版高考数学大一轮复习第十章计数原理102排列与组合试题理.docx
- 文档编号:25258841
- 上传时间:2023-06-06
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:40.96KB
版高考数学大一轮复习第十章计数原理102排列与组合试题理.docx
《版高考数学大一轮复习第十章计数原理102排列与组合试题理.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《版高考数学大一轮复习第十章计数原理102排列与组合试题理.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
版高考数学大一轮复习第十章计数原理102排列与组合试题理
第十章计数原理10.2排列与组合试题理北师大版
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用A表示.
(2)组合数的定义:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
=
(2)C==
=
性质
(1)0!
=1;A=n!
(2)C=C;C=C+C__
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × )
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
(4)(n+1)!
-n!
=n·n!
.( √ )
(5)A=nA.( √ )
(6)kC=nC.( √ )
1.(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )
A.24B.48
C.60D.72
答案 D
解析 由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5;分为两步:
先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种情况,再将剩下的4个数字排列得到A种情况,则满足条件的五位数有C·A=72(个).故选D.
2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144B.120C.72D.24
答案 D
解析 “插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A=4×3×2=24.
3.(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数,其中偶数的个数为( )
A.8B.24C.48D.120
答案 C
解析 末位数字排法有A种,其他位置排法有A种,
共有AA=48(种).
4.某高三毕业班有40人,同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)
答案 1560
解析 依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A=40×39=1560(条)留言.
5.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有________种.
答案 14
解析 分两类:
①有1名女生:
CC=8.
②有2名女生:
CC=6.
∴不同的选派方案有8+6=14(种).
题型一 排列问题
例1
(1)3名男生,4名女生,选其中5人排成一排,则有________种不同的排法.
(2)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有________种.
答案
(1)2520
(2)216
解析
(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列,有A=2520(种)排法.
(2)当最左端排甲时,不同的排法共有A种;当最左端排乙时,甲只能排在中间四个位置之一,则不同的排法共有CA种.故不同的排法共有A+CA=120+96=216(种).
引申探究
1.本例
(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排,前排3人,后排4人”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?
解 前排3人,后排4人,相当于排成一排,共有A=5040(种)排法.
2.本例
(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排,男、女各站在一起”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?
解 相邻问题(捆绑法):
男生必须站在一起,是男生的全排列,有A种排法;女生必须站在一起,是女生的全排列,有A种排法;全体男生、女生各视为一个元素,有A种排法.根据乘法原理,共有A·A·A=288(种)排法.
3.本例
(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排,男生不能站在一起”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?
解 不相邻问题(插空法):
先安排女生共有A种排法,男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法,故共有A·A=1440(种)排法.
4.本例
(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排,甲不站排头也不站排尾”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?
解 先安排甲,从除去排头和排尾的5个位置中安排甲,有A=5(种)排法;再安排其他人,有A=720(种)排法.所以共有A·A=3600(种)排法.
思维升华 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数.
求:
(1)有多少个含2,3,但它们不相邻的五位数?
(2)有多少个含数字1,2,3,且必须按由大到小顺序排列的六位数?
解
(1)先不考虑0是否在首位,0,1,4,5先排三个位置,则有A个,2,3去排四个空档,有A个,即有AA个;而0在首位时,有AA个,即有AA-AA=252(个)含有2,3,但它们不相邻的五位数.
(2)在六个位置先排0,4,5,先不考虑0是否在首位,则有A个,去掉0在首位,即有A-A个,0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位,1,2,3必须由大到小进入相应位置,并不能自由排列,所以有A-A=100(个)六位数.
题型二 组合问题
例2
(1)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法的种数是( )
A.60B.63
C.65D.66
(2)要从12人中选出5人去参加一项活动,A,B,C三人必须入选,则有________种不同选法.
答案
(1)D
(2)36
解析
(1)因为1,2,3,…,9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数,故有C+C+CC=66(种)不同的取法.
(2)只需从A,B,C之外的9人中选择2人,即有C=36(种)不同的选法.
引申探究
1.本例
(2)中若将条件“A,B,C三人必须入选”改为“A,B,C三人都不能入选”,其他条件不变,则不同的选法有多少种?
解 由A,B,C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人,即有C=C=126(种)不同的选法.
2.本例
(2)中若将条件“A,B,C三人必须入选”改为“A,B,C三人只有一人入选”,其他条件不变,则不同的选法有多少种?
解 可分两步,先从A,B,C三人中选出1人,有C种选法,再从余下的9人中选4人,有C种选法,所以共有C×C=378(种)不同的选法.
