第八讲列方程解应用题 学生用.docx
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第八讲列方程解应用题学生用
第八讲列方程解应用题
(一)
在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。
然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论,不允许未知数参加计算,这样,对于较复杂的应用题,使用算术方法常常比较困难。
而用列方程的方法,未知数与已知数同样都是运算的对象,通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系,即列出方程(或方程组),使问题得以解决。
所以对于应用题,列方程的方法往往比算术解法易于思考,易于求解。
列方程解应用题的一般步骤是:
审题,设未知数,找出相等关系,列方程,解方程,检验作答。
其中列方程是关键的一步,其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来,而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析,有些相等关系比较隐蔽,必要时要应用图表或图形进行直观分析。
一、列简易方程解应用题
例2有一队伍以1.4米/秒的速度行军,末尾有一通讯员因事要通知排头,于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾,共用了10分50秒。
问:
队伍有多长?
例3铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身总长是多少?
例4如图,沿着边长为90米的正方形,按逆时针方向,甲从A出发,每分钟走65米,乙从B出发,每分钟走72米。
当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上?
例5一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶。
已知船在静水中的速度为8千米/时,平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。
某天恰逢暴雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用9时。
问:
甲、乙两港相距多少千米?
例6某校组织150名师生到外地旅游,这些人5时才能出发,为了赶火车,6时55分必须到火车站。
他们仅有一辆可乘50人的客车,车速为36千米/时,学校离火车站21千米,显然全部路程都乘车,因需客车多次往返,故时间来不及,只能乘车与步行同时进行。
如果步行每小时能走4千米,那么应如何安排,才能使所有人都按时赶到火车站?
二、引入参数列方程解应用题
对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件。
例7某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇,每隔6分就有一辆从背后超过此人。
如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车?
分析:
此题看起来似乎不易找到相等关系,注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇,是相遇问题,人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离;每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题,车与人6分所行的路程差恰是两车的距离,再引进速度这一未知常量作参数,问题就解决了。
解:
设汽车站每隔x分发一班车,某人的速度是v1,汽车的速度为v2,依题意得
由①②,得
将③代入①,得
说明:
此题引入v1,v2两个未知量作参数,计算时这两个参数被消去,即问题的答案与参数的选择无关。
本题的解法很多,可参考本丛书《五年级数学活动课》第26讲。
例8整片牧场上的草长得一样密,一样地快。
已知70头牛在24天里把草吃完,而30头牛就得60天。
如果要在96天内把牧场的草吃完,那么有多少头牛?
分析:
本题中牧场原有草量是多少?
每天能生长草量多少?
每头牛一天吃草量多少?
若这三个量用参数a,b,c表示,再设所求牛的头数为x,则可列出三个方程。
若能消去a,b,c,便可解决问题。
解:
设整片牧场的原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛一天吃草量为c,x头牛在96天内能把牧场上的草吃完,则有
②-①,得36b=120C。
④
③-②,得96xc=1800c+36b。
⑤
将④代入⑤,得
96xc=1800c+120c。
解得x=20。
答:
有20头牛。
例9从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米。
车从甲地开往乙
从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?
解:
从甲地到乙地的上坡路,就是从乙地到甲地的下坡路;从甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的上坡路。
设从甲地到乙地的上坡路为x千米,下坡路为y千米,依题意得
①+②,得
将y=210-x代入①式,得
解得x=140。
答:
甲、乙两地间的公路有210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
三、列不定方程解应用题
有些应用题,用代数方程求解,有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数,这种情况下的方程称为不定方程。
这时方程的解有多个,即解不是唯一确定的。
但注意到题目对解的要求,有时,只需要其中一些或个别解。
例10六
(1)班举行一次数学测验,采用5级计分制(5分最高,4分次之,以此类推)。
男生的平均成绩为4分,女生的平均成绩为3.25分,而全班的平均成绩为3.6分。
如果该班的人数多于30人,少于50人,那么有多少男生和多少女生参加了测验?
解:
设该班有x个男生和y个女生,于是有4x+3.25y=3.6(x+y),
化简后得8x=7y。
从而全班共有学生
在大于30小于50的自然数中,只有45可被15整除,所以
推知x=21,y=24。
答:
该班有21个男生和24个女生。
例11小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。
小明共套了10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分。
问:
小明至多套中小鸡几次?
