中考数学热身训练《二次函数》含答案解析.docx
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中考数学热身训练《二次函数》含答案解析
二次函数
1.如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;
(2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:
球出手时,他跳离地面的高度是多少?
2.某商场购进一批单价为16元的日用品,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?
每月的最大利润是多少?
3.在体育测试时,初三的一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)该男同学把铅球推出去多远?
(精确到0.01米,
=3.873)
4.某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知:
这种服装每天的销售量t(件),与每件的销售价x(元/件)可看成是一次函数关系:
t=﹣3x+204
(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差);
(2)通过对所得函数关系式进行配方,指出:
商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适;最大销售利润为多少?
5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练,身体(将运动员看成一点)在空中运动的路线是如图所示坐标系经过原点O的抛物线(图中标出的数据为已知数据).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中最高处距水面
米,入水处距池边4米.同时,运动员在距水面高度5米以前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误.
(1)求这条抛物线的关系式;
(2)某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是
(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为
米,问此次跳水会不会失误?
通过计算说明理由.
6.某服装经销商甲,库存有进价每套400元的A品牌服装1200套,正常销售时每套600元,每月可卖出100套,一年内刚好卖完,现在市场上流行B品牌服装,此品牌服装进价每套200元,售出价每套500元,每月可买出120套(两套服装的市场行情互不影响).目前有一可进B品牌的机会,若这一机会错过,估计一年内进不到这种服装,可是,经销商手头无流动资金可用,只有低价转让A品牌服装,经与经销商乙协商,达成协议,转让价格(元/套)与转让数量(套)有如下关系:
转让数量(套)120011001000900800700600500400300200100
价格(元/套)240250260270280290300310320330340350
方案1:
不转让A品牌服装,也不经销B品牌服装;
方案2:
全部转让A品牌服装,用转让来的资金购B品牌服装后,经销B品牌服装;
方案3:
部分转让A品牌服装,用转让来的资金购B品牌服装后,经销B品牌服装,同时经销A品牌服装.
问:
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元?
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润?
若选用方案3,请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少(精确到百套)?
此时他在一年内共得利润多少元?
7.某商店以每件30元的价格购进一种衣服,试销中发现,这种衣服每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=210﹣3x.
(1)写出商店卖这种衣服每天的利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(不考虑房租、人工等因素);
(2)如果商场要每天获得最大利润,每件衣服的售价应定为多少?
并求出这最大利润.
8.如图,一边靠学校院墙,其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD的边AB=x米,面积为S平方米.
(1)求:
S与x之间的函数关系式,并求当S=200米2时,x的值;
(2)设矩形的边BC=y米,如果x,y满足关系式x:
y=y:
(x+y)即矩形成黄金矩形,求此黄金矩形的长和宽.
9.某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰好在水面中心,安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,抛物线的形状如图
(1)和
(2)所示,建立直角坐标系,水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y=﹣x2+2x+
,请回答下列问题.
(1)柱子OA的高度为多少米?
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?
二次函数
参考答案与试题解析
1.如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;
(2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:
球出手时,他跳离地面的高度是多少?
【考点】HE:
二次函数的应用.
【分析】
(1)设抛物线的表达式为y=ax2+3.5,依题意可知图象经过的坐标,由此可得a的值.
(2)设球出手时,他跳离地面的高度为hm,则可得h+2.05=﹣0.2×(﹣2.5)2+3.5.
【解答】解:
(1)∵当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,
∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5),
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5.
由图知图象过以下点:
(1.5,3.05).
∴2.25a+3.5=3.05,
解得:
a=﹣0.2,
∴抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5.
(2)设球出手时,他跳离地面的高度为hm,
因为
(1)中求得y=﹣0.2x2+3.5,
则球出手时,球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05)m,
∴h+2.05=﹣0.2×(﹣2.5)2+3.5,
∴h=0.2(m).
答:
球出手时,他跳离地面的高度为0.2m.
【点评】这是一道典型的函数类综合应用题,对函数定义、性质,以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查,对学生的数学思维具有很大的挑战性.
2.某商场购进一批单价为16元的日用品,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?
每月的最大利润是多少?
【考点】HE:
二次函数的应用.
【分析】
(1)设出一次函数解析式y=kx+b,用待定系数法求解即可.
(2)按照等量关系“每月获得的利润=(销售价格﹣进价)×销售件数”列出二次函数,并求得最值.
【解答】解:
(1)依题意设y=kx+b,
则有
解得
.
所以y=﹣30x+960(16≤x≤32)
(2)每月获得利润P=(﹣30x+960)(x﹣16)
=30(﹣x+32)(x﹣16)
=30(﹣x2+48x﹣512)
=﹣30(x﹣24)2+1920.
