高中教育最新高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案.docx
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高中教育最新高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案
——教学资料参考参考范本——
【高中教育】最新高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案
______年______月______日
____________________部门
课题
函数的基本性质(共4课)
修改与创新
课标要求
1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;
2.结合具体函数,了解奇偶性的含义。
命题走向
从近几年来看,函数性质是高考命题的主线索,不论是何种函数,必须与函数性质相关联,因此在复习中,针对不同的函数类别及综合情况,归纳出一定的复习线索。
预测2017年高考的出题思路是:
通过研究函数的定义域、值域,进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
预测明年的对本讲的考察是:
(1)考察函数性质的选择题1个或1个填空题,还可能结合导数出研究函数性质的大题;
(2)以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质,以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。
教学准备
多媒体
教学过程
要点精讲:
1.奇偶性
(1)定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性。
如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
确定f(-x)与f(x)的关系;
作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:
①图象的对称性质:
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
②设
,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
2.单调性
(1)定义:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1
注意:
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1 (2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数y=f,其中u=g(x),A是y=f定义域的某个区间,B是映射g: x→u=g(x)的象集: ①若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f在A上是增函数; ②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f在A上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: 任取x1,x2∈D,且x1 作差f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方); 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数增函数是增函数; 减函数减函数是减函数; 增函数减函数是增函数; 减函数增函数是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M。 那么,称M是函数y=f(x)的最大值。 最小值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M。 那么,称M是函数y=f(x)的最大值。 注意: 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M; 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 利用图象求函数的最大(小)值; 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 4.周期性 (1)定义: 如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数; (2)性质: ①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为。 典例解析: 1.(20xx·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x3 C.y=D.y=x|x| 解析: 选D 由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除B、C,由y=x|x|的图象可知此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选D。 2.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( ) A.k>B.k< C.k>-D.k<- 解析: 选D 函数y=(2k+1)x+b是减函数, 则2k+1<0,即k<-。 3.(教材习题改编)函数f(x)=的最大值是( ) A。 B。 C。 D。 解析: 选D ∵1-x(1-x)=x2-x+1=2+≥,∴0<≤。 4.(教材习题改编)f(x)=x2-2x(x∈)的单调增区间为________;f(x)max=________。 解析: 函数f(x)的对称轴x=1,单调增区间为,f(x)max=f(-2)=f(4)=8。 答案: 8 5.已知函数f(x)为R上的减函数,若m (1),则实数x的取值范围是______. 解析: 由题意知f(m)>f(n); >1,即|x|<1,且x≠0。 故-1 答案: > (-1,0)∪(0,1) 1。 函数的单调性是局部性质 从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子 区间上的性质,是局部的特征.在某个区间上单调,在整 个定义域上不一定单调. 2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函 数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等 函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、 对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函 数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性, 再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间. 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 函数单调性的判断 典题导入 (理)判断函数f(x)=x+(a>0)在(0,+∞)上的单调性. 设x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1-x2)。 当≥x1>x2>0时,x1-x2>0,1-<0, 有f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 此时,函数f(x)=x+(a>0)是减函数; 当x1>x2≥时,x1-x2>0,1->0, 有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 此时,函数f(x)=x+(a>0)是增函数. 综上可知,函数f(x)=x+(a>0)在(0,]上为减函数;在[,+∞)上为增函数. (文)证明函数f(x)=2x-在(-∞,0)上是增函数. 