高等数学微分方程试题及答案docx.docx
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高等数学微分方程试题及答案docx
第九章常微分方程
一.变量可分离方程及其推广
1.变量可分离的方程
(1)方程形式:
dyPxQyQy0通解dyPxdxC
dxQy
(注:
在微分方程求解中,习惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任意常数另外再加)
(2)方程形式:
M1
xN1ydx
M2
xN2
ydy
0
通解
M1
xdx
N2
ydyC
M2x0,N1y0
M2
x
N1
y
2.变量可分离方程的推广形式
dy
f
y
(1)齐次方程
x
dx
令y
u,则dy
uxdu
fu
f
du
dx
cln|x|c
x
dx
dx
uu
x
二.一阶线性方程及其推广
1.一阶线性齐次方程
dyPxy0它也是变量可分离方程,通解yCePxdx,(c为任意常数)
dx
2.一阶线性非齐次方程
精品文档
令z
y1
把原方程化为
dz
1
Pxz1Qx再按照一阶线性
dx
非齐次方程求解。
dy
1
可化为dx
PyxQy
y
x
4
以
为自变量,
.方程:
Pyx
dy
dxQy
为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。
三、可降阶的高阶微分方程
方程类型
解法及解的表达式
通解y
n
C2xn2
Cn1xCn
y
n
f
fxdxC1xn1
x
n次
令y
p,则y
p,原方程
y
f
x,y
f
x,p——一阶方程,设其解为
p
gx,C1
p
,
即y
gx,C1,则原方程的通解为
y
gx,C1
dx
C2。
令y
p,把p看作y的函数,则y
dp
dp
dy
pdp
dx
dy
dx
dy
y
f
把y
,y的表达式代入原方程,得dp
1fy,p
—一阶方程,
y,y
dy
p
dy
dx
PxyQx用常数变易法可求出通解公式
设其解为p
gy,C1
即dygy,C1
,则原方程的通解为
dx
令yCxePxdx代入方程求出Cx则得
yePxdx
QxePxdxdxC
3.伯努利方程
dy
Qxy
0,1
Pxy
dx
dy
xC2
。
gy,C1
.
四.线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构,其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程
y
pxy
qxy
0
(1)
二阶非齐次线性方程
y
pxy
qxy
fx
(2)
1.若y1x
,y2
x为二阶齐次线性方程的两个特解,则它们的线性组合
C1y1
xC2y2
x(C1,C2
为任意常数)仍为同方程的解,特别地,当
y1x
y2
x
(
为常数),也即y1x
与y2
x
线性无关时,则方程的通解
为yC1y1xC2y2x
2.若y1x,y2x
为二阶非齐次线性方程的两个特解,则
y1xy2x为
对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
3.若yx为二阶非齐次线性方程的一个特解,
而yx
为对应的二阶齐次线性
方程的任意特解,则
yx
yx为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
4.若y为二阶非齐次线性方程的一个特解,
而C1y1x
C2y2x为对应的二
阶齐次线性方程的通解(
C1,C2为独立的任意常数)则
y
yx
C1y1
x
C2y2
x是此二阶非齐次线性方程的通解。
5.设y1x与y2
x分别是y
pxy
qxy
f1
x
与
y
px
y
qxy
f2
x的特解,则y1
x
y2x
是
y
px
y
qxy
f1
x
f2x的特解。
精品文档
五.二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
1.二阶常系数齐次线性方程
ypy
qy
0
其中p
,q为常数,
特征方程
2
p
q0
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
(1)特征方程有两个不同的实根
1,
2则方程的通解为
y
C1e1x
C2e2x
(2)特征方程有二重根
1
2
则方程的通解为
y
C1
C2xe1x
(3)特征方程有共轭复根
i,则方程的通解为
y
ex
C1cos
x
C2sin
x
2.n阶常系数齐次线性方程
yn
p1yn
1
p2yn2
pn1y
pny
0
其中pi
i
1,2,
n为常数。
相应的特征方程
n
p1
n1
n
2
pn
pn
0
p2
1
特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
(1)若特征方程有
n个不同的实根1,
2,
n则方程通解
yC1e1x
C2e2x
Cnenx
(2)若
0为特征方程的
k重实根k
n则方程通解中含有
y=C1
C2x
Ckxk1e0x
(3)若
i
为特征方程的k重共轭复根
2k
n
,则方程通解中含有
ex
C1
C2x
Ckxk1
cos
x
D1
D2x
Dkxk1
sin
x
由此可见,常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定,但是
三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得,因此只能讨论某些容易求特征方程
的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
.
六、二阶常系数非齐次线性方程
方程:
y
py
qy
f
x
其中p,q为常数
通解:
y
y
C1y1
x
C2y2
x
其中C1y1x
C2y2
x为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨
论。
所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解
y如何求?
1.f
x
Pn
xex其中Pn
x
为n次多项式,
为实常数,
(1)若
不是特征根,则令
y
Rnxex
(2)若
是特征方程单根,则令
y
xRxex
n
(3)若
是特征方程的重根,则令
y
x2Rnxex
2.f
x
Pnxexsin
x
或
f
x
Pnxexcos
x
其中Pnx为n次多项式,
皆为实常数
(1)若
i
不是特征根,则令
y
exRnxcos
x
Tnx
sin
x
(2)若
i
是特征根,则令
y
xex
Rn
xcos
x
Tn
xsin
x
例题:
一、齐次方程
x2dy
xydy的通解2.
