C语言常用算法归纳.docx

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C语言常用算法归纳

C语言常用算法归纳

应当掌握的一般算法

一、基本算法：

交换、累加、累乘

二、非数值计算常用经典算法：

穷举、排序（冒泡，选择）、查找（顺序即线性）

三、数值计算常用经典算法：

级数计算（直接、简接即递推）、一元非线性方程求根（牛顿迭代法、二分法）、定积分计算（矩形法、梯形法）

四、其他：

迭代、进制转换、矩阵转置、字符处理（统计、数字串、字母大小写转换、加密等）、整数各数位上数字的获取、辗转相除法求最大公约数（最小公倍数）、求最值、判断素数（各种变形）、数组元素的插入（删除）、二维数组的其他典型问题（方阵的特点、杨辉三角形）

详细讲解

一、基本算法 

1．交换（两量交换借助第三者）

例1、任意读入两个整数，将二者的值交换后输出。

  main（）

{int a,b,t;

 scanf（"%d%d",&a,&b）;

 printf（"%d,%d\n",a,b）;

t=a;  a=b;  b=t;

 printf（"%d,%d\n",a,b）;

}

【解析】程序中加粗部分为算法的核心，如同交换两个杯子里的饮料，必须借助第三个空杯子。

假设输入的值分别为3、7，则第一行输出为3，7；第二行输出为7，3。

其中t为中间变量，起到“空杯子”的作用。

注意：

三句赋值语句赋值号左右的各量之间的关系！

【应用】

例2、任意读入三个整数，然后按从小到大的顺序输出。

main（）

{int a,b,c,t;

 scanf（"%d%d%d",&a,&b,&c）;

 /*以下两个if语句使得a中存放的数最小*/

 if（a>b）{ t=a; a=b; b=t; }

 if（a>c）{ t=a; a=c; c=t; }

 /*以下if语句使得b中存放的数次小*/

 if（b>c） { t=b; b=c; c=t; }

 printf（"%d,%d,%d\n",a,b,c）;

}

2．累加

累加算法的要领是形如“s=s+A”的累加式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累加功能。

“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为0。

例1、求1+2+3+……+100的和。

main（）

{int i,s;

 s=0;    i=1;

 while（i<=100）

 {s=s+i;        /*累加式*/

  i=i+1;        /*特殊的累加式*/

 }

 printf（"1+2+3+...+100=%d\n",s）;

}

【解析】程序中加粗部分为累加式的典型形式，赋值号左右都出现的变量称为累加器，其中“i = i + 1”为特殊的累加式，每次累加的值为1，这样的累加器又称为计数器。

3．累乘

累乘算法的要领是形如“s=s*A”的累乘式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累乘功能。

“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为1。

例1、求10！

[分析]10！

=1×2×3×……×10

main（）

{int i;  long c;

 c=1;  i=1;

 while（i<=10）

 {c=c*i;      /*累乘式*/

  i=i+1;

 }

 printf（"1*2*3*...*10=%ld\n",c）;

}

二、非数值计算常用经典算法

1．穷举

也称为“枚举法”，即将可能出现的每一种情况一一测试，判断是否满足条件，一般采用循环来实现。

例1、用穷举法输出所有的水仙花数（即这样的三位正整数：

其每位数位上的数字的立方和与该数相等，比如：

1*1*1+5*5*5+3*3*3=153）。

[法一]

main（）

{int x,g,s,b;

 for（x=100;x<=999;x++）

  {g=x%10;  s=x/10%10;  b=x/100;

   if（b*b*b+s*s*s+g*g*g==x）printf（"%d\n",x）;

}

}

【解析】此方法是将100到999所有的三位正整数一一考察，即将每一个三位正整数的个位数、十位数、百位数一一求出（各数位上的数字的提取算法见下面的“数字处理”），算出三者的立方和，一旦与原数相等就输出。

共考虑了900个三位正整数。

[法二]

main（）

{int g,s,b;

 for（b=1;b<=9;b++）

  for（s=0;s<=9;s++）

   for（g=0;g<=9;g++）

    if（b*b*b+s*s*s+g*g*g==b*100+s*10+g）  printf（"%d\n",b*100+s*10+g）;