所以当x=24时,P有最大值,最大值为1920.
答:
当价格为24元时,才能使每月获得最大利润,最大利润为1920元.
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用,重点是掌握求最值的问题.
注意:
数学应用题来源于实践,用于实践,在当今社会市场经济的环境下,应掌握一些有关商品价格和利润的知识,总利润等于总收入减去总成本,然后再利用二次函数求最值.
3.在体育测试时,初三的一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)该男同学把铅球推出去多远?
(精确到0.01米,
=3.873)
【考点】HE:
二次函数的应用.
【分析】
(1)由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式,再将(0,2)代入即可求解.
(2)由
(1)求得的函数解析式,令y=0,求得的x的正值即为铅球推出的距离.
【解答】解:
(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣h)2+k,
由于顶点坐标为(6,5),
∴y=a(x﹣6)2+5.
又A(0,2)在抛物线上,
∴2=62•a+5,
解得:
a=﹣
.
∴二次函数的解析式为y=﹣
(x﹣6)2+5,
整理得:
y=﹣
x2+x+2.
(2)当y=0时,﹣
x2+x+2=0.
x=6+2
,x=6﹣2
(不合题意,舍去).
∴x=6+2
≈13.75(米).
答:
该同学把铅球抛出13.75米.
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用,重点是函数解析式的求法.
4.某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知:
这种服装每天的销售量t(件),与每件的销售价x(元/件)可看成是一次函数关系:
t=﹣3x+204
(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差);
(2)通过对所得函数关系式进行配方,指出:
商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适;最大销售利润为多少?
【考点】HE:
二次函数的应用.
【分析】
(1)商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定.在这个问题中,每件服装的利润为(x﹣42),而销售的件数是(﹣3x+204),由销售利润y=(售价﹣成本)×销售量,那么就能得到一个y与x之间的函数关系,这个函数是二次函数.
(2)要求销售的最大利润,就是要求这个二次函数的最大值.
【解答】解:
(1)由题意,销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系为
y=(x﹣42)(﹣3x+204),
即y=﹣3x2+330x﹣8568.
故商场卖这种服装每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为y=﹣3x2+330x﹣8568;
(2)配方,得y=﹣3(x﹣55)2+507.
故当每件的销售价为55元时,可取得最大利润,每天最大销售利润为507元.
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题,此类题是近年中考中的热点问题.注意利用二次函数求最值时,关键是应用一次函数的性质;即由函数y随x的变化,结合自变量的取值范围确定最值.
5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练,身体(将运动员看成一点)在空中运动的路线是如图所示坐标系经过原点O的抛物线(图中标出的数据为已知数据).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中最高处距水面
米,入水处距池边4米.同时,运动员在距水面高度5米以前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误.
(1)求这条抛物线的关系式;
(2)某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是
(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为
米,问此次跳水会不会失误?
通过计算说明理由.
【考点】HE:
二次函数的应用.
【专题】16:
压轴题.
【分析】
(1)根据题意可求起跳点,入水处的坐标及顶点的纵坐标,结合对称轴的位置可求出解析式;
(2)距池边的水平距离为3
米处的横坐标是1
,可求出纵坐标,再根据实际求出距水面的距离,与5进行比较,得出结论.
【解答】解:
(1)如答图所示,在给定的直角坐标系中,设最高点为A,入水点为B.
∵A点距水面
米,跳台支柱10米,
∴A点的纵坐标为
.
由题意可得O(0,0),B(2,﹣10).
设该抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,
把O(0,0),B(2,﹣10)代入上式,
得
,
解得
或
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴﹣
>0,
又∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴b>0,
∴a=﹣
,b=
,c=0,
∴所求抛物线的关系式为y=
.
(2)试跳会出现失误,当x=
时,
y=
.
此时,运动员距水面的高为
,
∴试跳会出现失误.
【点评】本题重在考查认真读题,仔细观察图象,得出特殊点的坐标是关键.
6.某服装经销商甲,库存有进价每套400元的A品牌服装1200套,正常销售时每套600元,每月可卖出100套,一年内刚好卖完,现在市场上流行B品牌服装,此品牌服装进价每套200元,售出价每套500元,每月可买出120套(两套服装的市场行情互不影响).目前有一可进B品牌的机会,若这一机会错过,估计一年内进不到这种服装,可是,经销商手头无流动资金可用,只有低价转让A品牌服装,经与经销商乙协商,达成协议,转让价格(元/套)与转让数量(套)有如下关系:
转让数量(套)120011001000900800700600500400300200100
价格(元/套)240250260270280290300310320330340350
方案1:
不转让A品牌服装,也不经销B品牌服装;
方案2:
全部转让A品牌服装,用转让来的资金购B品牌服装后,经销B品牌服装;
方案3:
部分转让A品牌服装,用转让来的资金购B品牌服装后,经销B品牌服装,同时经销A品牌服装.
