高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明第3课时简单的线性规划练习理11024248.docx
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高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明第3课时简单的线性规划练习理11024248
第3课时简单的线性规划
1.(2018·沈阳四校联考)下列各点中,与点(1,2)位于直线x+y-1=0的同一侧的是( )
A.(0,0) B.(-1,1)
C.(-1,3)D.(2,-3)
答案 C
解析 点(1,2)使x+y-1>0,点(-1,3)使x+y-1>0,所以此两点位于x+y-1=0的同一侧.故选C.
2.不等式(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面区域为( )
答案 B
解析 方法一:
可转化为①或②
由于(-2,0)满足②,所以排除A,C,D选项.
方法二:
原不等式可转化为③或④
两条直线相交产生四个区域,分别为上下左右区域,③表示上面的区域,④表示下面的区域,故选B.
3.(2017·天津,理)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值为( )
A.B.1
C.D.3
答案 D
解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=x+y得y=-x+z,作出直线y=-x,平移使之经过可行域,观察可知,最大值在B(0,3)处取得,故zmax=0+3=3,选项D符合.
4.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是( )
A.(-∞,)B.(-∞,)
C.(-∞,-)D.(-∞,-)
答案 C
解析 作出可行域如图.
图中阴影部分表示可行域,要求可行域包含y=x-1的上的点,只需要可行域的边界点(-m,m)在y=x-1下方,也就是m<-m-1,即m<-.
5.(2016·北京,理)若x,y满足则2x+y的最大值为( )
A.0B.3
C.4D.5
答案 C
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界),
由解得故当目标函数z=2x+y经过点A(1,2)时,z取得最大值,zmax=2×1+2=4.故选C.
6.(2018·西安四校联考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为( )
A.-7B.-4
C.1D.2
答案 A
解析 画出由x,y满足的约束条件
如图所示,得它们的交点分别为A(2,0),B(5,3),C(1,3).
可知z=y-2x过点B(5,3)时,z最小值为3-2×5=-7.
7.(2017·贵阳监测)已知实数x,y满足:
则z=2x-2y-1的取值范围是( )
A.[,5]B.[0,5]
C.[,5)D.[-,5)
答案 D
解析 画出不等式组所表示的区域,如图中阴影部分所示,作直线l:
2x-2y-1=0,平移l可知2×-2×-1≤z<2×2-2×(-1)-1,即z的取值范围是[-,5).
8.(2017·南昌调研)设变量x,y满足约束条件则z=|x-3y|的最大值为( )
A.10B.8
C.6D.4
答案 B
解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.
当平移直线x-3y=0过点A时,m=x-3y取最大值;
当平移直线x-3y=0过点C时,m=x-3y取最小值.
由题意可得A(-2,-2),C(-2,2),所以mmax=-2-3×(-2)=4,mmin=-2-3×2=-8,所以-8≤m≤4,所以|m|≤8,即zmax=8.
9.(2014·安徽,理)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.或-1B.2或
C.2或1D.2或-1
答案 D
解析 作出约束条件满足的可行域,根据z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,通过数形结合分析求解.
如图,由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2;当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.
10.(2015·福建)变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于( )
A.-2B.-1
C.1D.2
答案 C
解析 如图所示,目标函数z=2x-y取最大值2即y=2x-2时,画出表示的区域,由于mx-y≤0过定点(0,0),要使z=2x-y取最大值2,则目标函数必过两直线x-2y+2=0与y=2x-2的交点A(2,2),因此直线mx-y=0过点A(2,2),故有2m-2=0,解得m=1.
11.(2017·泉州质检)已知O为坐标原点,A(1,2),点P的坐标(x,y)满足约束条件则z=·的最大值为( )
A.-2B.-1
C.1D.2
答案 D
解析
作出可行域如图中阴影部分所示,易知B(0,1),z=·=x+2y,平移直线x+2y=0,显然当直线z=x+2y经过点B时,z取得最大值,且zmax=2.故选D.
12.已知实数x,y满足条件则z=的最小值为( )
A.3+B.2+
C.D.
答案 C
解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.目标函数z==表示在可行域取一点与点(2,0)连线的斜率,可知过点(2,0)作半圆的切线,切线的斜率为z=的最小值,设切线方程为y=k(x-2),则A到切线的距离为1,故1=.解得k=.
13.(2018·苏州市高三一诊)实数x,y满足则使得z=2y-3x取得最小值的最优解是( )
A.(1,0)B.(0,-2)
C.(0,0)D.(2,2)
答案 A
解析 约束条件所表示的可行域为三角形,其三个顶点的坐标分别为(0,0),(1,0),(2,2),将三个顶点的坐标分别代入到目标函数z=2y-3x中,易得在(1,0)处取得最小值,故取得最小值的最优解为(1,0).
14.(2018·湖北宜昌市)设x,y满足约束条件若z=x+3y的最大值与最小值的差为7,则实数m=( )
A.B.-
C.D.-
答案 C
解析 作出不等式组表示的平面区域(图略),由图易得目标函数z=x+3y在点(1,2)处取得最大值;zmax=1+3×2=7,在点(m-1,m)处取得最小值,zmin=m-1+3m=4m-1.又由题知7-(4m-1)=7,解得m=,故选C.