3.本例
(2)中若将条件“A,B,C三人必须入选”改为“A,B,C三人至少一人入选”,其他条件不变,则不同的选法有多少种?
解 可考虑间接法,从12人中选5人共有C种,再减去A,B,C三人都不入选的情况C种,共有C-C=666(种)不同的选法.
思维升华 组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:
“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:
解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.
某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?
(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?
(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?
(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?
(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?
解
(1)从余下的34种商品中,
选取2种有C=561(种),
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中,选取3种,有C种或者C-C=C=5984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.
(3)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件有CC=2100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.
(4)选取2件假货有CC种,选取3件假货有C种,共有选取方式CC+C=2100+455=2555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.
(5)选取3件的总数为C,因此共有选取方式
C-C=6545-455=6090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
题型三 排列与组合问题的综合应用
命题点1 相邻问题
例3 (2017·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( )
A.3×3!
B.3×(3!
)3
C.(3!
)4D.9!
答案 C
解析 把一家三口看作一个排列,然后再排列这3家,所以有(3!
)4种坐法.
命题点2 相间问题
例4 某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是________.
答案 120
解析 先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:
“小品1,小品2,相声”,“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”,有ACA=36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□小品1□相声□小品2□”,有AA=48(种)安排方法.根据加法原理,共有36+36+48=120(种)安排方法.
命题点3 特殊元素(位置)问题
例5 (2016·郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数,当三个数字中有2和3时,2需排在3的前面(不一定相邻),这样的三位数有________个.
答案 51
解析 分三类:
第一类,没有2,3,由其他三个数字组成三位数,有A=6(个);
第二类,只有2或3其中的一个,需从1,4,5中选两个数字组成三位数,有2CA=36(个);
第三类,2,3均有,再从1,4,5中选一个,因为2需排在3的前面,所以可组成CA=9(个).
根据加法原理,这样的三位数共有51个.
思维升华 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法.在特定条件下,将几个相关元素视为一个元素来考虑,待整个问题排好之后,再考虑它们“内部”的排列.
(2)相间问题插空法.先把一般元素排好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中,它与捆绑法有同等作用.
(3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置,然后再排列其他一般元素或位置.
(4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类,而每一类的排列数较易求出,然后根据分类加法计数原理求出排列总数.
(1)(2016·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( )
A.150B.180
C.200D.280
(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学,若每所大学至少保送1人,甲不能被保送到北大,则不同的保送方案共有( )
A.150种B.114种
C.100种D.72种
答案
(1)A
(2)C
解析
(1)分两类:
一类,3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1,则有·A=90(种)分派方法;另一类,3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3,则有C·A=60(种)分派方法,所以不同分派方法种数为90+60=150,故选A.
(2)先将五人分成三组,因为要求每组至少一人,所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1,所以共有+=25(种)分组方法.因为甲不能被保送到北大,所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择,剩下的两组无限制,一共有4种方法,所以不同的保送方案共有25×4=100(种).
14.排列、组合问题
典例 有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有________种.
错解展示
解析 先从一等品中取1个,有C种取法;再从余下的19个零件中任取2个,有C种不同取法,共有C×C=2736(种)不同取法.
答案 2736
现场纠错
解析 方法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类:
“恰有1个一等品”,“恰有2个一等品”,“恰有3个一等品”,根据加法原理,
有CC+CC+C=1136(种).
方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”,用间接法:
C-C=1136(种).
答案 1136
纠错心得
(1)解排列、组合问题的基本原则:
特殊优先,先分组再分解,先取后排;较复杂问题可采用间接法,转化为求它的对立事件.
(2)解题时要细心、周全,做到不重不漏.
1.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为( )
A.48B.36C.24D.12
答案 C
解析 (捆绑法)爸爸排法有A种,两个小孩排在一起故看成一体,有A种排法,妈妈和孩子共有A种排法,
∴排法种数共有AAA=24(种).故选C.
2.(2016·黄山月考)某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为( )
A.16B.18C.24D.32
答案 C
解析 将四个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在三个车位上任意排列,有A=6(种)排法,再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中,有4种方法,故共有4×6=24(种)方法.
3.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有( )
A.34种B.48种
C.96种D.144种
答案 C
解析 程序A有A=2(种)结果,将程序B和C看作一个元素与除A外的3个元素排列有AA=48(种),
根据乘法原理,实验编排共有2×48=96(种)方法.
