小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解文件.docx
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小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解文件
任意四边形、梯形与相似模型
模型三蝴蝶模型(任意四边形模型)
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
D
A
S2
S1
O
S4
S3
BC
①
S1:
S2S4:
S3或者S1S3S2S4
②AO:
OCS1S2:
S4S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边
形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,△
AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园由陆地面积是
6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
C
B
O
AD
【分析】根据蝴蝶定理求得S△AOD3121.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平
方千米,所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
求:
⑴三角形BGC的面积;⑵AG:
GC?
AD1
23G
B
C
【解析】⑴根据蝴蝶定理,S123,那么SBGC6;
BGC
⑵根据蝴蝶定理,AG:
GC12:
361:
3.(?
?
?
)
4-2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page1of17
【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。
如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
1
面积的
,且AO2,DO3,那么CO的长度是DO的长度的_________倍。
3
DDAA
OH
O
G
BCBC
【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:
⑴利用已
知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条
件SABD:
SBCD1:
3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。
又观察题目中给出的已
知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改
造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。
再应用结论:
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。
请老师注意比较两种解法,使
学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一:
∵AO:
OCSABD:
SBDC1:
3,
∴OC236,
∴OC:
OD6:
32:
1.
解法二:
作AHBD于H,CGBD于G.
1
∵
SS,
ABDBCD
3
∴
1
AHCG,
3
1
∴
SS,
AODDOC
3
∴
1
AOCO,
3
∴OC236,
∴OC:
OD6:
32:
1.
【例3】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、
4、4和6。
求:
⑴求△OCF的面积;⑵求△GCE的面积。
AD
OF
G
BCE
【解析】⑴根据题意可知,△BCD的面积为244616,那么△BCO和CDO的面积都是1628,
所以△OCF的面积为844;
⑵由于△BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为862,
根据蝴蝶定理,EG:
FGSCOE:
SCOF2:
41:
2,所以SGCE:
SGCFEG:
FG1:
2,
那么
112
SS2.
GCECEF
1233
4-2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page2of17
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷。
那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
D
6
C
67
E
7
AB
【解析】在ABE,CDE中有AEBCED,所以ABE,CDE的面积比为(AEEB):
(CEDE)。
同
理有ADE,BCE的面积比为(AEDE):
(BEEC)。
所以有SABE×SCDE=SADE×SBCE,也就是
说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:
上、
下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即SABE6=SADE7,所以有ABE与ADE的面积
比为7:
6,SABE=
7
67
3921
公顷,SADE=
6
67
3918
公顷。
显然,最大的三角形的面积为21公顷。
【例5】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积
为。
AA
DD
O
BB
CC
【解析】连接AD、CD、BC。
则可根据格点面积公式,可以得到ABC的面积为:
4
112
2
,ACD的面积为:
3
313.5
2
,
ABD的面积为:
4
213
2
.
所以BO:
ODSABC:
SACD2:
3.54:
7,所以
4412
SS3.
ABOABD
471111
【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积。
E
D
A
B
C
【解析】因为BD:
CE2:
5,且BD∥CE,所以DA:
AC2:
5,
5
S,
ABC
25
510
S2.
DBC
77
【例6】(2007年人大附中考题)如图,边长为1的正方形ABCD中,BE2EC,CFFD,求三角形AEG
4-2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page3of17
的面积.
DDAA
GG
FF
BCBCEE
【解析】连接EF.
因为BE2EC,CFFD,所以
1111
S()SS.
DEFABCDABCD
23212
因为
1
SS,根据蝴蝶定理,
AEDABCD
2
11
AG:
GF:
6:
1,
212
所以
6613
S6SSSS.
AGDGDFADFABCDABCD
77414
所以
1322
SSSSSS,
AGEAEDAGDABCDABCDABCD
21477
即三角形AEG的面积是
2
7
.
【例7】如图,长方形ABCD中,BE:
EC2:
3,DF:
FC1:
2,三角形DFG的面积为2平方厘米,求长
方形ABCD的面积.
