高考数学重点专题复习课件及分类突破 2.docx
- 文档编号:25260157
- 上传时间:2023-06-06
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:40.97KB
高考数学重点专题复习课件及分类突破 2.docx
《高考数学重点专题复习课件及分类突破 2.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学重点专题复习课件及分类突破 2.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学重点专题复习课件及分类突破2
第2节 排列与组合
考试要求 1.理解排列、组合的概念;2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
知识梳理
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=.
(2)C==
=(n,m∈N*,且m≤n).特别地C=1
性质
(1)0!
=1;A=n!
.
(2)C=C;C=C+C
[微点提醒]
1.解受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题,一般先分组,再分配,注意平均分组与不平均分组的区别,避免重复或遗漏.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )
(3)若组合式C=C,则x=m成立.( )
(4)(n+1)!
-n!
=n·n!
.( )
(5)kC=nC.( )
解析
(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列,故
(1)错;
(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序,元素相同即为同一组合,故
(2)错;(3)若C=C,则x=m或n-m,故(3)错.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√ (5)√
2.(选修2-3P18例3改编)从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是( )
A.12B.24C.64D.81
解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学,每人一本,则不同的分配方法种数为A=24.
答案 B
3.(选修2-3P26知识改编)计算C+C+C+C的值为________(用数字作答).
解析 原式=C+C+C=C+C=C=C=210.
答案 210
4.(2019·济宁质检)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144B.120C.72D.24
解析 “插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A=4×3×2=24.
答案 D
5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种(用数字作答).
解析 法一 可分两种情况:
第一种情况,只有1位女生入选,不同的选法有CC=12种;第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有CC=4种.根据分类加法计数原理知,至少有1位女生入选的不同的选法有12+4=16种.
法二 从6人中任选3人,不同的选法有C=20种,从6人中任选3人都是男生,不同的选法有C=4种,所以至少有1位女生入选的不同的选法有20-4=16种.
答案 16
6.(2018·浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).
解析 若取的4个数字不包括0,则可以组成的四位数的个数为CCA;若取的4个数字包括0,则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上,一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA+CCCA=720+540=1260.
答案 1260
考点一 排列问题
【例1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,女生必须站在一起;
(4)全体排成一排,男生互不相邻;
(5)(一题多解)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;
(6)(一题多解)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边.
解
(1)从7人中选5人排列,有A=7×6×5×4×3=2520(种).
(2)分两步完成,先选3人站前排,有A种方法,余下4人站后排,有A种方法,共有A·A=5040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A种方法,再将女生全排列,有A种方法,共有A·A=576(种).
(4)(插空法)先排女生,有A种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有A种方法,共有A·A=1440(种).
(5)法一 (特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有A种排列方法,共有5×A=3600(种).
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人,有A种排法,其他有A种排法,共有AA=3600(种).
(6)法一 (特殊元素优先法)甲在最右边时,其他的可全排,有A种方法;甲不在最右边时,可从余下的5个位置任选一个,有A种,而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A种,其余人全排列,只有A种不同排法,共有A+AAA=3720.
法二 (间接法)7名学生全排列,只有A种方法,其中甲在最左边时,有A种方法,乙在最右边时,有A种方法,其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形,有A种方法,故共有A-2A+A=3720(种).
规律方法 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
【训练1】(2019·天津和平区二模)7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为( )
A.120B.240C.360D.480
解析 第一步,从甲、乙、丙三人选一个加到前排,有3种,第二步,前排3人形成了4个空,任选一个空加一人,有4种,第三步,后排4人形成了5个空,任选一个空加一人有5种,此时形成6个空,任选一个空加一人,有6种,根据分步乘法计数原理有3×4×5×6=360种方法.
答案 C
考点二 组合问题
【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?
(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?
(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?
(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?
(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?
解
(1)从余下的34种商品中,选取2种有C=561(种),∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中,选取3种,有C种或者C-C=C=5984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.
(3)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件有CC=2100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.
(4)选取2种假货有CC种,选取3种假货有C种,共有选取方式CC+C=2100+455=2555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.