4.将A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列数有( )
A.12种B.20种
C.40种D.60种
答案 C
解析 (消序法)五个元素没有限制全排列为A,
由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C或C,B,A),
故除以这三个元素的全排列A,
可得×2=40(种).
5.(2017·长沙质检)某校高二年级共有6个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为( )
A.ACB.AC
C.AAD.2A
答案 B
解析 方法一 将4人平均分成两组有C种方法,将此两组分配到6个班级中的2个班有A种.
所以不同的安排方法有CA种.
方法二 先从6个班级中选2个班级有
C26种不同方法,然后安排学生有CC种,故
CC=AC种.
6.(2017·汉中质检)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )
A.24对B.30对
C.48对D.60对
答案 C
解析 正方体中共有12条面对角线,任取两条作为一对共有C=66(对),12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角.相对两面上的4条对角线组成的C=6(对)组合中,平行有2对,垂直有4对,所以所有的平行和垂直共有3C=18(对).所以成60°角的有C-3C=66-18=48(对).
7.(2016·北京西城区期末)现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多2人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有________种.(用数字作答)
答案 54
解析 第一类,把甲、乙看作一个复合元素,另外3人分成两组,再分配到3个小组中,有CA=18(种);第二类,先把另外的3人分配到3个小组,再把甲、乙分配到其中2个小组,有AA=36(种).根据加法原理,共有36+18=54(种)不同的带队方案.
8.(2017·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种.(用数字作答)
答案 60
解析 分两类:
第一类:
3张中奖奖券分给3个人,共A种分法;
第二类:
3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人,共有CA种分法.
总获奖情况共有A+CA=60(种).
9.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.
答案 36
解析 先考虑产品A与B相邻,把A,B作为一个元素有A种方法,而A,B可交换位置,所以有2A=48(种)摆法,又当A,B相邻且又满足A,C相邻,有2A=12(种)摆法,故满足条件的摆法有48-12=36(种).
10.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误方法共有________种.
答案 11
解析 把g、o、o、d4个字母排一列,可分两步进行,第一步:
排g和d,共有A种排法;第二步:
排两个o,共一种排法.所以总的排法种数为A=12,其中正确的有一种,所以错误的共有A-1=12-1=11(种).
11.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种.(用数字作答)
答案 480
解析 从左往右看,若C排在第1位,共有A=120(种)排法;若C排在第2位,A和B有C右边的4个位置可以选,共有A·A=72(种)排法;若C排在第3位,则A,B可排C的左侧或右侧,共有A·A+A·A=48(种)排法;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有2×(120+72+48)=480(种)排法.
12.2016年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码中选择.公司规定:
凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”,享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”,“8685”为“金猴卡”,求这组号码中“金猴卡”的张数.
解 ①当后四位数恰有2个6时,“金猴卡”共有C×9×9=486(张);
②当后四位数恰有2个8时,“金猴卡”也共有C×9×9=486(张).
但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况,所以要减掉C=6,即“金猴卡”共有486×2-6=966(张).
13.有9名学生,其中2名会下象棋但不会下围棋,3名会下围棋但不会下象棋,4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生,一名参加象棋比赛,另一名参加围棋比赛,共有多少种不同的选派方法?
解 设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C,则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类:
第一类:
A中选1人参加象棋比赛,B中选1人参加围棋比赛,方法数为C·C=6(种);
第二类:
C中选1人参加象棋比赛,B中选1人参加围棋比赛,方法数为C·C=12(种);
第三类:
C中选1人参加围棋比赛,A中选1人参加象棋比赛,方法数为C·C=8(种);
第四类:
C中选2人分别参加两项比赛,方法数为A=12(种).
根据加法原理,不同的选派方法共有
6+12+8+12=38(种).
14.(2017·洛阳预测)设三位数n=,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有多少个?
解 a,b,c要能构成三角形的边长,显然均不为0,即a,b,c∈{1,2,3,…,9}.①若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为n1,由于三位数中三个数字都相同,所以n1=C=9;②若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为n2,由于三位数中只有2个不同数字,设为a,b,注意到三角形腰与底可以互换,所以可取的数组(a,b)共有2C组,但当大数为底时,设a>b,必须满足b a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b 4,3,2,1 4,3,2,1 3,2,1 3,2,1 1,2 1,2 1 1 共20种情况.同时,每个数组(a,b)中的两个数字填上三个数位,有C种情况,故n2=C(2C-20)=156. 综上,n=n1+n2=165.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 一轮 复习 第十 计数 原理 102 排列 组合 试题
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)