数值分析与算法.docx
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数值分析与算法
计算方法实验题目及结论
1、做出下列函数的草图,找出其根的隔离区间,并用对分法求出方程的根。
(e=10-3)
(a)
f(x)=x-3^(-x)
对分区间[ab]=[01]
精度控制e=0.001
有根区间
01.0000
0.50001.0000
0.50000.7500
0.50000.6250
0.50000.5625
0.53130.5625
0.54690.5625
0.54690.5547
0.54690.5508
0.54690.5488
0.54690.5479
(b)
方程的解x=0.5474
f(x)=7*x-4+exp(x)-x^2
对分区间[ab]=[01]
精度控制e=0.001
有根区间
01.0000
00.5000
0.25000.5000
0.37500.5000
0.37500.4375
0.37500.4063
0.37500.3906
0.38280.3906
0.38280.3867
0.38280.3848
0.38280.3838
方程的解x=0.3833
2、分别用顺序消元法和列主元消元法解下列方程组,观察两种方法的区别(保留4位有效数字)。
(a)
用高斯顺序消元法解方程组Ax=b
A=[632;1086;853]
632
1086
853
b=[6;0;0]
6
0
0
方程组的增广矩阵[A|b]
6326
10860
8530
消元
6.00003.00002.00006.0000
03.00002.6667-10.0000
01.00000.3333-8.0000
消元
6.00003.00002.00006.0000
03.00002.6667-10.0000
00-0.5556-4.6667
回代得到方程组的解
3.6000-10.80008.4000
用列主元高斯消元法解方程组Ax=b
A=[632;1086;853]
632
1086
853
b=[6;0;0]
6
0
0
方程组的增广矩阵[A|b]
6326
10860
8530
选主元
10860
6326
8530
消元
10.00008.00006.00000
0-1.8000-1.60006.0000
0-1.4000-1.80000
消元
10.00008.00006.00000
0-1.8000-1.60006.0000
00-0.5556-4.6667
回代得到方程组的解
3.6000-10.80008.4000
(b)
用高斯顺序消元法解方程组Ax=b
A=[632;1056;853]
632
1056
853
b=[6;0;0]
6
0
0
方程组的增广矩阵[A|b]
6326
10560
8530
消元
6.00003.00002.00006.0000
002.6667-10.0000
01.00000.3333-8.0000
输入格式错误,请重新输入
(主对角线上有0值,不可用顺序消元法)
用列主元高斯消元法解方程组Ax=b
A=[632;1056;853]
632
1056
853
b=[6;0;0]
6
0
0
方程组的增广矩阵[A|b]
6326
10560
8530
选主元
10560
6326
8530
消元
10.00005.00006.00000
00-1.60006.0000
01.0000-1.80000
选主元
10.00005.00006.00000
01.0000-1.80000
00-1.60006.0000
消元
10.00005.00006.00000
01.0000-1.80000
00-1.60006.0000
回代得到方程组的解
5.6250-6.7500-3.7500
(c)
用高斯顺序消元法解方程组Ax=b
A=[632;1056;843]
632
1056
843
b=[6;0;0]
6
0
0
方程组的增广矩阵[A|b]
6326
10560
8430
这个方程组无解
用列主元高斯消元法解方程组Ax=b
A=[632;1056;843]
632
1056
843
b=[6;0;0]
6
0
0
方程组的增广矩阵[A|b]
6326
10560
8430
这个方程组无解!
