菱形性质和判定复习教案.docx
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菱形性质和判定复习教案
菱形性质和判定复习(教案)
适用学科
数学
适用年级
初中二年级
适用区域
全国
课时时长(分钟)
60
知识点
1.菱形的性质
2.菱形的判定
教学目标
1.掌握菱形的定义;
2.探索并掌握菱形的性质;
3.会用菱形的定义和性质进行有关的论证和计算,会用菱形的对角线长来计算菱形的面积。
4.菱形的判定定理的运用.
教学重点
1.菱形的掌握菱形的性质和应用。
2.掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导.
教学难点
1.应用菱形的定义和性质进行合理的论证和计算
2,运用综合法解决菱形的相关题型
教学过程
一、复习预习
回顾:
平行四边形的性质和判断
学习过程:
教师活动:
教师教具演示,移动平行四边形的一边,使之一组邻边相等,引出菱形与平行四边形的关系,由此得到菱形的概念。
学生活动:
一.剪一剪:
将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿图中的虚线剪下,打开即可
1、观察所剪的菱形纸片,思考下列问题:
(1)哪些线段是相等的?
哪些角是相等的?
(2)有哪些是等腰三角形?
哪些是直角三角形?
(3)它是轴称图形吗?
有几条对称轴?
对称轴之间有什么位置关系?
2、归纳菱形的特殊性质:
(1)边
(2)对角线
(3)对称性
一.探究一、1、自主自习:
菱形的对边__________________。
菱形的性质菱形的四边_________________。
菱形的对角线___________。
菱形是_____________对称图形。
菱形的面积=_________________或菱形的面积=________________
四边______________的平行四边形是菱形。
一组___________________的四边形是菱形。
菱形的判定:
对角线_________________的平行四边形是菱形。
对角线__________________的四边形是菱形。
2、合作探究:
如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm,
求:
(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积
由此
(2)推出:
S菱形=对角线乘积的一半
二、知识讲解
考点1
.菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,还具有自己独特的性质:
①边的性质:
对边平行且四边相等.
②角的性质:
邻角互补,对角相等.
③对角线性质:
对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.
④对称性:
菱形是中心对称图形,也是轴对称图形.
菱形的面积等于底乘以高,等于对角线乘积的一半.
点评:
其实只要四边形的对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积的一半.
.菱形的判定
判定①:
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定②:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
判定③:
四边相等的四边形是菱形.
易错点1
重点是菱形的性质和判定定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续,又是以后要学习的正方形的基础。
难点是菱形性质的灵活应用。
由于菱形是特殊的平行四边形,所以它不但具有平行四边形的性质,同时还具有自己独特的性质。
如果得到一个平行四边形是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线的条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程 中应给予足够重视。
三、例题精析
【例题1】
【题干】菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.∠AOC=45°,OC=
,则点B的坐标为( )
A、(
,1)B、(1,
)
C、(
+1,1)D、(1,
+1)
【答案】故选C.
【解析】:
根据菱形的性质,作CD⊥x轴,先求C点坐标,然后求得点B的坐标.
解答:
解:
作CD⊥x轴于点D,
∵四边形OABC是菱形,OC=
,
∴OA=OC=
,
又∵∠AOC=45°
∴△OCD为等腰直角三角形,
∵OC=
,
∴OD=CD=OCsin45°=1,
则点C的坐标为(1,1),
又∵BC=OA=
,
∴B的横坐标为OD+BC=1+
,B的纵坐标为CD=1,
则点B的坐标为(
+1,1).
【例题2】
【题干】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连接AD,在AD的延长线上取一点E,连接BE,
CE.
(1)求证:
△ABE≌△ACE;
(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?
并说明理由.
【答案】
(1)证明:
∵AB=AC,点D为BC的中点,
∴∠BAE=∠CAE,
∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE(SAS).
(2)解:
当AE=2AD(或AD=DE或DE=
AE)时,四边形ABEC是菱形
理由如下:
∵AE=2AD,∴AD=DE,
又∵点D为BC中点,
∴BD=CD,∴四边形ABEC为平行四边形,
∵AB=AC,∴四边形ABEC为菱形.
