(3)分段函数:
厂(对=匕°;={,
[f2(x)x>x0ax=xQ
(4)复合(含/)函数:
y=f(u\u=
⑸隐式(方程):
Fgy)=O
(6)参式(数一,二):
(A=A(Z)
[y=y(0
(7)变限积分函数:
F(x)=
(8)级数和函数(数一,三):
S(x)=工①玖xw。
心)
2.特征(几何):
⑴单调性与有界性(判别);(/(x)单调=>Va;p(x-x0)(/«-/(a0))左号)
(2)奇偶性与周期性(应用).
3.反函数与直接函数:
y=/(x)ox=/-'(y)=>y=/_1Cv)
2.极限性质:
1.类型:
*liman;*liin/(x)(含xt±°o);*lim/(x)(含xtx。
士)
n—>oo*XT心
2.无穷小与无穷大(注:
无穷量):
3.未定型:
—,—,1°°»O0—OO,0・S,0°,QO°
0O0
4.性质:
*有界性,气呆号性,.归并性
3.常用结论:
丄丄1
t1,an(°>0)T1,(a11+bn+cny—>max(«,Z?
c),
+(a>0)T0
(10=l+x+丄十+o(Q;
2!
(2)ln(l+x)=x-—x2+o(x2);
2
(3)sinx=x-—x3+o(x4);
3!
(4)cosx=1-—x2+—x4+o(x5);
2!
4!
(5)(l+x)“=l+ax+—+(7(^2).
2!
oo°);
(2)变量代换(如丄=/
X
五・常规方法:
前提:
⑴准确判断-.-X.aM(其它如:
oo-oo,0・s,0",0OO
1.抓大弃小(工),
2.无穷小与有界量乘积(d・M)(注:
sin丄oo)
x
3・I00处理(其它如:
0°,oo°)
4.左右极限(包括XT±=o):
1丄
⑴一(xtO);
(2),(x->s);K(xtO);(3)分段函数:
Ixl,[x],maxf(x)x
5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:
非零因子)
6.洛必达法则
0i-lnxvlnr
⑴先”处理”,后法则(上最后方法);(注意对比:
lim亠怛与lim竺纤
0zl-x31-x
1丄丄】I
(2)幕指型处理:
M(X)V(X)=严*"⑴(如:
戶_石=7(戶=一1))
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7.泰勒公式(皮亚诺余项):
处理和式中的无穷小
&极限函数:
/(a)=limF(x,/?
)(=>分段函数)
6.非常手段
1.收敛准则:
(1)«„=/(«)=>limf(x)
HT+3C
(2)双边夹:
也«?
导数泄义(洛必达?
):
1血丸=厂(兀)
"tU
2.
3.
(3)单边挤:
%】=/(©)gZW」5M?
*/,W>0?
2nr1
积分和:
lim-[/(-)+/(-)+•..+/(-)]=[f(x)dx,
“TOOfjnnjj
4.中值定理:
lim[/(x+«)-/(%)]=aUm/X^)
.Yf+XX->-X
5.
级数和(数一三):
(3)K»与工一J同敛散
n-l
7.常见应用:
1.无穷小比较(等价,阶):
*/(x)~&,(xtO)?
(1)/(0)=厂(0)=...=/5T(0)=0,f”)(0)=40/(x)=二対+a(0)~二财n\n!
⑵打⑴力~“恂
2.渐近线(含斜):
(1)«=lim^—,Z?
=\im[f(x)-(ix]=>f(x)-ax+h+a
XTOCxXTOC
(2)f(x)=cix+b+a,(-^0)
x
3.连续性:
⑴间断点判别(个数);
(2)分段函数连续性(附:
极限函数,厂(x)连续性)
8.[a,b]±连续函数性质
1.连通性:
f([ayb])=[m,M](注:
VO<2<1,“平均”
K:
A/(a)+(l-2W)=/(x0))
2.介值泄理:
(附:
达布泄理)
(1)零点存在定理:
/(«)f(b)<0=>fg=0(根的个数);
(2)/(x)=0^(£7«^),=0.
