三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方.docx

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三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明

以下内容作者为：

青岛第四中学杨瀚书老师一、三角形中位线定理的几种证明方法

法1：

如图所示，延长中位线DE至F，使，连结CF，则

，有ADFC，所以FCBD，则四边形BCFD是平行四边

形，DFBC。

因为，所以DE

1

2

BC．

法2C作交DE的延长线于F，则，

有FCAD，那么FCBD，则四边形BCFD为平行四边形，DFBC。

因为，所以DE

1BC．

2

法3：

如图所示，延长DE至F，使，连接CF、DC、AF，则四边形

ADCF为平行四边形，有ADCF，所以FCBD，那么四边形BCFD为平

行四边形，DFBC。

因为，所以DE

1

BC．

2

法4：

如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为

平行四边形，易证AEMCEN，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM

和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DE

1

2

BC。

法5：

如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．

二、教学说明

1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：

“二维”转化为“一维”

在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC（或线段BC的延长线）上的任意一点，D、E分别是AB、AC

的中点，线段DE与BC有什么关系？

A

BDEC

图⑴：

⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？

上述结论仍然成立吗?

A

DE

BC

图⑵：

说明：

学生观察（几何画板制作的）课件演示：

当△ABC的顶点A运动到直线B

C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不

难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.

如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.

2、教学重点：

本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

第一，要知道中位线定理的作用：

可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。

第二，要知道中位线定理的使用形式，如：

∵DE是△ABC的中位线

∴DE∥BC，DE

1

BC

2

A

DE

BC

第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。

题1如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，

点F在CA延长线上，∠FDA＝∠B.

（1）求证：

AF＝DE；

（2）若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.

分析本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。

（1）要证AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证

明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件

∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC中，因AE是斜边上的中线，故AE＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形AEDF为平行四边形.

11

（2）要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AE＝2BC＝5，DE＝2AC

＝3.

证明：

（1）∵D、E分别为AB、BC的中点，

∴DE∥AC，即DE∥AF

∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BE＝EC

1

∴EA＝EB＝2BC，∠EAB＝∠B

又∵∠FDA＝∠B，

∴∠EAB＝∠FDA

∴EA∥DF，AEDF为平行四边形

∴AF＝DE

（2）∵AC＝6，BC＝10，

11

∴DE＝2AC＝3，AE＝2BC＝5

∴四边形AEDF的周长＝2（AE+DE）＝2（3+5）＝16

题2如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，延

长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。

求证：

∠BKE＝∠CHE.

分析本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连BD，找BD中点G，则EG、FG分别为△BCD、△DBA的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.

证明：

连BD并取BD的中点G，连FG、GE

在△DAB和△BCD中

∵F是AD的中点，E是BC的中点

11

∴FG∥AB且FG＝2AB，EG∥DC且EG＝2DC

∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF

∵AB＝CD∴FG＝EG

∴∠GFE＝∠GEF∴∠BKE＝∠CHE

题3如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，O为AC、BD的交点，P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点，∠AOB＝60°。

求证：

△PQR为等边三角形.

分析本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边

1

中线定理。

利用条件可知PR＝2AD，能否把PQ、RQ与AD（BC）联系起来成为解题

的关键，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，则△ODC为等边三角形，再由R为OD中点，则∠BRC＝90°，QR就为斜边BC的中线.

证明：

连RC，∵四边形ABCD为等腰梯形且AB∥DC

∴AD＝BC∠ADC＝∠BCD

又∵DC为公共边∴△ADC≌△BCD

∴∠ACD＝∠BDC∴△ODC为等腰三角形

∵∠DOC＝∠AOB＝60°∴△ODC为等边三角形

∵R为OD的中点

∴∠ORC＝90°＝∠DRC（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）

1

1

∵Q为

BC的中点

∴RQ＝

2

BC＝

2

AD

1

1

同理PQ＝2

在△OAD中

BC＝2AD

∵P、R分别为

AO、OD的中点

1

∴PR＝2AD∴PR＝PQ＝RQ

故△PRQ为等边三角形

3、教学难点：

本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何

添加辅助线．

教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。

例如，教师可以启发学生：

要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。

上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。

证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：

1，长截短：

要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一

部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。

（角也亦然）

2，短延长：

要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一

条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。

（角也这样）

3，加倍法：

要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，

延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。

（角也这样）

4，折半法：

要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的

中点，再证明其中之一与另一条线段相等。

（角也可用）

5，代数运算推理法：

这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、

分。

6，相似三角形及比例线段法：

利用相似三角形的性质进行推理论证。

题1（短延长）：

如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点。

（1）若PAQ=45°，求证：

PB+DQ=PQ。

（2）若△PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：

PAQ=45°

AD

Q

BPC

证明：

（1）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE。

∵四边形ABCD是正方形

∴ABE=ABC=D=90°，AB=AD

在△ABE和△ADQ中

∵AB=AD，ABE=D，BE=DQ

ABE

ADQ

AEAQ，BAEQAD

PAQ

45°

BAP

QAD

45°

BAP

BAE

45°，

即EAP

PAQ

45°

在AEP和AQP中

AE

AEP

EP

EP

即PB

AQ

PQ

EB

DQ

，EAP

AQP

BPDQ

PQ

PAQBP

，AP

PQ

AP

AD

Q

EBPC

（2）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE

由

（1）可知ABEADQ

AE

AQ，BAE

QAD

DAQ

BAQ

BAE

BAQ

90°

PCQ的周长等于正方形周长的一半

PC

QC

QP

BC

CD

PQ

（BC

PC）

（CD

QC）BP

DQBPEBEP

在AEP和AQP中

AEAQ，EPPQ，APAP

AEPAQP

EAPPAQ45°

题2（长截短）：

如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC于

D。

求证：

AC=AB+BD

A

34

O

1

2

BDC

证明：

在AC上截取OA=AB，连接OD，

∵∠3=∠4，AD=AD

∴△ABD≌△AOD，∴BD=DO

∴∠B=∠1=∠2+∠C=2∠C

∴∠2=∠C

∴OD=OC=BD

∴AC=OA+OC=AB+BD