}

【解析】此方法是用1到9做百位数字、0到9做十位和个位数字，将组成的三位正整数与每一组的三个数的立方和进行比较，一旦相等就输出。

共考虑了900个组合（外循环单独执行的次数为9，两个内循环单独执行的次数分别为10次，故if语句被执行的次数为9×10×10=900），即900个三位正整数。

与法一判断的次数一样。

2．排序

（1）冒泡排序（起泡排序）

假设要对含有n个数的序列进行升序排列，冒泡排序算法步骤是：

①从存放序列的数组中的第一个元素开始到最后一个元素，依次对相邻两数进行比较，若前者大后者小，则交换两数的位置；

②第①趟结束后，最大数就存放到数组的最后一个元素里了，然后从第一个元素开始到倒数第二个元素，依次对相邻两数进行比较，若前者大后者小，则交换两数的位置；

③重复步骤①n-1趟，每趟比前一趟少比较一次，即可完成所求。

例1、任意读入10个整数，将其用冒泡法按升序排列后输出。

#define n 10 

main（）

{int a[n],i,j,t;

 for（i=0;i

scanf（"%d",&a[i]）;

 for（j=1;j<=n-1;j++） /*n个数处理n-1趟*/

  for（i=0;i<=n-1-j;i++）  /*每趟比前一趟少比较一次*/

   if（a[i]>a[i+1]）{t=a[i];a[i]=a[i+1];a[i+1]=t;}

 for（i=0;i

}

（2）选择法排序

选择法排序是相对好理解的排序算法。

假设要对含有n个数的序列进行升序排列，算法步骤是：

①从数组存放的n个数中找出最小数的下标（算法见下面的“求最值”），然后将最小数与第1个数交换位置；

②除第1个数以外，再从其余n-1个数中找出最小数（即n个数中的次小数）的下标，将此数与第2个数交换位置；

③重复步骤①n-1趟，即可完成所求。

例1、任意读入10个整数，将其用选择法按升序排列后输出。

#define n 10 

main（）

{int a[n],i,j,k,t;

 for（i=0;i

 for（i=0;i

   {k = i;      /*总是假设此趟处理的第一个（即全部数的第i个）数最小，k记录其下标*/

    for（j=i+1;j

      if（a[j] < a[k]）  k = j;

   if （k !

= i）{t = a[i]; a[i] = a[k]; a[k] = t;}

   } 

 for（i=0;i

  printf（"%d\n",a[i]）; 

}

（3）插入法排序

要想很好地掌握此算法，先请了解“有序序列的插入算法”，就是将某数据插入到一个有序序列后，该序列仍然有序。

插入算法参见下面的“数组元素的插入”。

例1、将任意读入的整数x插入一升序数列后，数列仍按升序排列。

#define n 10

main（）

{ int a[n]={-1,3,6,9,13,22,27,32,49},x,j,k; /*注意留一个空间给待插数*/

  scanf（"%d",&x）;

  if（x>a[n-2]） a[n-1]=x ; /*比最后一个数还大就往最后一个元素中存放*/

  else   /*查找待插位置*/

  {j=0;

   while（ j<=n-2 && x>a[j]） 

j++;

   for（k=n-2; k>=j; k- -）   /*从最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/

a[k+1]=a[k];

   a[j]=x; /*插入待插数*/ 

}

   for（j=0;j<=n-1;j++）  printf（"%d  ",a[j]）;

}

插入法排序的要领就是每读入一个数立即插入到最终存放的数组中，每次插入都使得该数组有序。

例2、任意读入10个整数，将其用插入法按降序排列后输出。

（提示：

将第2至第10个数一一有序插入到数组a中）

#define n 10 

main（）

{int a[n],i,j,k,x;

 scanf（"%d",&a[0]）;  /*读入第一个数，直接存到a[0]中*/

 for（j=1;j

  {scanf（"%d",&x）; 

   if（x

 /*比原数列最后一个数还小就往最后一个元素之后存放新读的数*/

   else   /*以下查找待插位置*/

   {i=0;

     while（x

     /*以下for循环从原最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/

     for（k=j-1;k>=i;k--） a[k+1]=a[k];

     a[i]=x;    /*插入待插数*/

     }

  }

 for（i=0;i

}

（4）归并排序 

     即将两个都升序（或降序）排列的数据序列合并成一个仍按原序排列的序列。

例1、有一个含有6个数据的升序序列和一个含有4个数据的升序序列，将二者合并成一个含有10个数据的升序序列。

#define m 6

#define n 4

main（）

{int a[m]={-3,6,19,26,68,100} ,b[n]={8,10,12,22};

 int i,j,k,c[m+n];

 i=j=k=0;

while（i

  {if（a[i]

   else {c[k]=b[j]; j++;}

   k++;

 }

while（i>=m && j

 {c[k]=b[j]; k++; j++;}

 while（j>=n && i

 {c[k]=a[i]; k++; i++;}

 for（i=0;i

}

3．查找

（1）顺序查找（即线性查找）

顺序查找的思路是：

将待查找的量与数组中的每一个元素进行比较，若有一个元素与之相等则找到；若没有一个元素与之相等则找不到。

例1、任意读入10个数存放到数组a中，然后读入待查找数值，存放到x中，判断a中有无与x等值的数。

#define N 10

main（）

{int a[N],i,x;

 for（i=0;i

 /*以下读入待查找数值*/

 scanf（"%d",&x）;

 for（i=0;i

if（a[i]==x）break ; /*一旦找到就跳出循环*/

 if（i

\n"）;

 else  printf（"Not found!