第二讲:
导数及应用(一元)(含中值定理)
1.基本概念:
仁差商与导数:
心iin"(m);小沪恤/⑴一小)
“TOAXX7X_X()
(1)/\0)=lim/H(°)(注:
hm丄®=A(f连续)=>/(O)=0,厂(0)=A)
.t->0xx
(2)左右导:
£g),Z(-^o);
⑶可导与连续;(在x=0处,忖连续不可导;兀闰可导)
2.微分与导数:
△/=/(x+“)—/(x)=/a)M+o(M)亠妙=厂(小仪
⑴可微O可导;
(2)比较夕,0与"0“的大小比较(图示);
2.求导准备:
1.基本初等函数求导公式;(注:
(|/(x)|)‘)
dxI
2.法则:
⑴四则运算;
(2)复合法则;(3)反函数—=—
心y
3.各类求导(方法步骤):
1.定义导:
⑴厂⑺)与广(观=“;
(2)分段函数左右导;(3)归
F(x}xx
(注:
/(%)=\役求:
厂及厂(X)的连续性)
ax=x0
2.初等导(公式加法则):
⑴“=/[g(x)h求:
叫)(图形题);
⑵F(x)=£/⑴力,求:
FG)(注:
(打(5),(£7(r)J/)*)
3.隐式(f(x,y)=0)导:
—,—
dxdx~
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性).
(3)对数求导法.
4.参式导(数一,二):
求:
牛,等
y=y(t)axax"
5.高阶导f(n\x)公式:
四.各类应用:
(1)/Xx)>0=>/(x)Z;
(2)分段函数的单调性
⑶fG)>0=>零点唯一;f\x)>0=>驻点唯一(必为极值,最值).
2.极值点:
Xf%
(1)表格(f\x)变号);(由lim丄3H0,lim厶孚丰0,lim丄単H0nx=0的特•I人IXI心LV—中JC
点)
⑵二阶导(厂(兀)=0)
注⑴/与的匹配(厂图形中包含的信息);
(2)实例:
由/'(X)+2(x)f(x)=g(x)确定点“A=x0”的特点.
(3)闭域上最值(应用例:
与左积分几何应用相结合,求最优)
3.不等式证Wf(x)>0)
(1)区别:
*单变量与双变量?
*xe[«,/?
]与兀已[°,乜),xg(yo,p)?
(2)类型:
*f'>0,f(a)>0;*/*<0,/(/7)>0
丁“so』⑷J(b)>0;V"W>o,y(xo)=oJg)>0
(3)注意:
单调性㊉端点值㊉极值㊉凹凸性.(如:
f(x)4.函数的零点个数:
单调㊉介值
6.凹凸与拐点(必求导!
):
1.y”=>表格;(/u(ao)=o)
2.应用:
⑴泰勒估计;
(2)厂单调;(3)凹凸.
7.罗尔泄理与辅助函数:
(注:
最值点必为驻点)
1.结论:
F(b)=F{a)=>F=/«)=0
2.辅助函数构造实例:
(1)/(
)=>F(x)
⑵f也)g忆)+ft)gU)=0nF(x)=f(x)g(x)
(3)厂(?
)g(§)-fS猪)=0〜F(x)=S
g(x)
(4)f纟)+2(g)/⑷=0nF(x)=f;
3./("《)=0of(x)有幵+1个零点o/(,,_,)(x)有2个零点
4.特例:
证明严@)=°的常规方法:
令F(x)=/(x)-代(x)有71+1个零点(匕(x)待
泄)
5.注:
含齐&2时,分家!
(柯西定理)
6.附(达布定理):
/⑴在[“,甸可导,Vce[f\a\f\b)],e[ab],使:
广⑷=c
八・拉格朗日中值立理
1.结论:
=f;(0(。
)v0(Z?
