一次函数中的最大利润问题.docx
- 文档编号:25245719
- 上传时间:2023-06-06
- 格式:DOCX
- 页数:47
- 大小:105KB
一次函数中的最大利润问题.docx
《一次函数中的最大利润问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一次函数中的最大利润问题.docx(47页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
一次函数中的最大利润问题
一次函数中的最大利润问题
1.截至2018年5月4日,中欧班列(郑州)去回程开行共计1191班,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁,某欧洲客商准备在河南采购一批特色商品,经调查,用1600元采购A型商品的件数是用1000元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元,已知A型商品的售价为160元,B型商品的售价为240元,已知该客商购进甲乙两种商品共200件,设其中甲种商品购进x件,该客商售完这200件商品的总利润为y元
(1)求A、B型商品的进价;
(2)该客商计划最多投入18000元用于购买这两种商品,则至少要购进多少件甲商品?
若售完这些商品,则商场可获得的最大利润是多少元?
(3)在
(2)的基础上,实际进货时,生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元(50<a<70)出售,且限定商场
最多购进120件,若客商保持同种商品的售价不变,请你根据以上信息及
(2)中的条件,设计出使该客商获得最大利润的进货方案.
解:
(1)设A型商品的进价为a元/件,则B型商品的进价为(a+20)元/件,
,
解得,a=80,
经检验,a=80是原分式方程的解,
∴a+20=100,
答:
A、B型商品的进价分别为80元/件、100元/件;
(2)设购机A型商品x件,
80x+100(200﹣x)≤18000,
解得,x≥100,
设获得的利润为w元,
w=(160﹣80)x+(240﹣100)(200﹣x)=﹣60x+28000,
∴当x=100时,w取得最大值,此时w=22000,
答:
该客商计划最多投入18000元用于购买这两种商品,则至少要购进100件甲商品,若售完这些商品,则商场可获得的最大利润是22000元;
(3)w=(160﹣80+a)x+(240﹣100)(200﹣x)=(a﹣60)x+28000,
∵50<a<70,
∴当50<a<60时,a﹣60<0,y随x的增大而减小,则甲100件,乙100件时利润最大;
当a=60时,w=28000,此时甲乙只要是满足条件的整数即可;
当60<a<70时,a﹣60>0,y随x的增大而增大,则甲120件,乙80件时利润最大.
2.深圳某学校为构建书香校园,拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%,用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台.
(1)求甲、乙两种书柜的进价;
(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个,其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请您帮该校设计一种购买方案,使得花费最少.
解:
(1)设每个乙种书柜的进价为x元,则每个甲种书柜的进价为1.2x元,
根据题意得,
,
解得x=300,
经检验,x=300是原方程的根,
300×1.2=360(元).
故每个甲种书柜的进价为360元,每个乙种书柜的进价为300元;
(2)设购进乙种书柜m个,则购进甲种书柜(60﹣m)个,购进两种书柜的总成本为y元,根据题意得,
,
解得y=60m+18000(m≥20),
∵k=60>0,
∴y随x的增大而减小,
当m=20时,y=19200(元).
故购进乙种书柜20个,则购进甲种书柜40个时花费最少,费用为19200元.
3.某厂制作甲、乙两种环保包装盒,如果同样用9m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少3个,且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料.
(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料?
(2)如果制作甲、乙两种包装盒3000个,且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍,那么请写出所需材料总长度l(m)与甲盒数量n(个)之间的函数关系式,并求出最少需要多少米材料.
解:
(1)设制作每个乙盒用x米材料,则制作甲盒用(1+20%)x米材料,根据题意得,
,
解得:
x=0.5,
经检验x=0.5是原方程的解,
∴(1+20%)x=0.6(米),
答:
制作每个甲盒用0.6米材料;制作每个乙盒用0.5米材料;
(2)根据题意得:
l=0.6n+0.5(3000﹣n)=0.1n+1500,
∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍,
∴n≥2(3000﹣n)
解得:
n≥2000,
∴2000≤n<3000,
∵k=0.1>0,
∴l随n增大而增大,
∴当n=2000时,l最小1700米
答:
最少需要1700米材料.
4.某商店购进甲、乙两种零件进行销售.已知甲种零件的进货单价比乙种零件的进货单价少2元,且用80元购进甲种零件与用100元购进乙种零件的数量相同.