(5)选取3种的总数为C,选取3种假货有C种,因此共有选取方式
C-C=6545-455=6090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
规律方法 组合问题常有以下两类题型变化:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:
“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:
解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.
【训练2】
(1)(一题多解)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为( )
A.14B.24C.28D.48
(2)(2019·杭州二模)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.60种B.63种C.65种D.66种
解析
(1)法一 4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况,故不同的选派方案种数为
C·C+C·C=2×4+1×6=14.
法二 从4男2女中选4人共有C种选法,4名都是男生的选法有C种,故至少有1名女生的选派方案种数为C-C=15-1=14.
(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数,或全为偶数,或2个奇数和2个偶数,故不同的取法有C+C+CC=66(种).
答案
(1)A
(2)D
考点三 分组、分配问题
【例3】
(1)国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教,现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有________种不同的分派方法.
(2)(2019·西安月考)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派一名教师,则不同的分配方法有( )
A.80种B.90种C.120种D.150种
(3)A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌上开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的坐法有( )
A.24种B.30种C.48种D.60种
解析
(1)先把6个毕业生平均分成3组,有种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A=6种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有·A=90种分派方法.
(2)分两类:
一类,第一步将5名老师按2,2,1分成3组,其分法有种,第二步将分好的3组分派到3个学校,则有·A=90种分派方法;
另一类,第一步将5名老师按3,1,1分成3组,其分法有种,第二步将分好的3组分派到3个学校,则有A=60种分派方法.
所以不同的分派方法的种数为90+60=150(种).
(3)B,C二人必须坐相邻的两把椅子,有4种情况,B,C可以交换位置,有A=2种情况;其余三人坐剩余的三把椅子,有A=6种情况,故共有4×2×6=48种情况.
答案
(1)90
(2)D (3)C
规律方法 1.对于整体均分问题,往往是先分组再排列,在解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A(n为均分的组数),避免重复计数.
2.对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!
.
3.对于不等分问题,首先要对分配数量的可能情形进行一一列举,然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中,又要考虑是分步计数还是分类计数,是排列问题还是组合问题.
【训练3】
(1)(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种B.18种C.24种D.36种
(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).
解析
(1)先把4项工作分为2,1,1共3组,有=6种分法,再将3组对应3个志愿者,有A=6种情况,由分步乘法计数原理,故安排方式有6×6=36种.
(2)分情况:
一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人,种数为CCA=36;另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人,种数为A=24,则获奖情况总共有36+24=60(种).
答案
(1)D
(2)60
[思维升华]
1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排;
(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题倍除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价条件.
[易错防范]
1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题,关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关,则是排列;如果与顺序无关,则是组合.
2.解组合应用题时,应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.
基础巩固题组
(建议用时:
35分钟)
一、选择题
1.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.8B.24C.48D.120
解析 末位数字排法有A种,其他位置排法有A种,共有AA=48(种).