)=>书亠0(歹)>0)
2.估计•:
△/=/・(©)△兀九・泰勒公式(连接/J;厂之间的桥梁)
1.结论:
f(x)=/(A-o)+f'(xo)(X-X0)+^/"(X0)(X一X。
)2+£厂@)(x-%)';
2.应用:
在已知/(")或/(b)值时进行积分估计
十.积分中值立理(附:
广义):
[注:
有泄积分(不含变限)条件时使用]
第三讲:
一元积分学
1.基本概念:
1.原函数F(x):
⑴F(x)=f(x);
(2)J\x}dx=(IF(x);(3)Jf(x)dx=F(x)+c
注⑴FW=[./■⑴力琏续不一泄可导);
f(x)(/(x)连续)
2.不泄积分性质:
d)(J/UW=/(a);J(jf(x)dx)=f(x)dx
(2)
J#(x)=/(x)+c
^f\x)dx=f(x)+c;
2.不泄积分常规方法
1.熟悉基本积分公式
2.基本方法:
拆(线性性)
f(kj(x)+k2g(x))dx=k^f(x)dx+k2jg(x)dx
3.凑微法(基础):
要求巧,简,jS(l=sin2x+cos2x)
如:
心=丄d(ax+b),xdx=—dx2.—=d\nx,=2dy/x
a2xJx
ldx=dy]\+x2.(1+lnx)dx=d(xInx)
Vl+x2
4.变量代换:
⑴常用(三角代换,根式代换,倒代换):
X=sinr,-=t.&+l=r
X
(2)作用与引伸(化简):
ylx2±[-X=t
5.分部积分(巧用):
⑴含需求导的被积函数(如Inx,arctanf⑴山);
(2)“反对幕三指”:
卜7%,jVIn加,
(3)特别:
(*已知/(X)的原函数为F(x);*已知f\x)=F(x))
三・定积分:
1.概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:
有界,充分条件:
连续)
(2)几何意义(而积,对称性,周期性,积分中值)
*J:
\lax-x2dx(a>0)=£/;
⑶附:
(4)左积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重2:
变限积分①(x)=[/(/)〃的处理(重点)
(1)/可积=>
>连续,/连续=>①可导
(2)([/(『)/)'=/W;(£r(x-r)/(W=pW/
V=(x-a)f(x)
J(I
(3)由函数F(a)=£/⑴力参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题
fb
3.N_L公式:
IfMdx=F(b)-F(a)(F(x)在[匕方]上必须连续!
)
注:
(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性
(2)有理式,三角式,根式
⑶含⑴力的方程.
4.变量代换:
£/(x)dx=[f(u(t))u\t)dt
⑴j:
=J(;/("-x}dx{x=a-t),
⑵J2f(x)dx=J:
f(-x)dx(x=-t)=+f(-x)]dx(如:
j\—-L—dx)
⑶Z„=j;sin\u/x=—/„_2,
Jon
££7£
⑷J(:
/⑸11x)dx=£2/(cosx)dx;[/(sinx)dx=2£2/(sinx)tZv,
⑸£M(sinx)dx=£J/(sinx}dx,
5.分部积分
(1)准备时“凑常数”
(2)已知/'(X)或/©)=[时,求^f(x)dx
6.附:
三角函数系的正交性:
严严
])sinnxdx=cosnxdx=J()sinnxcosmxdx=0
|sinnxsinmxdx=J()cosnxcosmxdx(n丰tn)=0
*>C2齐•>
sin^nxdx=cos"nxdx=7t
⑵£f{x}dx:
(f(x)在X=",x=b,x=c(a⑶匕T与人讥
3.弧长:
ds=yj(dx)+(clyY
(1)>'=/(-v),xe[a,b]s=J;yj\+f,2(x)dx
(2)y,©]
[y=y(r)'九v
(3)r=r(^),&w[a,0]:
s=J:
J『(e)Sde
4.物理(数一,二)功,引力冰压力,质心,
5・平均值(中值左理):
—1『方
⑴/[小=—JfMdx;
b-aJa
-「/⑴力-「几)力
(2)/[0+oo)=lim,(/以T为周期:
f=)
f30xT
第四讲:
微分方程
1.基本概念
1.常识:
通解,初值问题与特解(注:
应用题中的隐含条件)
2.变换方程:
⑴令x=x(t)=>yDy”(如欧拉方程)
(2)令u=u(x,y)=>y=y(xyu)=>y'(如伯努利方程)
3.建立方程(应用题)的能力
2.一阶方程:
1・形式:
(1)y,=f(x,y);
(2)M(x.y)dx+Ngy)dy=0;(3)y(a)=b
2.变量分离型:
y'=f(x)g(y)
(1)解法:
f卫_=|7(x)dx=G(y)=F(x)+C
Jg(y)J
(2)变化:
*+p(y)x=o(y);
⑶推广:
伯努利(数一)y'+p(x)y=q(x)ya
(1)解法:
u=—=>u+xu'=0(«),
X
⑵特例:
虬g+g+G
dxa2x+b2y+c2
5.全微分方程(数一):
M^y)dx+N^y}dy=0且空=巴
dxdy
dU=Mdx+NdynU=C
3.二阶降阶方程
1.y"=f(x):
y=F(x)+c{x+c2
2.y''=f(x,yr):
令y,=p(x)=>y,,=^=/(x,p)
dx
3・X=/(yy):
令)*=/”)=>)』=“#=/(”〃)四・髙阶线性方程:
a(x)y^+b(x)y^c(x)y=f(x)
1.通解结构:
(1)齐次解:
y0(x)=c1yl(x)+c2y2(x)
(2)非齐次特解:
y(x)=c$(x)+c2y2(x)+y*(x)
2.常系数方程:
ay^+byt+cy=f(x)
(1)特征方程与特征根:
(a2+ZU+c=0
(2)非齐次特解形式确定:
待左系数;(附:
/(切=辰严的算子法)
(3)由已知解反求方程.