A
GDA
F
G
D
F
BC
E
BC
E
【解析】连接AE,FE.
因为BE:
EC2:
3,DF:
FC1:
2,所以
3111
S()S长方形S长方形.
DEFABCDABCD
53210
因为
111
SS长方形,AG:
GF:
5:
1,所以SAGD5SGDF10平方厘米,所以SAFD12平
AEDABCD
2210
方厘米.因为
1
SS长方形,所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.
AFDABCD
6
【例8】如图,已知正方形ABCD的边长为10厘米,E为AD中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角
形BDG的面积.
EE
ADAD
O
FF
GG
BCBC
【解析】设BD与CE的交点为O,连接BE、DF.
由蝴蝶定理可知EO:
OCSBED:
SBCD,而
1
SS,
BEDABCD
4
1
SS,
BCDABCD
2
4-2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page4of17
所以EO:
OCSBED:
SBCD1:
2,故
1
EOEC.
3
由于F为CE中点,所以
1
EFEC,故EO:
EF2:
3,FO:
EO1:
2.
2
由蝴蝶定理可知SBFD:
SBEDFO:
EO1:
2,所以
11
SSS,
BFDBEDABCD
28
那么
111
SSS10106.25(平方厘米).
BGDBFDABCD
21616
【例9】如图,在ABC中,已知M、N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O,若AOM、ABO和
BON的面积分别是3、2、1,则MNC的面积是.
A
M
O
C
NB
【解析】这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得
S
MON
SS
AOMBON
S
AOB
313
22
设SMONx,根据共边定理我们可以得
SS
ANMABM
SS
MNCMBC
,
3
3
32
2
3
x
x
1
2
,解得x22.5.
【例10】(2009年迎春杯初赛六年级)正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米,B1B2B3B4B5B6分别
是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.
A1A1
B1A2B1A2
B2B2
O
B6B6
A6A3A6A3
B3B3
B5B5
A5A4
B4
A5A4
B4
【解析】如图,设B6A2与B1A3的交点为O,则图中空白部分由6个与A2OA3一样大小的三角形组成,只要求
出了A2OA3的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积.
连接A6A3、B6B1、B6A3.
设A1B1B6的面积为”1“,则B1A2B6面积为”1“,A1A2B6面积为”2“,那么A6A3B6面积为A1A2B6
的2倍,为”4“,梯形A1A2A3A6的面积为224212,A2B6A3的面积为”6“,B1A2A3的
面积为2.
4-2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page5of17
根据蝴蝶定理,
B1OA3OSBAB:
SAAB1:
6,故
126326
6
S,
AOA
23
16
12
S,
BAA
123
7
所以
12
SS梯形,即A2OA3的面积为梯形A1A2A3A6面积的
:
:
12:
1:
7
AOAAAAA
231236
7
1
7
,故为六边形
AAAAAA面积的
123456
1
14
,那么空白部分的面积为正六边形面积的
13
6
147
,所以阴影部分面积为
3
200911148(平方厘米).
7
4-2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page6of17
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
A
a
S1
D
S2
O
S4
S3
BCb
①
22
S1:
S3a:
b
②
22
S1:
S3:
S2:
S4a:
b:
ab:
ab;
③S的对应份数为
2
ab.
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结
论,往往在题目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【例11】如图,
S22,S34,求梯形的面积.
S2
S1
S4
S3
【解析】设S1为
2
a份,S3为
2
b份,根据梯形蝴蝶定理,
2
S34b,所以b2;又因为S22ab,所以
a1;那么
2
S1a1,S4ab2,所以梯形面积SS1S2S3S412429,或者根
据梯形蝴蝶定理,
22
Sab129.
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已
知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是________
平方厘米.
AB
25
35O
DC
【解析】根据梯形蝴蝶定理,
2
S:
Sa:
ab25:
35,可得a:
b5:
7,再根据梯形蝴蝶定理,
AOBBOC
2222
S:
Sa:
b5:
725:
49,所以SDOC49(平方厘米).那么梯形ABCD的面积为
AOBDOC
2535354914(平4方厘米).