设x1,x2是区间(-∞,0)上的任意两个自变量的值,且x1 则f(x1)=2x1-,f(x2)=2x2-, f(x1)-f(x2)=- =2(x1-x2)+ =(x1-x2) 由于x1 因此f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1) 故f(x)在(-∞,0)上是增函数. 由题悟法 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明; (2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行. 以题试法 1.判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性. 解: 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1 则g(x1)-g(x2)=- =, 由于1 所以x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此g(x1)-g(x2)<0,即g(x1) 故g(x)在(1,+∞)上是增函数. 求函数的单调区间 典题导入 (20xx·长沙模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数k,定义函数fk(x)=取函数f(x)=2-|x|。 当k=时,函数fk(x)的单调递增区间为( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,-1)D.(1,+∞) 由f(x)>,得-1 由f(x)≤,得x≤-1或x≥1。 所以f(x)= 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1). C 若本例中f(x)=2-|x|变为f(x)=log2|x|,其他条件不变,则fk(x)的单调增区间为________. 解析: 函数f(x)=log2|x|,k=时,函数fk(x)的图象如图所示,由图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0,]. 答案: (0,] 由题悟法 求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法: 先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法: 如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法: 利用导数的正负确定函数的单调区间. 以题试法 2.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是( ) A.B. C.D.. 单调性的应用 典题导入 (1)若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m) (2)(20xx·安徽高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是 (1)∵f(x)在R上为增函数,∴2-m ∴m2+m-2>0。 ∴m>1或m<-2。 (2)由f(x)=可得函数f(x)的单调递增区间为,故3=-,解得a=-6。 (1)(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)-6 由题悟法 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行大小比较,解抽象函数不等式,解题时要注意: 一是函数定义域的限制;二是函数单调性的判定;三是等价转化思想与数形结合思想的运用. 以题试法 3. (1)(20xx·孝感调研)函数f(x)=在上的最小值为________,最大值为________. (2)已知函数f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在上的值域为,则a=__________。 解析: (1)∵f′(x)=-<0,∴f(x)在上为减函数,∴f(x)min=f(3)==,f(x)max==1。 (2)由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a>0,x>0)在上单调递增, 所以即解得a=。 答案: (1) 1 (2) 1.(20xx·广东高考)下列函数为偶函数的是( ) A.y=sinx B.y=x3 C.y=exD.y=ln 解析: 选D 四个选项中的函数的定义域都是R。 y=sinx为奇函数.幂函数y=x3也为奇函数.指数函数y=ex为非奇非偶函数.令f(x)=ln,得f(-x)=ln=ln=f(x).所以y=ln为偶函数. 2.已知f(x)=ax2+bx是定义在上的偶函数,那么a+b的值是( ) A.-B。 C。 D.- 解析: 选B ∵f(x)=ax2+bx是定义在上的偶函数, ∴a-1+2a=0,∴a=。 又f(-x)=f(x), ∴b=0,∴a+b=。 3.(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为( ) A.-1B.0 C.1D.2 解析: 选B ∵f(x)为奇函数且f(x+4)=f(x), ∴f(0)=0,T=4。 ∴f(8)=f(0)=0。 4.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________。 解析: 法一: ∵f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于x∈R恒成立,两边平方整理得ax=0,对于x∈R恒成立,故a=0。 法二: 由f(-1)=f (1), 得|a-1|=|a+1|,故a=0。 答案: 0 5.(20xx·广东高考)设函数f(x)=x3cosx+1。 若f(a)=11,则f(-a)=________。 解析: 观察可知,y=x3cosx为奇函数,且f(a)=a3cosa+1=11,故a3cosa=10。 则f(-a)=-a3cosa+1=-10+1=-9。 答案: -9 1。 奇、偶函数的有关性质: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反之亦然; (3)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0; (4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反. 2.若函数满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期;应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期. 函数奇偶性的判断 典题导入 (20xx·福州质检)设Q为有理数集,函数f(x)=g(x)=,则函数h(x)=f(x)·g(x)( ) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数 ∵当x∈Q时,-x∈Q,∴f(-x)=f(x)=1;当x∈∁RQ时,-x∈∁RQ,∴f(-x)=f(x)=-1。 综上,对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数.∵g(-x)===-=-g(x),∴函数g(x)为奇函数.∴h(-x)=f(-x)·g(-x)=f(x)·=-f(x)g(x)=-h(x),∴函数h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.∴h (1)=f (1)·g (1)=,h(-1)=f(-1)·g(-1)=1×=,h(-1)≠h (1),∴函数h(x)不是偶函数. A 由题悟法 利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件; (2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例). 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性. 