3.欧拉方程(数一):
ax1yM+bxy1+cy=f(x),令x=efx2y11=D(D-l)y9xy"=Dy
五.应用(注意初始条件):
1.几何应用(斜率,弧长,曲率,而积,体积);
注:
切线和法线的截距
2.积分等式变方程(含变限积分);
可设J:
/(x)dx=FW,F(a)=O
3.导数定义立方程:
含双变量条件/(x+刃=…的方程
4.变化率(速度)
dvd'x
5.r=ma=—=—
dtdr
6•路径无关得方程(数一):
理=$
oxoy
7.级数与方程:
⑴幕级数求和;
(2)方程的幕级数解法:
y=+a2x2+•••,兔=y(O),q=y\0)
&弹性问题(数三)
第五讲:
多元微分与二重积分
1.二元微分学概念
1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),
(1)Af=f(x0+",儿+△〉,),AJ=f(x0+“,y°),Av/=/(x0,儿+△),)
(2)limy人=lim乂
Ax
⑶+lim_:
(判别可微性)
注:
(0,0)点处的偏导数与全微分的极限怎义:
£(o,o)=
Xyy
2.特例:
[V,工(0,0)
⑴/(x,y)=<
X2+y2:
(0,0)点处可导不连续;
0,=(0.0)
⑵/(")={J?
J珂0,0)
+r:
(o,o)点处连续可导不可微;
o,=(0,0)
二偏导数与全微分的讣算:
2.
复合函数的一,二阶偏导(重点):
z=/[M(A\yXv(x,y)]
熟练掌握记号人/2,£;,兀的准确使用
(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):
Fxdx+Fsdy+Fzdz.=O(要求:
二阶导)
⑶注:
(xo,>'o)与血的及时代入
(4)会变换方程.
3.二元极值(建义?
);
1.二元极值(显式或隐式):
(1)必要条件(驻点);
(2)充分条件(判别)
2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:
应用)
⑴目标函数与约朿条件:
z=/(x,y)㊉仅x,y)=0,(或:
多条件)
(2)求解步骤:
厶(x,y,2)=/(x,y)+A
3.有界闭域上最值(重点).
⑴Z=e£>={(x,y)血x,y)<0}
(2)实例:
距离问题
4.二重积分计算:
1.概念与性质(“积”前工作):
⑴JJdb,
D
(2)对称性(熟练掌握):
★£>域轴对称;奇偶对称;协字母轮换对称;尿重心坐标;
⑶“分块”积分:
9=9uq;*fgy)分片定义;*/(X,y)奇偶
2.计算(化二次积分):
⑴直角坐标与极坐标选择(转换):
以“D”为主;
(2)交换积分次序(熟练掌握).
3.极坐标使用(转换):
f(x+y2)
22
附:
D:
(x_d)2+(y—b)2^+^<1;
a~b~
双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)D:
|x|+|y|4.特例:
("单变量:
/(x)或/(y)
(2)利用重心求积分:
要求:
题型JJ伙,且已知D的而积S°与重心D
(R)
5.无界域上的反常二重积分(数三)
五:
一类积分的应用D\Q;L\T;S):
n
1.“尺寸":
⑴JJdboS。
;
(2)曲而而积(除柱体侧面);
D
2.质量,重心(形心),转动惯量;
3.为三重积分,格林公式,曲而投影作准备.