【解析】由题意可知三角形三线合一,结合SAS可得△ABE≌△ACE.四边形ABEC相邻两边AB=AC,只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件,当AE=2AD(或AD=DE或DE=
AE)时,根据对角线互相平分,可得四边形是平行四边形.
【例题3】如图,在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中,点P是其中的一个顶点,以点P为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形),请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 .
【答案】:
解:
如图所示,
∵PD=1,每个菱形有一个角是60°,
∴PC=
∵∠APB=90°
∴斜边CD=2,CB=
=
,DA=
=
,AB=4.
【解析】根据已知求得PD,PC的长,再根据勾股定理即可求得斜边的长.
四、课堂运用
【基础】1、如图:
在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则菱形的边长为( )
A、5B、10
C、6D、8
【答案】解:
设AC与BD相交于点O,
由菱形的性质知:
AC⊥BD,OA=
AC=3,OB=
BD=4
在Rt△OAB中,AB=
=
=5
所以菱形的边长为5.
故选A.
【解析】:
根据菱形的性质:
菱形的对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角,可知每个直角三角形的直角边,根据勾股定理可将菱形的边长求出.
2、已知:
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,求证:
四边形BCDE是菱形.
【答案】∵AD⊥BD,
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点,
∴BE=
AB,DE=
AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴BE=DE,
∴∠EDB=∠EBD,
∵CB=CD,
∴∠CDB=∠CBD,
∵AB∥CD,
∴∠EBD=∠CDB,
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD,
∵BD=BD,
∴△EBD≌△CBD(SAS),
∴BE=BC,
∴CB=CD=BE=DE,
∴菱形BCDE.(四边相等的四边形是菱形)
3、如图,四边形ABCD为菱形,已知A(0,4),B(﹣3,0).
(1)求点D的坐标;
(2)求经过点C的反比例函数解析式.
【答案】
(1)∵A(0,4),B(﹣3,0),∴OB=3,OA=4,∴AB=5.在菱形ABCD中,AD=AB=5,∴OD=1,∴D(0,﹣1).
(2)∵BC∥AD,BC=AB=5,∴C(﹣3,﹣5).
设经过点C的反比例函数解析式为y=
.把(﹣3,﹣5)代入解析式得:
k=15,∴y=
.
【解析】根据菱形的性质及反比例函数图像得
【巩固】:
1、如图,在▱ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,连接DE、BF、BD.
(1)求证:
△ADE≌△CBF.
(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?
请证明你的结论.
【答案】
(1)证明:
在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,AD=BC,
∵E、F分别为AB、CD的中点,
∴AE=CF.
在△AED和△CFB中,
∴△AED≌△CFB(SAS);
(2)解:
若AD⊥BD,则四边形BFDE是菱形.
证明:
∵AD⊥BD,
∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°.
∵E是AB的中点,
∴DE=
AB=BE.
由题意可知EB∥DF且EB=DF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴四边形BFDE是菱形.
【解析】1)根据题中已知条件不难得出,AD=BC,∠A=∠C,E、F分别为边AB、CD的中点,那么AE=CF,这样就具备了全等三角形判定中的SAS,由此可得出△AED≌△CFB.
(2)直角三角形ADB中,DE是斜边上的中线,因此DE=BE,又由DE=BF,FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形.
2.、如图所示,矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD,交BC于E,∠CAE=15°,那么∠AOB= .
【答案】:
解:
∵∠CAE=15°和AE平分∠BAD
∴∠BAO=45°+15°=60°,
又∵AO=BO,
∴△ABO为等边三角形,
∴∠AOB=60°,
故答案为60°.
【解析】根据∠CAE=15°和AE平分∠BAD,即可求得∠BAO=60°,再根据OA=OB即可判定△ABO为等边三角形,即可求∠AOB,即可解题.
3、如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.
(1)求证:
四边形ABED是菱形;
(2)若∠ABC=60°,CE=2BE,试判断△CDE的形状,并说明理由.
【答案】
(1)证明:
如图,∵AE平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
∵AB=AD,AE=AE,
∴△BAE≌△DAE,
∴BE=DE,
∵AD∥BC,
∴∠2=∠3=∠1,
∴AB=BE,
∴AB=BE=DE=AD,
∴四边形ABED是菱形.