(1)求甲、乙两种零件的进货单价;
(2)如果该商店购进甲种零件的数量比乙种零件的数量的3倍少5个,且购进乙种零件的数不超过25个,已知甲、乙两种零件的销售单价分别为12元和15元.设购进乙种零件的数量为a(a为正整数)个,求购进的零件全部售出后所得总利润P的最大值.(利润=售价﹣进价)
解:
(1)设甲种零件的进货单价位x元,则乙种零件的进货单价位(x+2)元,
根据题意得:
=
,
解得:
x=8,
经检验:
x=8是方程的解且符合题意,
x+2=8+2=10,
答:
甲种零件的进货单价位8元,则乙种零件的进货单价位10元,
(2)乙种零件的数量为a(a为正整数)个,则甲种零件的数量为(3a﹣5)个,
根据题意得:
P=(12﹣8)(3a﹣5)+(15﹣10)a=17a﹣20,
∵a≤25,
又∵P随着a的增大而增大,
∴当a=25时P最大=405,
答:
购进的零件全部售出后所得利润得最大值为405元.
5.已知A,B两地有相同数量的某种农产品要出售,A地每吨农产品的售价比B地的少100元,某公司分别用30000元和34000元将A,B两地的农产品全部购进.
(1)求该公司从A,B两地购进农产品的总吨数;
(2)该公司通过市场调查获悉,现有甲、乙两地恰好需要该公司购进的全部农产品,其中乙地需求量不超过甲地需求量的3倍,如果运输到甲地的费用为120元/吨,运输到乙地的费用为90元/吨,问该公司怎样分配这批农产品到甲、乙两地才能使运输费用最少,此时的运输费用是多少.
解:
(1)设公司从A地购进农产品m吨,
根据题意得:
=
﹣100,
解得m=40,
经检验m=40是原方程的根,
∴2m=2×40=80吨,
答:
公司共购进农产品80吨,
(2)设运输到甲地的农产品为x吨,则运输到乙地的农产品(80﹣x)吨,
运输费用为y元,
根据题意,得:
y=120x+90(80﹣x),即y=30x+7200,
由题意知,80﹣x≤3x,
解得:
x≥20,
∴20≤x≤80,
∵k=20>0,
∴y随着x的增大而增大,
∴当x=20时,y最小值=20×30+7200=7800(元),
80﹣x=60(吨),
答:
该公司运输到甲地的农产品为20吨,运输到乙地的农产品60吨时运输费用最少,此时运输费用为7800元.
6.“绿水青山就是金山银山”,随着生活水平的提高,人们对饮水品质的需求越来越高,孝感市槐荫公司根据市场需求代理A,B两种型号的净水器,每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元,用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等.
(1)求每台A型、B型净水器的进价各是多少元?
(2)槐荫公司计划购进A,B两种型号的净水器共50台进行试销,其中A型净水器为x台,购买资金不超过9.8万元.试销时A型净水器每台售价2500元,B型净水器每台售价2180元,槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a(70<a<80)元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金,设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W,求W的最大值.
解:
(1)设A型净水器每台的进价为m元,则B型净水器每台的进价为(m﹣200)元,
根据题意得:
=
,
解得:
m=2000,
经检验,m=2000是分式方程的解,
∴m﹣200=1800.
答:
A型净水器每台的进价为2000元,B型净水器每台的进价为1800元.
(2)根据题意得:
2000x+1800(50﹣x)≤98000,
解得:
x≤40.
W=(2500﹣2000)x+(2180﹣1800)(50﹣x)﹣ax=(120﹣a)x+19000,
∵当70<a<80时,120﹣a>0,
∴W随x增大而增大,
∴当x=40时,W取最大值,最大值为(120﹣a)×40+19000=23800﹣40a,
∴W的最大值是(23800﹣40a)元.
7.自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁,某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.
(1)求一件A,B型商品的进价分别为多少元?
(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不大于B型的件数,且不小于80件.已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出.设购进A型商品m件,求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益.
解:
(1)设一件B型商品的进价为x元,则一件A型商品的进价为(x+10)元.
由题意:
=
×2,
解得x=150,
经检验x=150是分式方程的解,
答:
一件B型商品的进价为150元,则一件A型商品的进价为160元.
(2)因为客商购进A型商品m件,所以客商购进B型商品(250﹣m)件.
