛物线的顶点坐标。

（3）两点式（因式分解）：

f（x）=a（x-x1）（x-x2）,其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。

2．二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴

x

b

2a

2

b4acb

，顶点坐标（,）

2a4a

b

（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]

（,

2a

b

上单调递减，在[,）

2a

上单调递增，

x

b

2a

时，

f

2

4acb

（x）

min；

4a

b

（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]

（,

2a

b

上单调递增，在[,）

2a

上单调递减，

x

b

2a

时，

f

2

4acb

（x）

max。

4a

3．二次函数f（x）=ax

2ac

2+bx+c（a≠0）当b40时图象与x轴有两个交点M1（x1,0）,M2（x2,0）

2

M1Mxx（xx）4x1x2。

21212

a

4．根分布问题:

一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：

令f（x）=ax2+bx+c（a>0），

00

（1）x1<α,2x<α则,

b/（2a）;

（2）x1>α,2x>α则,b/（2a）

af（）0