第六讲:
无穷级数(数一,三)
级数概念
□Q
1•定义:
⑴{£},
(2)S〃=q+@+…+勺;(3)limSn(如亍一^)
f粽⑺+1)!
注:
(1)Jinw/„;⑵工彳"(或工+■);⑶“伸缩”级数:
工(%1-①)收敛o{%}收敛.
2•性质:
(1)收敛的必要条件:
lim®=0;
30
(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论);
⑶$2”Tsns”TS;
2.正项级数
1.正项级数:
⑴立义:
6/„>0;
(2)特征:
S”/;(3)收敛oS”SM(有界)
3.审敛方法:
&:
2ab⑴比较法(原理):
绻~厶(估计),如广/⑴必;y—itJ°Q(n)
(2)比值与根值:
Tim乩Tim呃(应用:
幕级数收敛半径计算)口->3CIf“T3D、
三.交错级数(含一般项):
工(一1)”+*%("“>0)
仁“审”前考察:
⑴勺>0?
⑵色T0?
;(3)绝对(条件)收敛?
注:
若lim仏=Q〉1,则yM发散
“too“
2.标准级数:
⑴》(_i严丄;⑵口_1严丄;⑶y(-i)n+,-4-
ntvIn
3.莱布尼兹审敛法(收敛?
)
⑴前提:
工>,」发散;⑵条件:
叫、%TO;(3)结论:
工(一1)"%”条件收
敛.
4.补充方法:
⑴加括号后发散,则原级数必发散;⑵归”—0=>勺沖TS=>S“TS.
5.注意事项:
对比工%;工(一1)乜;工如;工疋之间的敛散关系
4.幕级数:
1.常见形式:
⑴ZXX,
(2)5>”(兀-和",⑶-勺)"
2.阿贝尔泄理:
(1)结论:
x=x*敛=>尺二兀•一兀;x=x*散=>/?
5卜•一兀
(2)注:
当x=x*条件收敛时nR=x-x*
3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)
注⑴乞叫x”,》半X”与工色同收敛半径
⑵工©X与工>,©-勺)2"之间的转换
4.幕级数展开法:
⑴前提:
熟记公式(双向,标明敛域)
ex=l+x+—x2+—x3+•••,□=/?
2!
3!
才+・・・q=/?
-(ex+八)=1+—%2+—
22!
4!
-(ex一八)=x+丄疋+丄才+…/?
23!
5!
sinx=x-—X3+—x5、G=R
cosx=1-—x2+—x4+•••,Q=/?
;
2!
4!
3!
5!
ln(l+x)=x-—x2+-X3,xe(-1,1]
23
ln(l-x)=—x-—x2--x3,xe[—1,1)
23
arctanx=x--x3+4^5,xe[-l,l]
(3)考察导函数:
g(x)仝厂⑴n/(x)=[g⑴心+/(0)
(4)考察原函数:
g(Q钉;/⑴厶=>/(")=gG)
5.幕级数求和法(注:
*先求收敛域,*变量替换):
⑴S(x)=X+»
(2)S'(x)=•••,(注意首项变化)
(3)S(x)=(£)*,
(4)S(x)=>“S(x)“的微分方程
(5)应用:
=>工诃=S(x)=>$>”Y(l).
6.方程的幕级数解法
7.经济应用(数三):
(1)复利:
A(l+p)";
(2)现值:
A(l+pYn
5.傅里叶级数(数一):
(T=2兀)
1.傅氏级数(三角级数):
5(X)=—+^2anCOSt1X+sinfJX
2;r-l
2.Dirichlet充分条件(收敛定理):
⑴由f(x)=>S(x)(和函数)
⑵S(x)=^[/U-)4-f(x+)]
1z
3.系数公式:
aQ=-\fZx、
兀Jy
4.题型:
(注:
/(x)=S(x),xe?
)
⑴T=2/r且f(x)=•••,"(_兀,刃份段表示)
(2)xe(一九龙]或xwD2tt]
(3)xe[0^]正弦或余弦
1pT
an=—\j(x)cosnxdx
兀,=123,…
bfl=—\f(x)sinnxdx
71
*(4)xe[0^](T=^)
巧・T=2l
6.附产品:
f{x)=