由题意:
v=80m+70(250﹣m)=10m+17500,
∵80≤m≤250﹣m,
∴80≤m≤125,
(3)设利润为w元.则w=(80﹣a)m+70(250﹣m)=(10﹣a)m+17500,
①当10﹣a>0时,即0<a<10时,w随m的增大而增大,所以m=125时,最大利润为(18750﹣125a)元.
②当10﹣a=0时,最大利润为17500元.
③当10﹣a<0时,即10<a≤80时,w随m的增大而减小,所以m=80时,最大利润为(18300﹣80a)元.
8.某校在去年购买A,B两种足球,费用分别为2400元和2000元,其中A种足球数量是B种足球数量的2倍,B种足球单价比A种足球单价多80元/个.
(1)求A,B两种足球的单价;
(2)由于该校今年被定为“足球特色校”,学校决定再次购买A,B两种足球共18个,且本次购买B种足球的数量不少于A种足球数量的2倍,若单价不变,则本次如何购买才能使费用W最少?
解:
(1)设A种足球单价为x元/个,则B足球单价为(x+80)元/个,
根据题意,得:
=2×
,
解得:
x=120,
经检验:
x=120是方程的解,
答:
A种足球单价为120元/个,B足球单价为200元/个.
(2)设再次购买A种足球x个,则B种足球为(18﹣x)个;
根据题意,得:
W=120x+200(18﹣x)=﹣80x+3600,
∵18﹣x≥2x,
∴x≤6,
∵﹣80<0,
∴W随x的增大而减小,
∴当x=6时,W最小,此时18﹣x=12,
答:
本次购买A种足球6个,B种足球12个,才能使购买费用W最少.
9.为了迎接“元旦”小长假的购物高峰,某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装,其中甲、乙两种服装的进价和售价如下表:
甲
乙
进价(元/件)
m
m﹣30
售价(元/件)
320
280
经调查:
用900元购进甲服装的数量与用750元购进乙服装的数量相同.
(1)求m的值;
(2)要使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价﹣进价)不少于26700元,且不超过26800元,则该专卖店有几种进货方案?
(3)在
(2)的条件下,专卖店准备在元旦当天对甲种服装进行优惠促销活动,决定对甲种服装每件优惠a(0<a<20)元出售,乙种服装价格不变,那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?
解:
(1)依题意得:
=
,
整理得:
900(m﹣30)=750m,
解得:
m=180,
经检验m=180是原方程的解并符合题意,
∴m=180;
(2)设购进甲种服装y件,购进乙中服装(20﹣y)件,依题意得:
26800≥(320﹣180)y+(280﹣150)(200﹣y)≥26700,
解得:
80≥y≥70,
又∵y是正整数,
∴共有11种方案.
(3)设总利润为w,则w=(140﹣a)y+130(200﹣y)=(10﹣a)y+26000(70≤y≤80);
①当0<a<10时,10﹣a>0,w随着y的增大而增大,
∴当y=80时,w有最大值,即此时应购进甲种服装80件,购进乙种服装120件;
②当a=10时,w=26000,
(2)中所有方案获利都一样;
③当10<a<20时,10﹣a<0,w随着y的增大而减小,
∴当y=70时,w有最大值,即此时应购进甲种服装70件,购进乙种服装130件.
10.某商城销售A,B两种自行车,A型自行车售价为2200元/辆,B型自行车售价为1750元/辆,每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元,商城用80000元购进A型自行车的数量与用64000元购进B型自行车的数量相等.
(1)求A,B两种自行车的进价分别是多少元/辆?
(2)现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆,设购进A型自行车m辆,这100辆自行车的销售总利润为w元,要求购进B型自行车数量不少于A型自行车数量的2倍,且A型车辆至少30辆,请用含m的代数式表示w,并求获利最大的方案以及最大利润.
解:
(1)设每辆B型自行车的进价为x元,则每辆A型自行车的进价是(x+400)元,
,
解得,x=1600,
经检验,x=1600是原分式方程的解,
∴x+400=2000,
答:
A,B两种自行车的进价分别是2000元/辆,1600元/辆;
(2)由题意可得,
w=(2200﹣2000)m+(1750﹣1600)(100﹣m)=50m+15000,
∵100﹣m≥2m且m≥30,
解得,30≤m≤
,
∵m是整数,
∴当m=33时,w取得最大值,此时w=16650,100﹣m=67,
即w=50m+15000,获利最大的方案时A型自行车33辆,B型自行车67辆,最大利润是16650元.