问:
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元?
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润?
若选用方案3,请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少(精确到百套)?
此时他在一年内共得利润多少元?
【考点】HE:
二次函数的应用.
【专题】21:
阅读型;22:
方案型.
【分析】
(1)根据利润=(售价﹣成本)×销售量,分别求出两方案一年内的利润.
(2)设转让A品牌服装x套,则转让价格是每套360﹣
元,可进购B品牌服装
套,列出利润与x之间的函数关系式,求其最大值.
【解答】解:
经销商甲的进货成本是=1200×400=480000(元)
①若选方案1,
则获利1200×600﹣480000=240000(元).
若选方案2,
得转让款1200×240=288000元,可进购B品牌服装
=1440套,一年内刚好卖空可获利1440×500﹣480000=240000(元).
②设转让A品牌服装x套,
则转让价格是每套360﹣
元,可进购B品牌服装
套,全部售出B品牌服装后得款
元,
此时还剩A品牌服装(1200﹣x)套,全部售出A品牌服装后得款600(1200﹣x)元,
共获利w=
+600(1200﹣x)﹣480000=﹣
+330000(0<x≤1200).
故当x=600套时,可得最大利润为330000元.
答:
经销商甲选择方案3可以使自己一年内获得最大利润.若选用方案3,请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是600(精确到百套),此时他在一年内共得利润330000元.
【点评】本题主要考查二次函数的应用,根据利润=(售价﹣成本)×销售量,列出函数关系式,求出最值,运用二次函数解决实际问题,比较简单.
7.某商店以每件30元的价格购进一种衣服,试销中发现,这种衣服每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=210﹣3x.
(1)写出商店卖这种衣服每天的利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(不考虑房租、人工等因素);
(2)如果商场要每天获得最大利润,每件衣服的售价应定为多少?
并求出这最大利润.
【考点】HE:
二次函数的应用.
【分析】
(1)每件商品的利润为(x﹣30),销售量为(210﹣3x),根据利润=每件利润×销售量,列函数式;
(2)根据顶点坐标公式求最大利润及最大利润时,每件衣服的售价.
【解答】解:
(1)∵每件商品的利润为(x﹣30),
∴y=(x﹣30)(210﹣3x)=﹣3x2+300x﹣6300;
(2)当x=﹣
=50时,
y最大=
=1200.
答:
当每件衣服定为50元时,每天有最大利润,最大利润是1200元.
【点评】根据自变量x表示的实际意思,表示每件利润及销售量,根据销售问题中的基本等量关系列函数式.
8.如图,一边靠学校院墙,其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD的边AB=x米,面积为S平方米.
(1)求:
S与x之间的函数关系式,并求当S=200米2时,x的值;
(2)设矩形的边BC=y米,如果x,y满足关系式x:
y=y:
(x+y)即矩形成黄金矩形,求此黄金矩形的长和宽.
【考点】HE:
二次函数的应用.
【分析】
(1)设AB为x,则BC=40﹣2x,列出关系式,
(2)当BC=y则y=40﹣2x,联立二次方程解得x和y.
【解答】解:
(1)S=x(40﹣2x)=﹣2x2+40x
当S=200时,
﹣2x2+40x﹣200=0
解得x=10;
(2)当BC=y则y=40﹣2x①
又y2=x(x+y)②
由①、②解得x=20±4
,
其中20+4
不合题意,舍去,
∴x=20﹣4
米,y=8
米
当矩形成黄金矩形时,宽为20﹣4
米,长为8
米.
【点评】本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题.
9.某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰好在水面中心,安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,抛物线的形状如图
(1)和
(2)所示,建立直角坐标系,水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y=﹣x2+2x+
,请回答下列问题.
(1)柱子OA的高度为多少米?
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?
【考点】HE:
二次函数的应用.
【分析】在已知抛物线解析式的情况下,利用其性质,求顶点(最大高度),与x轴,y轴的交点,解答题目的问题.
【解答】解:
(1)当x=0时,y=
,
故OA的高度为1.25米;
(2)∵y=﹣x2+2x+
=﹣(x﹣1)2+2.25,
∴顶点是(1,2.25),
故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米;
(3)解方程﹣x2+2x+
=0,
得x1=﹣
,x2=
,
∴B点坐标为
,
∴OB=
.
故不计其他因素,水池的半径至少要2.5米,才能使喷出的水流不至于落在水池外.
【点评】本题是抛物线解析式的实际应用,要求掌握抛物线顶点,与x轴交点,y轴交点的实际意义.
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