15.(2018·兰州模拟)已知M(-4,0),N(0,-3),P(x,y)的坐标x,y满足则△PMN面积的取值范围是( )
A.[12,24]B.[12,25]
C.[6,12]D.[6,]
答案 C
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.又过点M(-4,0),N(0,-3)的直线的方程为3x+4y+12=0,而它与直线3x+4y=12平行,其距离d==,所以当P点在原点O处时,△PMN的面积最小,其面积为△OMN的面积,此时S△OMN=×3×4=6;当P点在线段AB上时,△PMN的面积最大,为××=12,故选C.
16.(2017·陕西质检一)点(x,y)满足不等式|x|+|y|≤1,Z=(x-2)2+(y-2)2,则Z的最小值为________.
答案
解析 |x|+|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示,
目标函数Z=(x-2)2+(y-2)2的几何意义是点(x,y)到点P(2,2)距离的平方,由图可知Z的最小值为点P(2,2)到直线x+y=1距离的平方,即为()2=.
17.已知整数x,y满足则z=4-x·()y的最小值为________.
答案
解析
z=4-x·()y=2-2x·2-y=2-2x-y.设m=-2x-y,要使z最小,则只需m最小.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由m=-2x-y得y=-2x-m,平移可知当直线y=-2x-m经过点B时,m最小,由解得即B(1,2),此时m=-2-2=-4,所以z=4-x·()y的最小值为2-4=.
18.某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个与55个,所用原料为A,B两种规格金属板,每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个;用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A,B两种规格金属板各取多少张才能完成计划,并使总用料面积最省?
答案 A,B两种金属板各取5张.
解析 设A,B两种金属板各取x张,y张,总用料面积为z,
则约束条件为目标函数z=2x+3y.
作出不等式组的可行域,如图所示.
将z=2x+3y化成y=-x+,得到斜率为-,在y轴上截距为,且随z变化的一组平行直线.
当直线z=2x+3y经过可行域上点M时,截距最小,z取得最小值.
解方程组得点M的坐标为(5,5).
此时zmin=2×5+3×5=25.
所以两种金属板各取5张时,总用料面积最省.
1.(2018·兰州市高考诊断考试)设变量x,y满足不等式组则x2+y2的最小值是( )
A.B.
C.D.2
答案 B
解析 约束条件所表示的可行域为一个三角形,而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方,其距离的最小值为原点到直线x+y=3的距离.∵原点到直线x+y=3的距离为=,∴x2+y2的最小值为.
2.(课本习题改编)不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6=0的( )
A.左下方B.左上方
C.右下方D.右上方
答案 C
解析 画出直线及区域范围,如:
当B<0时,Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的下方区域;Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的上方区域.故选C.
3.(2014·安徽,文)不等式组表示的平面区域的面积为________.
答案 4
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
由得A(8,-2).
由x+y-2=0,得B(0,2).又|CD|=2,
故S阴影=×2×2+×2×2=4.
4.(2016·课标全国Ⅲ,理)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.
答案
解析 约束条件对应的平面区域是以点(1,)、(0,1)和(-2,-1)为顶点的三角形,当目标函数y=-x+z经过点(1,)时,z取得最大值.
5.(2017·沈阳质检)在满足不等式组的平面点集中随机取一点M(x0,y0),设事件A为“y0<2x0”,那么事件A发生的概率是( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 不等式组表示的平面区域的面积为×(1+3)×2=4;不等式组表示的平面区域的面积为×3×2=3,因此所求的概率等于,选B.
6.(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元B.16万元
C.17万元D.18万元
答案 D
解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x,y吨,则利润z=3x+4y.
由题意可列其表示如图阴影部分区域:
.当直线3x+4y-z=0过点A(2,3)时,z取得最大值,所以zmax=3×2+4×3=18,故选D项.
7.(2015·安徽,文)已知x,y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是( )
A.-1B.-2
C.-5D.1
答案 A
解析 作出满足条件的可行域,如图中阴影部分所示,易知在点A(1,1)处,z取得最大值,故zmax=-2×1+1=-1.
8.(2016·课标全国Ⅱ,文)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为________.
答案 -5
解析
通性通法:
作出可行域,如图中阴影部分所示,由z=x-2y得y=x-z,作直线y=x并平移,观察可知,当直线经过点A(3,4)时,zmin=3-2×4=-5.
光速解法:
因为可行域为封闭区域,所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得,易求得边界点分别为(3,4),(1,2),(3,0),依次代入目标函数可求得zmin=-5.
9.已知实数x,y满足不等式组目标函数
z=y-ax(a∈R).若z取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围是________.
答案 (1,+∞)
解析 作出可行域,可行域为三条直线所围成的区域,则它的最大值在三条直线的交点处取得,三个交点分别为(1,3),(7,9),(3,1),所以所以a>1.
10.(2018·安徽安庆模拟)若实数x,y满足则z=的取值范围是________.
答案 [2,]
解析 因为z==+,所以令k=,则z=k+,其中k表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率.根据不等式组画出可行域,则A(2,2),B(3,1),C(,1),如图.由图形可知,≤k≤1,根据函数z=+k的单调性得2≤z≤.所以z∈[2,].
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