\n"）;

}

（2）折半查找（即二分法）

顺序查找的效率较低，当数据很多时，用二分法查找可以提高效率。

使用二分法查找的前提是数列必须有序。

二分法查找的思路是：

要查找的关键值同数组的中间一个元素比较，若相同则查找成功，结束；否则判别关键值落在数组的哪半部分，就在这半部分中按上述方法继续比较，直到找到或数组中没有这样的元素值为止。

例1、任意读入一个整数x，在升序数组a中查找是否有与x等值的元素。

#define n 10

main（）

{int a[n]={2,4,7,9,12,25,36,50,77,90};

 int x,high,low,mid;/*x为关键值*/

 scanf（"%d",&x）;

 high=n-1;  low=0;  mid=（high+low）/2;

 while（a[mid]!

=x&&low

  {if（x

   else low=mid+1;         /*修改区间下界*/

   mid=（high+low）/2; 

}

if（x==a[mid]） printf（"Found %d,%d\n",x,mid）;

 else printf（"Not found\n"）;

}

三、数值计算常用经典算法

1．级数计算

级数计算的关键是“描述出通项”，而通项的描述法有两种：

一为直接法、二为间接法又称递推法。

直接法的要领是：

利用项次直接写出通项式；递推法的要领是：

利用前一个（或多个）通项写出后一个通项。

可以用直接法描述通项的级数计算例子有：

（1）1+2+3+4+5+……

（2）1+1/2+1/3+1/4+1/5+……等等。

可以用间接法描述通项的级数计算例子有：

（1）1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……

（2）1+1/2!

+1/3!

+1/4!

 +1/5!

+……等等。

（1）直接法求通项

例1、求1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/100的和。

main（）

{float s; int i;

 s=0.0;

 for（i=1;i<=100;i++） s=s+1.0/i ;

 printf（"1+1/2+1/3+...+1/100=%f\n",s）;

}

【解析】程序中加粗部分就是利用项次i的倒数直接描述出每一项，并进行累加。

注意：

因为i是整数，故分子必须写成1.0的形式！

（2）间接法求通项（即递推法）

例2、计算下列式子前20项的和：

1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……。

[分析]此题后项的分子是前项的分母，后项的分母是前项分子分母之和。

main（）

{float s,fz,fm,t,fz1;  int i;

 s=1;       /*先将第一项的值赋给累加器s*/

 fz=1;fm=2;

 t=fz/fm;   /*将待加的第二项存入t中*/

 for（i=2;i<=20;i++）

{s=s+t;

  /*以下求下一项的分子分母*/

  fz1=fz;     /*将前项分子值保存到fz1中*/ 

  fz=fm;      /*后项分子等于前项分母*/

  fm=fz1+fm;  /*后项分母等于前项分子、分母之和*/

  t=fz/fm;

}

 printf（"1+1/2+2/3+...=%f\n",s）;

}

下面举一个通项的一部分用直接法描述，另一部分用递推法描述的级数计算的例子：

例3、计算级数

的值，当通项的绝对值小于eps时计算停止。

#include 

float g（float x,float eps）;

main（）

{float x,eps;

 scanf（"%f%f",&x,&eps）;

 printf（"\n%f,%f\n",x,g（x,eps））;

}

float g（float x,float eps）

{int n=1;float s,t;

 s=1;  t=1;

 do { t=t*x/（2*n）;

     s=s+（n*n+1）*t;  /*加波浪线的部分为直接法描述部分，t为递推法描述部分*/

    n++; 

}while（fabs（t）>eps）;

 return s;

}

2．一元非线性方程求根

（1）牛顿迭代法

牛顿迭代法又称牛顿切线法：

先任意设定一个与真实的根接近的值x0作为第一次近似根，由x0求出f（x0）,过（x0，f（x0））点做f（x）的切线，交x轴于x1，把它作为第二次近似根，再由x1求出f（x1）,过（x1，f（x1））点做f（x）的切线，交x轴于x2，……如此继续下去，直到足够接近（比如|x- x0|<1e-6时）真正的根x*为止。

而f '（x0）=f（x0）/（ x1- x0）  所以 x1= x0- f（x0）/ f ' （x0）

例如，用牛顿迭代法求下列方程在1.5附近的根：

2x3-4x2+3x-6=0。

#include "math.h"

main（）

{float x,x0,f,f1;  x=1.5;

 do{x0=x;

    f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;

    f1=6*x0*x0-8*x0+3;

    x=x0-f/f1; 

}while（fabs（x-x0）>=1e-5）;

 printf （"%f\n",x）;