(2)解:
△CDE是直角三角形.
如图,过点D作DF∥AE交BC于点F,
则四边形AEFD是平行四边形,
∴DF=AE,AD=EF=BE,
∵CE=2BE,
∴BE=EF=FC,
∴DE=EF,
又∵∠ABC=60°,AB∥DE,
∴∠DEF=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴DF=EF=FC,
∴△CDE是直角三角形.
【拔高】
1、如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足,连接DF,则∠CDF为( )
解答:
解:
如图,连接BF,
在△BCF和△DCF中,
∵CD=CB,∠DCF=∠BCF,CF=CF
∴△BCF≌△DCF
∴∠CBF=∠CDF
∵FE垂直平分AB,∠BAF=
×80°=40°
∴∠ABF=∠BAF=40°
∵∠ABC=180°﹣80°=100°,∠CBF=100°﹣40°=60°
∴∠CDF=60°.
【解析】:
连接BF,利用SAS判定△BCF≌△DCF,从而得到∠CBF=∠CDF,根据已知可注得∠CBF的度数,则∠CDF也就求得了.
3、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连接这四个点,得四边形EFGH.
(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:
四边形EFGH的形状(不要求证明);
(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=α(0°<α<90°),
①试用含α的代数式表示∠HAE;
②求证:
HE=HG;
③四边形EFGH是什么四边形?
并说明理由.
【答案】
(1)答:
四边形EFGH的形状是正方形.
(2)解:
①∠HAE=90°+a,
在平行四边形ABCD中AB∥CD,
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a,
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形,
∴∠HAD=∠EAB=45°,
∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a,
答:
用含α的代数式表示∠HAE是90°+a.
②证明:
∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形,
∴AE=
AB,DG=
CD,
在平行四边形ABCD中,AB=CD,
∴AE=DG,
∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形,
∴∠HDA=∠CDG=45°,
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE,
∵△HAD是等腰直角三角形,
∴HA=HD,
∴△HAE≌△HDC,
∴HE=HG.
③答:
四边形EFGH是正方形,
理由是:
由②同理可得:
GH=GF,FG=FE,
∵HE=HG,
∴GH=GF=EF=HE,
∴四边形EFGH是菱形,
∵△HAE≌△HDG,
∴∠DHG=∠AHE,
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
【解析】
(1)根据等腰直角三角形得到角都是直角,且边都相等即可判断答案;
(2)①∠HAE=90°+a,根据平行四边形的性质得出,∠BAD=180°-a,根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形,得到∠HAD=∠EAB=45°,求出∠HAE即可;
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形,得出AE=
AB,DG=
CD,平行四边形的性质得出AB=CD,求出∠HDG=90°+a=∠HAE,证△HAE≌△HDC,即可得出HE=HG;
③由②同理可得:
GH=GF,FG=FE,推出GH=GF=EF=HE,得出菱形EFGH,证△HAE≌△HDG,求出∠AHD=90°,∠EHG=90°,即可推出结论.
课程小结
1.菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的面积等于底乘以高,等于对角线乘积的一半
2.菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,还具有自己独特的性质:
①边的性质:
对边平行且四边相等.
②角的性质:
邻角互补,对角相等.
③对角线性质:
对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.
④对称性:
菱形是中心对称图形,也是轴对称图形.
3、菱形的判定
判定①:
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定②:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
课后作业
【基础】
1、如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC等于( )
A、20B、15
C、10D、5
【答案】解:
∵AB=BC,∠B+∠BCD=180°,∠BCD=120°
∴∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC=AB=5
故选D.
【解析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形,从而得到AC=AB.
2.能判定一个四边形是菱形的条件是( )
A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分
【答案】根据菱形的判定方法:
对角线互相垂直平分来判断即可.
解:
菱形的判定方法有三种:
①定义:
一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四边相等;
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.只有D能判定为是菱形,
故选D.
【解析】根据菱形的判定方法:
对角线互相垂直平分来判断即可.
3、如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线AC上一点,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗?
为什么?
【答案】解:
是菱形.