11.某商场计划购进冰箱、彩电进行销售.若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等,相关信息如下表:
进价(元/台)
售价(元/台)
冰箱
a
2500
彩电
a﹣400
2000
(1)求表中a的值.
(2)为了满足市场需要求,商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台,且冰箱的数量不少于彩电数量的
.
①该商场有哪几种进货方式?
②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出,获得的最大利润为w元,请用所学的函数知识求出w的最大值.
解:
(1)根据题意得:
=
,
解得:
a=2000,
经检验,a=2000是原方程的解,且符合题意.
(2)①设购进冰箱x台,则购进彩电(50﹣x)台,
根据题意得:
,
解得:
22
≤x≤25.
∵x为非负整数,
∴23≤x≤25,
∴该商场有三种进货方式,分别为:
(i)购进23台冰箱、27台彩电;(ii)购进24台冰箱、26台彩电;(iii)购进25台冰箱、25台彩电.
②根据题意得:
w=(2500﹣2000)x+[2000﹣(2000﹣400)](50﹣x)=100x+20000,
∵k=100>0,
∴w随x的增大而增大,
∴当x=25时,w取最大值,最大值=25×100+20000=22500.
答:
当购进冰箱和洗衣机各25台时,销售利润最大,最大利润为22500元.
12.绵阳某工厂从美国进口A、B两种产品销售,已知每台A种产品进价为3000元,售价为4800元;受中美贸易大战的影响,每台B种产品的进价上涨500元,进口相同数量的B种产品,在中美贸易大战开始之前只需要60万元,中美贸易大战开始之后需要80万元.
(1)中美贸易大战开始之后,每台B种产品的进价为多少?
(2)中美贸易大战开始之后,如果A种产品的进价和售价不变,每台B种产品在进价的基础上提高40%作为售价.公司筹集到不多于35万元且不少于33万元的资金用于进口A、B两种产品共150台,请你设计一种进货方案使销售后的总利润最大.
解:
(1)设中美贸易大战开始之后,每台B种产品的进价为x元,
,
解得,x=2000,
经检验,x=2000是原分式方程的解,
答:
中美贸易大战开始之后,每台B种产品的进价为2000元;
(2)设购进A种产品m台,销售后总利润为w元,
330000≤3000m+2000(150﹣m)≤350000,
解得,30≤m≤50,
w=(4800﹣3000)m+2000×40%(150﹣m)=1000m+120000,
∴当m=50时,w取得最大值,此时w=170000,150﹣m=100,
答:
购进A种产品50台,B种产品100台,销售后的总利润最大.
13.某商场计划购进冰箱、彩电进行销售,已知冰箱的进货单价比彩电的进货单价多400元,若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等.该商场冰箱、彩电的售货单价如下表:
种类
冰箱
彩电
售价(元/台)
2500
2000
(1)分别求出冰箱、彩电的进货单价.
(2)为了满足市场需求,商场决定用不超过90000元的资金采购冰箱、彩电共50台.若该商场将购进的冰箱、彩电共50台全部售出,获得利润为w元,为了使商场的利润最大,该商场该如何购进冰箱、彩电,最大利润是多少?
解:
(1)设彩电的进货单价为x元/台,则冰箱的进货单价为(400+x)元/台,
根据题意得:
=
,
解得:
x=1600,
经检验,x=1600是原分式方程的解,且符合题意,
∴x+400=1600+400=2000.
答:
冰箱的进货单价为2000元/台、彩电的进货单价为1600元/台.
(2)设该商场购进冰箱t台,则购进彩电(50﹣t)台.
∵进货总价不超过90000元,
∴2000t+1600(50﹣t)≤90000,
解得:
t≤25.
∵t为非负整数,
∴0≤t≤25.
根据题意得:
w=(2500﹣2000)t+(2000﹣1600)(50﹣t)=100t+20000,
∵k=100>0,
∴w随t的增大而增大,
∴t=25时,w取最大值,最大值=100×25+20000=22500.
答:
该商场购进冰箱、彩电各25台时,商场的利润最大,最大利润为22500元.
