考研数学三真题.docx
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考研数学三真题
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试卷
一、选择题(每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.
(2)设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是对应的齐次方程的解,则
(3)设函数f(x),g(x)具有二阶导数,且g"(x)<0,若g(x0)=a是g(x)的极值,则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是
(A)f'(a)<0.(B)f'(a)>0.(C)f"(a)<0.(D)f"(a)>0.
(4)
,则当x充分大时有
(A)g(x)<h(x)<f(x).(B)h(x)<g(x)<f(x).
(C)f(x)<g(x)<h(x).(D)g(x)<f(x)<h(x).
(5)设向量组Ⅰ:
α1,α2,…,αr,可由向量组Ⅱ:
β1,β2,…,β3线性表示,则下列命题正确的是
(A)若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s.(B)若向量组Ⅰ线性相关,则r>s.
(C)若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s.(D)若向量组Ⅱ线性相关,则,r>s.
(6)设A为4阶实对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A与A相似于
(7)设随机变量X的分布函数
(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[-1,3]上的均匀分布的概率密度,若
为概率密度,则a,b应满足
(A)2a+3b=4.(B)3a+2b=4.(C)a+b=1(D)a+b=2.
二、填空题(把答案填在题中横线上。
)
(9)设可导函数y=y(x)由方程
______.
(10)设位于曲线
下方,x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______.
(11)设某商品的收益函数为R(P),收益弹性为1+P3,其中P为价格,且R
(1)=1,则R(P)=______.
(12)若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(-1,0),则b=______.
(13)设A,B为3阶矩阵,且|A|=3,|B|=2,|A-1+B|=2,则|A+B-1|=______.
(14)若X1,X2,…,Xn,为来自正态总体N(μ,σ2)(σ>0)的简单随机样本,记统计量
,则E(T)=______.
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)
(16)
(17)
求函数u=xy+2yz在约束条件x2++y2+z2=10下的最大值和最小值.
(18)
(19)
设函数f(x)在闭区间[0,3]上连续,在开区间(0,3)内二阶可导,且
(Ⅰ)证明存在η∈(0,2),使得f(η)=f(0);
(Ⅱ)证明存在ζ∈(0,3),使得f"(ζ)=0.
(20)
已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解.
(Ⅰ)求λ,a;
(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解.
(21)
(22)
设二维随机变量(X,y)的概率密度为
求常数A以及条件概率密度fY|X(y|x).
(23)
箱中装有6个球,其中红、白、黑球个数分别为1,2,3,现从箱中随机地取出2个球,记X为取出红球的个数,Y为取出白球的个数.
(Ⅰ)求随机变量(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)求Cov(X,Y).
参考解答
一、选择题
(1)C
(2)A(3)B(4)C(5)A(6)D(7)C(8)A
二、填空题
(9)-1(10)
(11)
(12)3(13)3(14)μ2+σ2
三、解答题
(15)分析:
化为指数形式,用洛比达法则及等价无穷小替换.
(16)分析:
被积函数展开,利用二重积分的对称性.
解:
显然D关于x轴对称,且D=D1∪D2,其中
评注:
二重积分的对称性的考查一直是重要测试内容.
(17)分析:
本题为条件极值问题,用拉格朗日乘数法.
评注:
求多元函数的极值已连续几年考查,仍属基本题型。
(18)分析:
对(Ⅰ)比较被积函数的大小,对(Ⅱ)用分部积分法计算积分
,再用夹逼定理求极限.
评注:
若一题有多问,一定要充分利用前问提供的信息.
(19)分析:
需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理。
证明:
(Ⅰ)因f(x)在闭区间[0,2]上连续,由积分中值定理得,至少存在一点η∈(0,2),使得
又f(x)在闭区间[2,3]上连续,从而
介于f(x)在[2,3]上的最大值与最小值之间,由介值定理知,至少存在一点γ∈[2,3],使得
f(y)=f(0).
因此f(x)在区间[0,η],[η,γ]上都满足罗尔中值定理条件,
于是至少存在点ζ1∈(0,η),ζ2∈(η,γ),
有f'(ζ1)=f'(ζ2)=0,
由f(x)在[0O,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,知f'(x)在[ζ1,ζ2]上连续,在(ζ1,ζ2)可导,用罗尔中值定理,至少存在一点ζ∈(ζ1,ζ2)
(0,3),使得f''(ζ)=0.
评注:
一般地有如下结论:
设f(x)在[a,b]上连续,
a<x1<x2<…<xn<b,(i=1,2,…,n),
(20)分析:
本题考查方程组解的判定与通解的求法.由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解,而且非齐次线性方程组有无穷多解.
解:
(Ⅰ)解法一
由线性方程组Ax=b存在2个不同解,得λ=-1,a=-2.
解法二由线性方程组Ax=b有2个不同的解,知r(A)=r(A|b)<3,因此方程组的系数行列式
得λ=1或-1;而当λ=1时,r(A)=1≠r(A|b)=2,此时,Ax=b无解,所以λ=-1.
由r(A)=r(A|b)得a=-2.
(Ⅱ)当λ=-1,a=-2时,
故方程组Ax=b的通解为
,k为任意常数.
(21)分析:
本题考查实对称矩阵的正交对角化问题.由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值,然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量,从而最终求出Q.
=(λ+4)(λ-2)(λ-5)=0
得A的特征值为λ1=2,λ2=-4,λ3=5,且对应于λ1=2的特征向量为
由(-4E-A)x=0得对应于λ2=-4的特征向量为α2=(-1,0,1)T。
南(5E-A)x=0得对应于λ3=5的特征向量为α3=(1,-1,1)T.
因A为实对称矩阵,α1,α2,α3为对应于不同特征值的特征向量,所以η1,η2,η3为单位正交向量组.令
(22)分析:
本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算,而求条件密度的本质还是求边缘密度.
解:
由联合概率密度的性质有
(23)分析:
本题是计算二维离散型随机变量的联合分布律与数字特征,第一问实际上为古典概率问题解:
(Ⅰ)易知X的所有可能取值为0,1,Y的所有可能取值为O,1,2.{X=i,Y=j.}表示取到i个红球,j个白球.由古典概型得
故二维随机变量(X,Y)的概率分布为
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