解:
设套中小鸡x次,套中小猴y次,则套中小狗(10-x-y)次。
根据得61分可列方程
9x+5y+2(10-x-y)=61,
化简后得7x=41-3y。
显然y越小,x越大。
将y=1代入得7x=38,无整数解;若y=2,7x=35,解得x=5。
答:
小明至多套中小鸡5次。
例12某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组,甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子;乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子;丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子;丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。
现在上衣和裤子要配套缝制(每套为一件上衣和一条裤子)。
问:
7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服?
分析:
不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产,应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低,在配套下安排生产。
我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣,做裤子效率高的多做裤子,才能使所做衣服套数最多。
一般情况,设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子,它们的比为
在安排A组尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下,安排配套生产。
这
的效率高,故这7天全安排这两组生产单一产品。
设甲组生产上衣x天,生产裤子(7-x)天,乙组生产上衣y天,生产裤子(7-y)天,则4个组分别共生产上衣、裤子各为6×7+8x+9y(件)和11×7+10(7-x)+12(7-y)(条)。
依题意,得
42+8x+9y=77+70-10x+84-12y,
令u=42+8x+9y,则
显然x越大,u越大。
故当x=7时,u取最大值125,此时y的值为3。
答:
安排甲、丁组7天都生产上衣,丙组7天全做裤子,乙组3天做上衣,4天做裤子,这样生产的套数最多,共计125套。
说明:
本题仍为两个未知数,一个方程,不能有确定解。
本题求套数最多,实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值,注意说明取得最值的理由。
练习11
1.甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈,乙反方向跑,每隔15秒与甲相遇一次。
问:
乙跑完一圈用多少秒?
2.小明在360米长的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么小明后一半路程跑多少秒?
3.如下图,甲、乙两人分别位于周长为400米的正方形水池相邻的两个顶点上,同时开始沿逆时针方向沿池边行走。
甲每分钟走50米,乙每分钟走44米,求甲、乙两人出发后几分钟才能第一次走在正方形的同一条边上(不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情形)。
4.农忙假,一组学生下乡帮郊区农民收割水稻,他们被分配到甲、乙两块稻田去,甲稻田面积是乙稻田面积的2倍。
前半小时,全队在甲田;后半小时一半人在甲田,一半人在乙田。
割了1时,割完了甲田的水稻,乙田还剩下一小块未割,剩下的这一小块需要一个人割1时才能割完。
问:
这组学生有几人?
5.若货价降低8%,而售出价不变,则利润(按进货价而定)可由目前的P%增加到(P+10)%,求P。
6.甲、乙二人做同一个数的带余除法,甲将其除以8,乙将其除以9,甲所得的商数与乙所得的余数之和为13。
试求甲所得的余数。
7.某公共汽车线路中间有10个站。
车有快车及慢车两种,快车的车速是慢车车速的1.2倍。
慢车每站都停,快车则只停靠中间1个站。
每站停留时间都是3分钟。
当某次慢车发出40分钟后,快车从同一始发站开出,两车恰好同时到达终点。
问:
快车从起点到终点共需用多少时间?
8.甲车以160千米/时的速度,乙车以20千米/时的速度,在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。
每当甲车追上乙车1次,甲车减
问:
在两车的速度恰好相等的时刻,它们分别行驶了多少千米?
练习9
1.24秒。
2.44秒。
推知小明前40秒跑了5×40=200(米),后40秒跑了4×40=160(米)。
因为小明后180米中有20米是以5米/秒的速度行进的,其余160米是以4米/秒的速度行进的,所以,小明后一半路程共用20÷5+160÷4=44(秒)。
3.34分。
提示:
仿例4。
4.8人。
解:
设学生共x人,甲田面积为2a,乙田面积为a,则
解出x=8。
5.15。
解:
设原进货价为x,则下降8%后的进价为0.92x,依题意有
x(1+0.01P)=0.92x[1+0.01(P+10)],
解得P=15。
6.4。
解:
设甲所得的商和余数分别为x和y,乙所得的商为z,则乙所得的余数为13-x。
依题意得8x+y=9z+(13-x),即9(x-z)=13-y,推知13-y是9的倍数。
因为y是被8除的余数,所以只能在0至7之间,所以y=4。
7.68分。
共需65+3=68(分)。
8.940km,310km。
时刻,两车速度相等,则应有
所以n=3。
设甲车第1次追上乙车用了t1时。
因为甲比乙车多跑1圈,所以有
设甲车从第1次追上乙车到第2次追上乙车用了t2时,仿上可知
时。
从而甲行驶了
乙车行驶了
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