14.某运动鞋专卖店通过市场调研,准备销售A、B两种运动鞋,其中A种运动鞋的进价比B运动鞋的进价高20元,已知鞋店用3200元购进A运动鞋的数量与用2560元购进B运动鞋的数量相同.
(1)求两种运动鞋的进价;
(2)若A运动鞋的售价为250元/双,B运动鞋的售价是180元/双,鞋店共进货两种运动鞋200双,设A运动鞋进货m双,且90≤m≤105,要使该专卖店获得最大利润,应如何进货?
解:
(1)设A种运动鞋的进价为x元,
,
解得x=100,
经检验,x=100是原分式方程的解,
∴x﹣20=80,
答:
A运动鞋的进价价为100元/双,B运动鞋的进价是80元/双;
(2)设总利润为w元,
则w=(250﹣100)m+(180﹣80)(200﹣m)=50m+20000,
∵50>0,w随m的增大而增大,
又∵90≤m≤105,
∴当m=105时,w取得最大值,200﹣m=95,
答:
要使该专卖店获得最大利润,此时应购进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋95双.
15.某文具店准备购进甲、乙两种文具袋,已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多2元,经了解,用120元购进的甲文具袋与用90元购进的乙文具袋的数量相等.
(1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元?
(2)若该文具店用1200元全部购进甲、乙两种文具袋,设购进甲x个,乙y个.
①求y关于x的关系式.
②甲每个的售价为10元,乙每个的售价为9元,且在进货时,甲的购进数量不少于60个,若这批文具袋全部售完可获利w元,求w关于τ的关系式,并说明如何进货该文具店所获利润最大,最大利润是多少?
解:
(1)设乙文件袋每个进价为x元,则甲文件袋每个为(x+2)元,
根据题意得:
解得x=6
经检验,x=6是原分式方程的解
∴x+2=8
答:
乙文件袋每个进价为6元,则甲文件袋每个为8元
(2)①根据题意得:
8x+6y=1200
y=200﹣
②w=(10﹣8)x+(9﹣6)y=2x+3(200﹣
)=﹣2x+600
∵k=﹣2<0
∴w随x的增大而减小
∵x≥60,且为整数
∴当x=60时,w有最大值为,w=60×(﹣2)+600=480
此时,y=200﹣
×60=120
答:
甲文具袋进60个,乙文件袋进120个,获得利润最大为480元.
16.某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元,空调的销售价为每台1750元,每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元,商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等.
(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少?
(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台,设购进电冰箱x台,这100台家电的销售总利润为y元,要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍,总利润不低于13000元,请分析合理的方案共有多少种?
并确定获利最大的方案以及最大利润.
解:
(1)设每台空调的进价为m元,则每台电冰箱的进价为(m+400)元,
根据题意得:
=
,
解得:
m=1600
经检验,m=1600是原方程的解,
m+400=1600+400=2000,
答:
每台空调的进价为1600元,则每台电冰箱的进价为2000元.
(2)设购进电冰箱x台(x为正整数),这100台家电的销售总利润为y元,
则y=(2100﹣2000)x+(1750﹣1600)(100﹣x)=﹣50x+15000,
根据题意得:
,
解得:
33
≤x≤40,
∵x为正整数,
∴x=34,35,36,37,38,39,40,
∴合理的方案共有7种,
即①电冰箱34台,空调66台;
②电冰箱35台,空调65台;
③电冰箱36台,空调64台;
④电冰箱37台,空调63台;
⑤电冰箱38台,空调62台;
⑥电冰箱39台,空调61台;
⑦电冰箱40台,空调60台;
∵y=﹣50x+15000,k=﹣50<0,
∴y随x的增大而减小,
∴当x=34时,y有最大值,最大值为:
﹣50×34+15000=13300(元),
答:
当购进电冰箱34台,空调66台获利最大,最大利润为13300元.
17.我市计划对某地块的1000m2区域进行绿化,由甲、乙两个工程队合作完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的2倍;若两队分别各完成300m2的绿化时,甲队比乙队少用3天.
(1)求甲、乙两工程队每天能完成的绿化的面积;
(2)两队合作完成此工程,若甲队参与施工x天,试用含x的代数式表示乙队施工的天数y;
(3)若甲队每天施工费用是0.6万元,乙队每天为0.2万元,且要求两队施工的天数之和不超过16天,应如何安排甲、乙两队施工的天
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 一次 函数 中的 最大 利润 问题