高三数学导数的概念与运算上课学习上课学习教案17.docx
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高三数学导数的概念与运算教案17
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m 11.3导数概念与运算
一、明确复习目标
.了解导数概念的某些实际背景;
2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念;
3.熟记基本导数公式;
4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.
二.建构知识网络
.导数的概念:
设函数y=f在x=x0处附近有定义,如果Δx→0时,Δy与Δx的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数y=f在Δx→0处的导数,记作
;
2.导数的几何意义:
函数y=f在x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f在点(x0,y0)处的切线的斜率,即斜率为f′.
过点P的切线方程为:
y-y0=f′.
3.导函数、可导:
如果函数y=f在开区间内的每点处都有导数,即对于每一个x∈,都对应着一个确定的导数f′,从而构成了一个新的函数f′,称这个函数f′为函数y=f在开区间内的导函数,简称导数。
此时称函数y=f在开区间内可导.
4.可导与连续的关系:
如果函数y=f在点x0处可导
函数y=f在点x0处连续.
5.依定义求导数的方法:
(1)求函数的改变量
(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数=
6.几种常见函数的导数:
;;;;;;;。
7.导数的四则运算法则:
;;
;
8.复合函数的导数:
设函数u=在点x处有导数u′x=′,函数y=f在点x的对应点u处有导数y′u=f′,则复合函数y=f)在点x处也有导数,且
或=f′
′.
9.求导数的方法:
求导公式;
导数的四则运算法则;
复合函数的求导公式;
导数定义.
三、双基题目练练手
.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则为(
)
A.Δx++2
B.Δx--2
c.Δx+2
D.2+Δx-
2.设f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于
(
)
A.
B.
c.
D.
3.设f0=sinx,f1=f0′,f2=f1′,…,fn+1=fn′,n∈N,则fXX=
(
)
A.sinx
B.-sinx
c.cosx
D.-cosx
4.设函数,集合,
若,
则实数的取值范围是
A.
B.
c.
D.
5.设函数
若是奇函数,则__________
6.设函数若该函数在实数集R上可导,则该函数的最小值是____.
7.过原点作曲线的切线,则切点的坐标为
,切线的斜率为
.
8.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是
简答:
1-4.cDcc;
5.π6;
6.答案:
-14.依题意
作图易得函数的最小值是f=-14
7.(1,e)e;
8.2n+1-2.
四、经典例题做一做
【例1】求下列函数的导数:
(1)y=
(2)y=ln(x+);
(3)y=;
解:
(1)y′=
=
=
(2)y′=•(x+)′
=(1+)=
(3)y′==
◆提炼方法:
题
(1)是导数的四则运算法则;題
(2)(3)是复合函数的求导方法.都是导数问题的基础.
【例2】
(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;
(2)运动曲线方程为,求t=3时的速度
分析:
根据导数的几何意义及导数的物理意义可知,函数y=f在处的导数就是曲线y=f在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S对时间的导数
解:
(1),
,即曲线在点(1,1)处的切线斜率k=0
因此曲线在(1,1)处的切线方程为y=1
(2)
解题点评:
切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.
【例3】若f(x)在R上可导,
(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系;
(2)证明:
若f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数.
分析:
(1)需求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数;
(2)求f′(x),然后判断其奇偶性.
(1)解:
设f(-x)=g(x),则
g′(a)=
=
=-
=-f′(-a)
∴f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数.
(2)证明:
f′(-x)=
=
=-
=-f′(x)
∴f′(x)为奇函数.
解题点注:
用导数的定义求导数时,要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.
【例4】(XX浙江)已知函数=x3+x2,数列{xn}(xn>0)的第一项x1=1,以后各项按如下方式取定:
曲线y=在处的切线与经过(0,0)和(xn,f(xn))两点的直线平行(如图)。
求证:
当n
时:
(I);(II)
证明:
(I)∵
∴曲线在处的切线斜率
∵过和两点的直线斜率是
∴.
(II)∵函数当时单调递增,
而
,
∴,即
因此
又∵
令则
∵
∴
因此
故
考查知识:
函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻辑推理能力。
五.提炼总结以为师
.
了解导数的概念,初步会用定义式解决一些问题;
2.
会用定义式求导数;
3.
了解导数的几何意义;会求切线方程;
4.
掌握常见函数的导数公式,并会正确运用;
5.
掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。
同步练习
1.3导数概念与运算
【选择题】
.设函数f(x)在x=x0处可导,则
(
)
A与x0,h都有关
B仅与x0有关而与h无关
c仅与h有关而与x0无关
D与x0、h均无关
2.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为
(
)
Af(x)=(x-1)2+3(x-1)
Bf(x)=2(x-1)
cf(x)=2(x-1)2
Df(x)=x-1
3.在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是
(
)
A.3
B.2
c.1
D.0
4.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为(
)
A.
B.
c.
D.
【填空题】
5.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为,那么速度为零的时刻是________
6.过点(0,-4)与曲线y=x3+x-2相切的直线方程是
.
7.设f(x)在x=1处连续,且f
(1)=0,
=2,则f′
(1)=_______
8.曲线y=2-x2与y=x3-2在交点处的切线夹角是__________(以弧度数作答)
简答.提示:
1-4.BADA;5.1,2,4秒末;
6.y=4x-4;7.∵f
(1)=0,
=2,
∴f′
(1)=
=
=
=2
8.由消y得:
(x-2)(x2+4x+8)=0,∴x=2
∵y′=(2-x2)′=-x,∴y′|x=2=-2
又y′=(-2)′=x2,∴当x=2时,y′=3
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2、3,
||=1∴夹角为
【解答题】
9.下列函数的导数
①
②
③f(x)=e-x(cosx+sinx)
分析:
利用导数的四则运算求导数
①法一:
∴
法二:
=+
②
∴
③f/=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)
=-2e-xsinx,
0.如果曲线的某一切线与直线平行,求切点坐标与切线方程.
解:
切线与直线平行,斜率为4
又切线在点的斜率为
∵
∴
或
∴切点为(1,-8)或(-1,-12)
切线方程为或
即或
1.已知函数
的图象过点P(0,2),且在点m(-1,f(-1))处的切线方程为.
(Ⅰ)求函数y=f的解析式;
(Ⅱ)求函数y=f的单调区间.
解:
(Ⅰ)由f的图象经过P(0,2),知d=2,
所以
由在m)处的切线方程是,知
故所求的解析式是
(Ⅱ)
解得
当
当
故内是增函数,在内是减函数,在内是增函数.
考查知识:
函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
12.证明:
过抛物线y=a(x-x1)•(x-x2)(a≠0,x1<x2)上两点A(x1,0)、B(x2,0)的切线,与x轴所成的锐角相等.
解:
y′=2ax-a(x1+x2),
y′|=a(x1-x2),即kA=a(x1-x2),y′|=a(x2-x1),即kB=a(x2-x1).
设两条切线与x轴所成的锐角为、β,则tan=|kA|=|a(x1-x2)|,
tanβ=|kB|=|a(x2-x1)|,故tan=tanβ.
又、β是锐角,则=β.
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