 }

（2）二分法

算法要领是：

先指定一个区间[x1, x2]，如果函数f（x）在此区间是单调变化的，则可以根据f（x1）和 f（x2）是否同号来确定方程f（x）=0在区间[x1, x2]内是否有一个实根；如果f（x1）和 f（x2）同号，则f（x） 在区间[x1, x2]内无实根，要重新改变x1和x2的值。

当确定f（x） 在区间[x1, x2]内有一个实根后，可采取二分法将[x1, x2]一分为二，再判断在哪一个小区间中有实根。

如此不断进行下去，直到小区间足够小为止。

具体算法如下：

（1）输入x1和x2的值。

（2）求f（x1）和f（x2）。

（3）如果f（x1）和f（x2）同号说明在[x1, x2] 内无实根，返回步骤

（1），重新输入x1和x2的值；若f（x1）和f（x2）不同号，则在区间[x1, x2]内必有一个实根，执行步骤（4）。

（4）求x1和x2的中点：

x0=（x1+ x2）/2。

（5）求f（x0）。

（6）判断f（x0）与f（x1）是否同号。

①如果同号，则应在[x0, x2]中寻找根，此时x1已不起作用，用x0代替x1，用f（x0）代替f（x1）。

②如果不同号，则应在[x1, x0]中寻找根，此时x2已不起作用，用x0代替x2，用f（x0）代替f（x2）。

（7）判断f（x0）的绝对值是否小于某一指定的值（例如10-5）。

若不小于10-5，则返回步骤（4）重复执行步骤（4）、（5）、（6）；否则执行步骤（8）。

（8）输出x0的值，它就是所求出的近似根。

例如，用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在（-10，10）之间的根。

#include "math.h"

main（）

{float x1,x2,x0,fx1,fx2,fx0;

 do  {printf（"Enter x1&x2"）;

      scanf（"%f%f",&x1,&x2）;

      fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;

      fx2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6;

    }while（fx1*fx2>0）;

do {x0=（x1+x2）/2;

     fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;

     if（（fx0*fx1）<0）  {x2=x0;  fx2=fx0; }

     else  {x1=x0;  fx1=fx0; }

  }while（fabs（fx0）>1e-5）;

  printf（"%f\n",x0）;

}

3．梯形法计算定积分

定积分

的几何意义是求曲线y=f（x）、x=a、x=b以及x轴所围成的面积。

可以近似地把面积视为若干小的梯形面积之和。

例如，把区间[a, b]分成n个长度相等的小区间，每个小区间的长度为h=（b-a）/n，第i个小梯形的面积为[f（a+（i-1）·h）+f（a+i·h）]·h/2，将n个小梯形面积加起来就得到定积分的近似值：

根据以上分析，给出“梯形法”求定积分的N-S结构图：

输入区间端点：

a，b

输入等分数n

h=（b-a）/2,   s=0

i从1到n

si=（f（a+（i-1）*h）+f（a+i*h））*h/2

s=s+si

输出s

上述程序的几何意义比较明显，容易理解。

但是其中存在重复计算，每次循环都要计算小梯形的上、下底。

其实，前一个小梯形的下底就是后一个小梯形的上底，完全不必重复计算。

为此做出如下改进：

矩形法求定积分则更简单，就是将等分出来的图形当作矩形，而不是梯形。

例如：

求定积分

的值。

等分数n=1000。

#include "math.h"

float DJF（float a,float b）

{float t,h;  int n,i;

 float HSZ（float x）;

 n=1000;  h=fabs（a-b）/n;

 t=（HSZ（a）+HSZ（b））/2;

 for（i=1;i<=n-1;i++）  t=t+HSZ（a+i*h）;

 t=t*h;

 return（t）;

}

float HSZ（float x）

{return（x*x+3*x+2）; }

main（）

{float y;

 y=DJF（0,4）;

printf（"%f\n",y）;

}

四、其他常见算法

1．迭代法

其基本思想是把一个复杂的计算过程转化为简单过程的多次重复。

每次重复都从旧值的基础上递推出新值，并由新值代替旧值。

例如，猴子吃桃问题。

猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。

第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。

以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。

到第10天早上想再吃时，就只剩一个桃子了。

编程求第一天共摘多少桃子。

main（）

{int day,peach;

 peach=1;

 for（day=9;day>=1;day--）  peach=（peach+1）*2;

 printf（"The first day:

%d\n",peach）;}

又如，用迭代法求x=

的根。

求平方根的迭代公式是：

xn+1=0.5×（xn+a/ xn ）

[算法]

（1）设定一个初值x0。

（2）用上述公式求出下一个值x1。

（3）再将x1代入上述公式，求出下一个值x2。

（4）如此继续下去，直到前后两次求出的x值（xn+1和xn）满足以下关系：

| xn+1- xn|<10-5

#include "math.h"