理由如下:
∵PE⊥AB,PF⊥AD,且PE=PF,
∴AC是∠DAB的角平分线,
∴∠DAC=∠CAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,
∴∠DCA=∠CAB,
∴∠DAC=∠DCA,
∴DA=DC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
【巩固】
1、四边形的四边长顺次为a、b、c、d,且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,则此四边形一定是( )
A、平行四边形B、矩形
C、菱形D、正方形
【答案】故选C.
【解析】本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣d)2+(a﹣d)2=0,从而得出a=b=c=d,∴四边形一定是菱形.
解:
整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,
2(a2+b2+c2+d2)=2(ab+bc+cd+ad),)
∴(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣d)2+(a﹣d)2=0,
由非负数的性质可知:
(a﹣b)=0,(b﹣c)=0,(c﹣d)=0,(a﹣d)=0,
∴a=b=c=d,
∴四边形一定是菱形,
【拔高】
1、如图,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
(1)求证:
AE=DF;
(2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.
【答案】证明:
(1)∵DE∥AC,∠ADE=∠DAF,
同理∠DAE=∠FDA,
∵AD=DA,
∴△ADE≌△DAF,
∴AE=DF;
(2)若AD平分∠BAC,四边形AEDF是菱形,
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴∠DAF=∠FDA.
∴AF=DF.
∴平行四边形AEDF为菱形
【解析】1)利用AAS推出△ADE≌△DAF,再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF;
(2)先根据已知中的两组平行线,可证四边形DEFA是▱,再利用AD是角平分线,结合AE∥DF,易证∠DAF=∠FDA,利用等角对等边,可得AF=DF,从而可证▱AEDF实菱形.
2、如图,已知△ABC的面积为3,且AB=AC,现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.
(1)求△ABC所扫过的图形的面积;
(2)试判断AF与BE的位置关系,并说明理由;
(3)若∠BEC=15°,求AC的长.
【答案】
解:
(1)连接BF,由题意知△ABC≌△EFA,BA∥EF,且BA=EF
∴四边形ABFE为平行四边形,
∴S平行四边形ABFE=2S△EAF∴△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE=3+6=9;
(2)由
(1)知四边形ABFE为平行四边形,且AB=AE,
∴四边形ABFE为菱形,
∴AF与BE互相垂直且平分.
(3)过点B作BD⊥CA于点D,
∵AB=AE,
∴∠AEB=∠ABE=15°.
∴∠BAD=30°BD=
AB=
AC.
∴
BD•AC=3,
AC•AC=3.
∴AC2=12.
∴AC=2
.
【解析】
(1)根据题意:
易得△ABC≌△EFA,BA∥EF,且BA=EF,进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF,故可求出△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE;
(2)根据平移的性质,可得四边形ABFE为菱形,故AF与BE互相垂直且平分;
(3)根据题意易得:
所以∠AEB=∠ABE=15°,
BD•AC=3,
AC•AC=3,进而可得AC的长度.
3、已知:
在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AD,E是BC的中点,连接AE.AC.
(1)点F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图1),求证:
△AOE∽△COF;
(2)若点F是DC的中点,连接BD,交AE与点G(如图2),求证:
四边形EFDG是菱形.
【答案】
(1)证明:
∵点E是BC的中点,BC=2AD,
∴EC=BE=
BC=AD,
又∵AD∥DC,
∴四边形AECD为平行四边形,
∴AE∥DC,
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,
∴△AOE∽△COF;
(2)证明:
连接DE,
∵DE平行且等于BE,
∴四边形ABED是平行四边形,
又∠ABE=90°,
∴□ABED是矩形,
∴GE=GA=GB=GD=
BD=
AE,
∴E.F分别是BC.CD的中点,
∴EF.GE是△CBD的两条中线,
∴EF=
BD=GD,GE=
CD=DF,
又GE=GD,
∴EF=GD=GE=DF,
∴四边形EFDG是菱形.
【解析】
(1)由点E是BC的中点,BC=2AD,可证得四边形AECD为平行四边形,即可得△AOE∽△COF;
(2)连接DE,易得四边形ABED是平行四边形,又由∠ABE=90°,可证得四边形ABED是矩形,根据矩形的性质,易证得EF=GD=GE=DF,则可得四边形EFDG是菱形.
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