3、分别用雅可比迭代法塞德尔迭代法解下列方程组,观察两种方法的区别。
(e=10-3)
(a)
用Jacobi迭代法解线性方程组Ax=b
A=[12-2;111;221]
12-2
111
221
b=[7;2;5]
7
2
5
迭代公式x(k+1)=Mx(k)+f
M=
0-22
-10-1
-2-20
f=
7
2
5
允许误差e=0.001
迭代过程
725
13-10-13
12-1
12-1
迭代3次,得到方程的解
12-1
用Gauss-Seidel迭代法解方程组Ax=b
A=[12-2;111;221]
12-2
111
221
b=[7;2;5]
7
2
5
迭代公式x(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+f
L=
000
100
220
U=
02-2
001
000
f=
7
-5
1
Gauss-Seidel迭代法不收敛,请选择其它方法
(b)
用Jacobi迭代法解线性方程组Ax=b
A=[211;131;111]
211
131
111
b=[1;2;3]
1
2
3
迭代公式x(k+1)=Mx(k)+f
M=
0-0.5000-0.5000
-0.33330-0.3333
-1.0000-1.00000
f=
0.5000
0.6667
3.0000
Jacobi迭代法不收敛,请选择其它方法
用Gauss-Seidel迭代法解方程组Ax=b
A=[211;131;111]
211
131
111
b=[1;2;3]
1
2
3
迭代公式x(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+f
L=
000
0.333300
1.00001.00000
U=
00.50000.5000
000.3333
000
f=
0.5000
0.5000
2.0000
允许误差e=0.001
迭代过程
0.50000.50002.0000
-0.75000.25003.5000
-1.3750-0.04174.4167
-1.6875-0.24314.9306
-1.8438-0.36235.2060
-1.9219-0.42805.3499
-1.9609-0.46305.4239
-1.9805-0.48125.4616
-1.9902-0.49055.4807
-1.9951-0.49525.4903
-1.9976-0.49765.4951
-1.9988-0.49885.4976
-1.9994-0.49945.4988
-1.9997-0.49975.4994
迭代13次,计算结果
-1.9997-0.49975.4994
(c)
用Jacobi迭代法解线性方程组Ax=b
A=[521;-142;2-310]
521
-142
2-310
b=[-12;20;3]
-12
20
3
迭代公式x(k+1)=Mx(k)+f
M=
0-0.4000-0.2000
0.25000-0.5000
-0.20000.30000
f=
-2.4000
5.0000
0.3000
允许误差e=0.001
迭代过程
-2.40005.00000.3000
-4.46004.25002.2800
-4.55602.74502.4670
-3.99142.62752.0347
-3.85792.98481.8865
-3.97123.09221.9670
-4.03033.02372.0219
-4.01392.98152.0132
-3.99522.99001.9972
-3.99543.00261.9960
-4.00023.00311.9999
-4.00123.00002.0010
-4.00022.99922.0002
-3.99972.99981.9998
迭代13次,得到方程的解
-3.99972.99981.9998
用Gauss-Seidel迭代法解方程组Ax=b
A=[521;-142;2-310]
521
-142
2-310
b=[-12;20;3]
-12
20
3
迭代公式x(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+f
L=
000
-0.250000
0.2000-0.30000
U=
00.40000.2000
000.5000
000
f=
-2.4000
4.4000
2.1000
允许误差e=0.001
迭代过程
-2.40004.40002.1000
-4.58002.80502.0575
-3.93352.98791.9831
-3.99183.01052.0015
-4.00452.99812.0003
-3.99933.00001.9999
-4.00003.00012.0000
迭代6次,计算结果
-4.00003.00012.0000
4、在区间[-11]对函数
插值,取分点构造10次拉格郎日插值多项式P10(x),分别作出f(x)与P10(x)的草图,分析其结果。
f1(x);f2(x);...;fn(x)]=1/(1+25*x^2)
坐标点(可以是向量)x=[-1:
0.2:
1]
自变量xf1(x)蓝色
-1.00000.0385
-0.80000.0588
-0.60000.1000
-0.40000.2000
-0.20000.5000
01.0000
0.20000.5000
0.40000.2000
0.60000.1000
0.80000.0588
1.00000.0385
插值节点x=[-1:
0.2:
1]
插值节点上的函数值y=1/(1+25*x^2)
红色表示插值节点,蓝色表示插值多项式p(x)
p(x)=
-220.9417x^10+1.6614e-12x^9+494.9095x^8-3.1725e-12x^7
-381.4338x^6+1.8137e-12x^5+123.3597x^4-3.1676e-13x^3
-16.8552x^2+1.5367e-14x+1
5、用三次样条拟合表格中的数据和两种边界条件:
(1)一阶导数m0=1,m3=0,
(2)二阶导数M0=1,M3=0
x
0
1
2
3
f(x)
0
0
0
0
(1)插值节点x=[0123]
插值节点上的函数值y=[0000]
输入两个端点的一阶导数值[ab]=[10]
红色表示插值节点,样条插值函数S(x),每一段用不同的颜色表示
s1(x)=0.73333x^3-1.7333x^2+x0<=x<=1
s2(x)=-0.2x^3+1.0667x^2-1.8x+0.933331<=x<=2
s3(x)=0.066667x^3-0.53333x^2+1.4x-1.22<=x<=3
6、用最小二乘法拟合表格中的数据,分别用1,2,3次多项式拟合,观察拟合的效果。
x
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
f(x)
5.3
5.6
5.9
6.4
7.1
6.8
5.9
5.2