【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角
形BOC面积的2
3
,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
4-2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page7of17
AD
O
BC
【解析】根据梯形蝴蝶定理,
2
S:
Sab:
b2:
3,可以求出a:
b2:
3,
AOBBOC
再根据梯形蝴蝶定理,
2222
S:
Sa:
b2:
34:
9.
AODBOC
通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千
辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【例13】(第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,已知AO1,并且
三角形的面积
ABD
三角形CBD的面积
3
5
,那么OC的长是多少?
B
ACO
D
【解析】根据蝴蝶定理,
三角形的面积
ABDAO
三角形的面积
CBDCO
,所以
AO
CO
3
5
,又AO1,所以
5
CO.
3
【例14】梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面积是
2
9cm,问三角形AOD的面积是多少?
AD
O
BC
【解析】根据梯形蝴蝶定理,a:
b1:
1.52:
3,
2222
S:
Sa:
b2:
34:
9,
AODBOC
所以
2
S4cm.
AOD
【巩固】如图,梯形ABCD中,AOB、COD的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.
AB
O
DC
【解析】根据梯形蝴蝶定理,
22
S:
Sa:
b4:
9,所以a:
b2:
3,
AOBACOD
2
S:
Sab:
ab:
a3:
2,
AODAOB
3
SS1.21.8,
AODCOB
2
S梯形1.21.81.82.77.5.
ABCD
4-2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page8of17
【例15】如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH
的面积是23,求四边形EGFH的面积.
FFAA
BB
GGHH
DC
E
DC
E
【解析】如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面
积等于三角形ADG的面积;三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形EGFH的面积
是112334.
【巩固】(人大附中入学测试题)如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2
的面积为36,则三角形1的面积为________.
123123
【解析】做辅助线如下:
利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角
形3,所以1的面积就是
4
3616
45
,3的面积就是
5
3620
45
.
【例16】如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.
CB
G
A
MD
【解析】因为M是AD边上的中点,所以AM:
BC1:
2,根据梯形蝴蝶定理可以知道
22
S△:
S△:
S△:
S△1(:
12)(:
12):
21:
2:
2:
4,设S△AGM1份,则S△MCD123份,
AMGABGMCGBCG
所以正方形的面积为1224312份,S阴影224份,所以S阴影:
S正方形1:
3,所以S阴影1
平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平
方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.
DA
F
BCE
【解析】连接DE,根据题意可知BE:
AD1:
2,根据蝴蝶定理得
2
S梯形()(平方厘米),S△ECD3(平
129
方厘米),那么SABCD12(平方厘米).
4-2-3任意四边形、梯形与相似模型题库page9of17
【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,E,F是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积.
AB
O
DCEF
【解析】因为E,F是DC边上的三等分点,所以EF:
AB1:
3,设1
S△份,根据梯形蝴蝶定理可以知道
OEF
S△S△3份,S△AOB9份,S△ADES△BCF(13)份,因此正方形的面积为
AOEOFB
2
44(13)24
份,S阴影6,所以S阴影:
S正方形6:
241:
4,所以S阴影3平方厘米.
【例18】如图,在长方形ABCD中,AB6厘米,AD2厘米,AEEFFB,求阴影部分的面积.
EFEF
ABAB
OO
DDCC
【解析】方法一:
如图,连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形AED的面积为
26322平方厘米.
由于EF:
DC1:
3,根据梯形蝴蝶定理,SDEO:
SEFO3:
1,所以
3
SS,而SDEFASDE2
DEODEF
4
平方厘米,所以
3
S21.5平方厘米,阴影部分的面积为21.53.5平方厘米.
DEO
4
方法二:
如图,连接DE,FC,由于EF:
DC1:
3,设S△OEF1份,根据梯形蝴蝶定理,S△OED3
份,
2
S梯形份,S△ADES△BCF134份,因此SABCD416424
(13)16长方形份,
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