以题试法 1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=+; (2)f(x)=3x-3-x; (3)f(x)=; (4)f(x)= 解: (1)∵由得x=±1, ∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又f (1)+f(-1)=0,f (1)-f(-1)=0, 即f(x)=±f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)∵f(x)的定义域为R, ∴f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (3)∵由得-2≤x≤2且x≠0。 ∴f(x)的定义域为, ∴f(x)===, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (4)f(x)的定义域为R,关于原点对称,当x>0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x<0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数. 函数奇偶性的应用 典题导入 (1)(20xx·上海高考)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f (1)=1。 若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________。 (2)(20xx·烟台调研)设偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f (2)=0,则不等式>0的解集为( ) A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2) (1)∵y=f(x)+x2是奇函数,且x=1时,y=2,∴当x=-1时,y=-2,即f(-1)+(-1)2=-2, 得f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1。 (2)∵f(x)为偶函数, ∴=>0。 ∴xf(x)>0。 ∴或 又f(-2)=f (2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数, 故x∈(0,2)或x∈(-∞,-2). (1)-1 (2)B 本例 (2)的条件不变,若n≥2且n∈N*,试比较f(-n),f(1-n),f(n-1),f(n+1)的大小. 解: ∵f(x)为偶函数,所以f(-n)=f(n), f(1-n)=f(n-1). 又∵函数y=f(x)在(0,+∞)为减函数,且0 ∴f(n+1) ∴f(n+1) 由题悟法 函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式. 利用奇偶性构造关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式. (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 常常采用待定系数法: 利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值. (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 以题试法 2. (1)(20xx·徐州模拟)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b=________。 (2)已知定义在R上的奇函数满足f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-a2)>f(2a),则实数a的取值范围是________. 解析: (1)当x<0时,则-x>0,所以f(x)=x2+x,f(-x)=ax2-bx,而f(-x)=-f(x),即-x2-x=ax2-bx, 所以a=-1,b=1,故a+b=0。 (2)因为f(x)=x2+2x在 (20xx·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x。 则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2012)=( ) A.335 B.338 C.1678D.2012 由f(x+6)=f(x)可知,函数f(x)的周期为6,所以f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f (1)=1,f (2)=2,所以在一个周期内有f (1)+f (2)+…+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以f (1)+f (2)+…+f(2012)=f (1)+f (2)+335×1=1+2+335=338。 B 由题悟法 1.周期性常用的结论: 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a; (2)若f(x+a)=,则T=2a; (3)若f(x+a)=-,则T=2a。 2.周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起到调节符号作用. 以题试法 3.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈时,f(x)=2x-x2。 (1)求证: f(x)是周期函数; (2)当x∈时,求f(x)的解析式. 解: (1)证明: ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)∵x∈,∴-x∈, ∴4-x∈, ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8。 又∵f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈. 函数的基本性质是函数的重要内容,复习时务必细致地回顾。 这部分内容应集合题目进行适当地归纳总结。 复合函数的单调性的判断仅作了解。 周期性是必修4学习的内容,要求学生找到必修4的相关内容,并超前复习。 通过具体问题,让学生理解函数的单调区间与函数在某个区间上单调的含义的不同。 通过此例,让学生回顾,巩固用定义证明单调性的步骤。 总结判断函数单调性的常见方法。 让学生分析、明确,求解抽象不等式,应根据单调性或图像化为具体不等式。 概况总结奇偶函数的性质,以让学生更好的把握这一知识。 此例3、4两题的奇偶性的判断,学生有一定的困难,教师应与学生共同探索,寻找解决的途径。 周期性常用的结论,在题目中容易出现,让学生自己利用定义证明这3条结论。 板书设计 函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),例1 则称f(x)为奇函数;如果对于函 (2)简单性质: ①图象的对称性质: 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于例2 原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称; ②设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上: 例3 奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇 2.单调性 (1)定义: 例4 (2)判断函数单调性的方法步骤 任取x1,x2∈D,且x1 作差f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方); 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。 3.最值 4.周期性 教学反思 函数的基本性质
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- 高中 教育 最新 数学 一轮 复习 函数 基本 性质 教案
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