插值节点x=[0.20.30.40.50.60.70.80.9]
插值节点上的函数值y=[5.35.65.96.47.16.85.95.2]
拟合多项式的阶数m=1
正规方程组Ax=b,其中[Ab]=
8.00004.400048.2000
4.40002.840026.7200
红色表示插值节点,蓝色表示拟合多项式p(x)
p(x)=0.5x+5.75
插值节点x=[0.20.30.40.50.60.70.80.9]
插值节点上的函数值y=[5.35.65.96.47.16.85.95.2]
拟合多项式的阶数m=2
正规方程组Ax=b,其中[Ab]=
8.00004.40002.840048.2000
4.40002.84002.024026.7200
2.84002.02401.533217.1360
红色表示插值节点,蓝色表示拟合多项式p(x)
p(x)=-12.2619x^2+13.9881x+2.6845
插值节点x=[0.20.30.40.50.60.70.80.9]
插值节点上的函数值y=[5.35.65.96.47.16.85.95.2]
拟合多项式的阶数m=3
正规方程组Ax=b,其中[Ab]=
8.00004.40002.84002.024048.2000
4.40002.84002.02401.533226.7200
2.84002.02401.53321.208217.1360
2.02401.53321.20820.978412.0488
红色表示插值节点,蓝色表示拟合多项式p(x)
p(x)=-26.7677x^3+31.9048x^2-7.8276x+5.7762
7、分别用梯型积分公式与辛扑森公式计算下列定积分。
(e=10-4)
(a)梯型积分公式
f(x)=exp(-x^2)+3^(-x)
积分区间[ab]=[01]
允许误差e=0.0001
T1=1.3506
T2=1.3534
T4=1.3536
T8=1.3536
辛扑森公式
f(x)=exp(-x^2)+3^(-x)
积分区间[ab]=[01]
允许误差e=0.0001
S1=1.3543
S2=1.3537
S4=1.3537
梯型积分公式
f(x)=cos(2*sin(x))+sin(x)
积分区间[ab]=[02]
允许误差e=0.0001
T1=1.6640
T2=1.5616
T4=1.6007
T8=1.6103
T16=1.6127
T32=1.6133
T64=1.6135
T128=1.6135
辛扑森公式
f(x)=cos(2*sin(x))+sin(x)
积分区间[ab]=[02]
允许误差e=0.0001
S1=1.5274
S2=1.6137
S4=1.6135
8、求下列常微分方程的数值解(e=10-3)
解一阶常微分方程(组)dy/dx=f(x,y),y(x0)=y0
f(x,y)=[-y
(1)+y
(2)+sin(2*x);y
(1)-y
(2)-sin(2*x)]
x的取值范围[ab]=[010]
初始值y(a)=[10]
单步相对误差e=0.001
自变量xy
(1)-蓝色y
(2)-绿色
01.00000
0.00010.99990.0001
0.00050.99950.0005
0.00250.99750.0025
0.01250.98780.0122
0.04610.95800.0420
0.09770.92020.0798
0.16280.88460.1154
0.23810.85820.1418
0.32050.84420.1558
0.40750.84240.1576
0.49680.85070.1493
0.58850.86600.1340
0.68130.88490.1151
0.77400.90370.0963
0.86600.91960.0804
0.95740.93020.0698
1.04950.93390.0661
1.14550.92870.0713
1.25540.91030.0897
1.40460.86320.1368
1.61360.75780.2422
1.82270.61820.3818
1.99020.49550.5045
2.15800.37610.6239
2.32170.27510.7249
2.47450.20360.7964
2.62150.16170.8383
2.77170.14950.8505
2.94840.17590.8241
3.15910.25970.7403
3.32600.35730.6427
3.49280.47100.5290
3.65740.58640.4136
3.82340.69350.3065
3.97760.77420.2258
4.12400.82710.1729
4.26900.85200.1480
4.42550.84600.1540
4.65380.77830.2217
4.82390.68920.3108
4.99410.57840.4216
5.15710.46370.5363
5.32530.34950.6505
5.48430.25700.7430
5.63340.19220.8078
5.77810.15520.8448
5.92740.14720.8528
6.10690.17870.8213
6.30240.25930.7407
6.49790.37620.6238
6.66300.49050.5095
6.82860.60600.3940
6.99240.70900.2910
7.14500.78510.2149
7.29060.83320.1668
7.43650.85330.1467
7.59790.84070.1593
7.81560.76900.2310
7.98470.67750.3225
8.15370.56580.4342
8.31710.45070.5493
8.48610.33730.6627
8.64380.24790.7521
8.79210.18640.8136
8.93670.15270.8473
9.08750.14840.8516
9.27550.18710.8129
9.45920.26730.7327
9.64280.37850.6215
9.80660.49190.5081
9.97210.60740.3926
10.00000.62600.3740
解一阶常微分方程(组)dy/dx=f(x,y),y(x0)=y0
f(x,y)=[y
(1)*(1-y
(2)^2)-y
(2);y
(1)]
x的取值范围[ab]=[010]
初始值y(a)=[10]
单步相对误差e=0.001
自变量xy
(1)-蓝色y
(2)-绿色
01.00000
0.00011.00010.0001
0.00051.00050.0005
0.00251.00250.0025
0.01251.01250.0126
0.06251.06230.0644
0.25541.24420.2875
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