答案 C
2.不等式A<6×A的解集为( )
A.{2,8}B.{2,6}C.{7,12}D.{8}
解析 <6×,
∴x2-19x+84<0,解得7 又x≤8,x-2≥0, ∴7 答案 D 3.从6本不同的书中选出4本,分别发给4个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同分配方法有( ) A.180种B.220种C.240种D.260种 解析 因为其中两本书不能发给甲同学,所以甲只能从剩下的4本中分一本,然后再选3本分给3个同学,故有A·A=240种. 答案 C 4.(一题多解)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( ) A.18B.24C.30D.36 解析 法一 选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC=18种,选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC=12种,故3名学生中男女生都有的选法有CC+CC=30种. 法二 从7名同学中任选3名的方法数,再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数,即C-C-C=30. 答案 C 5.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是( ) A.9B.10C.18D.20 解析 由于lga-lgb=lg(a>0,b>0), ∴lg有多少个不同的值,只需看不同值的个数. 从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种,又与相同,与相同,∴lga-lgb的不同值的个数有A-2=18. 答案 C 6.10名同学合影,站成了前排3人,后排7人,现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为( ) A.CAB.CAC.CAD.CA 解析 首先从后排的7人中抽2人,有C种方法;再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA. 答案 C 7.(2019·济南模拟)有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有( ) A.34种B.48种C.96种D.144种 解析 特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有C种选法,乙、丙相邻,有4种情况,乙、丙可以交换位置,有A种情况,其余3人站剩余的3个位置,有A种情况,由分步乘法计数原理知共有4CAA=96种. 答案 C 8.福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( ) A.90种B.180种C.270种D.360种 解析 根据题意,分3步进行分析: ①在6位志愿者中任选1个,安排到甲展区,有C=6种情况;②在剩下的5个志愿者中任选1个,安排到乙展区,有C=5种情况;③将剩下的4个志愿者平均分成2组,然后安排到剩下的2个展区,有×A=6种情况,则一共有6×5×6=180种不同的安排方案. 答案 B 二、填空题 9.从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛,若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛,则选派方案共有________种(用数字作答). 解析 特殊位置优先考虑,既然甲、乙都不能参加生物竞赛,则从另外4个人中选择一人参加,有C种方案;然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3科,有A种方案.故共有CA=4×60=240种方案. 答案 240 10.已知-=,则m=________. 解析 由组合数公式化简整理得m2-23m+42=0解得m=2或m=21(舍去). 答案 2 11.在一展览会上,要展出5件艺术作品,其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件,在展台上将这5件作品排成一排,要求2件书法作品必须相邻,2件绘画作品不能相邻,则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种(用数字作答). 解析 将2件必须相邻的书法作品看作一个整体,同1件建筑设计展品全排列,再将2件不能相邻的绘画作品插空,故共有AAA=24种不同的展出方案. 答案 24 12.(2019·烟台模拟)某班主任准备请2019届毕业生做报告,要从甲、乙等8人中选4人发言,要求甲、乙两人至少一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言中间需恰隔一人,那么不同的发言顺序共有________种(用数字作答). 解析 若甲、乙同时参加,有CCCAA=120种,若甲、乙有一人参与,有CCA=960种,从而总共的发言顺序有1080种. 答案 1080 能力提升题组 (建议用时: 15分钟) 13.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A,B,C三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去A社区,乙不去B社区,则不同的安排方法种数为( ) A.8B.7C.6D.5 解析 根据题意,分2种情况: ①乙和甲一起去A社区,此时将丙丁二人安排到B,C社区即可,有A=2种情况,②乙不去A社区,则乙必须去C社区,若丙丁都去B社区,有1种情况,若丙丁中有1人去B社区,则先在丙丁中选出1人,安排到B社区,剩下1人安排到A或C社区,有2×2=4种情况,则不同的安排方法种数有2+1+4=7. 答案 B 14.(2019·天津和平区一模)把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则不同的放法种数为( ) A.35B.70C.165D.1860 解析 根据题意,分4种情况讨论: ①没有空盒,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选3个,插入隔板,将小球分成4组,顺次对应4个盒子,有C=35种放法; ②有1个空盒,在4个盒中任选3个,放入小球,有C=4种选法,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选2个,插入隔板,将小球分成3组,顺次对应3个盒子,有C=21种分组方法,则有4×21=84种放法; ③有2个空盒,在4个盒中任选2个,放入小球,有C=6种选法,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选1个,插入隔板,将小球分成2组,顺次对应2个盒子,有C=7种分组方法,则有6×7=42种方法; ④有3个空盒,即将8个小球全部放进1个盒子,有4种放法. 故一共有35+84+42+4=165种放法. 答案 C 15.(2019·江西八所重点中学模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为________(用数字作答). 解析 从5人中任选3人有C种,将3人位置全部进行调整,有C·C·C种. 故有N=C·C·C·C=20种调整方案. 答案 20 16.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素有________个(用数字作答). 解析 因为xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5,且1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3,所以xi中至少两个为0,至多四个为0. ①xi(i=1,2,3,4,5)中4个0,1个为-1或1,A有2C=10个元素;
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考数学重点专题复习课件及分类突破 高考 数学 重点 专题 复习 课件 分类 突破