x
x
xdy
1.求y2
1
eydx
ey
1
0
dx
dx
y
二、一阶线形微分方程
1.ydx
(yx)dy
0,y(0)
1.2.求微分方程dy
x
y
的通解
dx
y4
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三、伯努力方程xy'yx3y6
四、可降阶的高价微分方程
1.求(1
x)y
y
ln(x
1)的通解
2.2y''
(y')2
y,y(0)
2,y'(0)
1
五、二阶常系数齐次线形微分方程
1.y(5)
y(4)
2y'''
2y''
y'
y
0
2.y(4)
5y''
10y'
6y
0,y(0)
1,y'(0)
0,y''(0)
6,y'''(0)14
六、二阶常系数非齐次线形微分方程
1.求y
2y
3y
2ex的通解
2.求方程y
y
2y
2cos2x的通解
3.y''
y
x
3sin2x
2cosx
七、作变量代换后求方程的解
1.求微分方程(y
x)
1
x2
dy
(1
3
y2)2的通解
dx
2.x(y
1)
sin(x
y)
0,y(
)
0
2
3.1
x
2
y'sin2y
2xsin
2
y
2
1x2
e
4.xy'lnxsiny
cosy(1
xcosy)
0
八、综合题
x
(x
t)f(t)dt,其中f(x)连续,求f(x)
1.设f(x)=xsinx-
0
2.已知y1
xex
e2x,y2
xex
ex,y3
xex
e2x
ex是某二阶线性
非齐次常系数微分方程的三个解,求此微分方程及其通解
.
3.设F(x)
f(x)g(x),其中f(x),g(x)在(
)内满足以下条件
.
f(x)g(x),g(x)f(x),且f(0)0,f(x)g(x)2ex
(1)求F(x)所满足的一阶和二阶微分方程
(2)求出F(x)的表达式
4.设函数y=y(x)在
内具有二阶导数,且
y
0,xx
y
是y=y(x)
d2x
dx
3
的反函数.
(1)试将x=x(y)所满足的微分方程
y
sinx
0变换
dy2
dy
为y=y(x)满足的微分方程;
(2)求变换后的微分方程满足初始条件
y(0)=0,
y0
3
的解.
2
5.设
(x)是以2为周期的连续函数,
(x)(x),
(0)
0,(2
)
0
(1)
求微分方程dy
ysinx
(x)ecosx的通解
dx
以上这些解中,有没有以
2为周期的解?
若有,求出,若无,说明理由
6.已知曲线y=f(x)(x>0)是微分方程
2y//+y/-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线,此曲线
通过原点,且在原点处的切线斜率为0,试求:
(1)曲线y=f(x)到x轴的最大距离。
(2)计算f(x)dx
0
九、微分方程的几何和物理应用
1.设函数y(x)(x0)
二阶可导,且
f(x)
0,y(0)1,过曲线y
y(x)上任意一
点P(x,y)作该曲线的切线及
x轴的垂线,上述两直线与
x轴所围成的三角形的面
积记为S,区间0,x
上以
y
y(x)
为曲边的曲边梯形面积记为
S,并设2S
S
1
2
1
2
恒为1,求此曲线y
y(x)
的方程。
2.设曲线L的极坐标方程为
rr(
),M(r,
)为L任一点,M0(2,0)为L上一定
精品文档
点,若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于
L上M0M两点
间弧长值的一半,求曲线
L的方程。
3.有一在原点处与
x
轴相切并在第一象限的光滑曲线,
P(x,y)为曲线上的任一点。
设曲线在原点与
P点之间的弧长为
S1,曲线在P点处的切线在
P点与切线跟y轴
的交点之间的长度为
S2,且
3S1
2
=2(x1),求该曲线的方程。
S2
x
4.设函数f(x)在1,
上连续,若曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x
轴围成平面图形绕
x轴旋转一周所成旋转体的体积
V(t)=
t2ftf1,试
3
求y=f(x)所满足的微分方程,并求
yx22的解.
9
5.一个半球体状的雪球,其体积融化的速率与半球面面积
S
成正比,比例常数
K0,假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆开始融化
的3小时内,融化了其体积的7,问雪堆全部融化需要多少小时。
8
6.有一房间容积为100m3,开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%,为了改善房间
的空气质量,用一台风量为10m3/分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空
气,同时以相同的风量将混合均匀的空气排出,求排出10分钟后,房间中二氧化
碳含量的百分比?
7.有一容积为500m3的水池,原有100m3的清水,现在每分钟放进2m3浓度为50%
的某溶液,同时每分钟放出1m3溶液,试求当水池充满时池中溶液浓度。
.
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8.某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物
A的污水量为V,流入湖泊内不
6
含污染物A的污水量为V,流出湖泊的水量为
V,已知1999年底中湖中A的含
6
3
量为5m0,超过国家规定指标,为了治理污染,从
2000年初起,限制排入湖泊中
含A污水的浓度不超过
m0,问至多需要经过多少年,湖泊中污染物
A的含量才
V
可降至m0以内。
(设湖水中A的浓度是均匀的)。
9.已知某车间的容积为
30×30×6m3
,其中的空气含
0.12%的二氧化碳,现以含
二氧化碳
0.04%的新鲜空气输入,问每分钟应输入多少,才能在
30分钟后使车间
空气中二氧化碳的含量不超过
0.06%,(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合
均匀,且以相同流量排出)。
10.有一平底容器,其内侧壁是由曲线
x
(y)(y0)绕y
轴旋转而成的旋转曲面(如图)
,容器的底面圆的半径为
2m.
根据设计要求,当以
33/min
的速率向容器内注入液体时,
m
液面的面积将以m2
/min的速率均匀扩大(假设注入液体前
容器内无液体).
(1)
根据t时刻液面的面积,写出
t与
(y)之间的关系式;
(2)
求曲线x
(y)的方程.
.
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