秋季学期新版新人教版九年级数学上册2124一元二次方程的根与系数的关系导学案2.docx
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秋季学期新版新人教版九年级数学上册2124一元二次方程的根与系数的关系导学案2
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(第一课时)
导学探究:
阅读教材P15-16,回答下列问题:
1、回忆:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是__________________.由求根公式可知,一元二次方程的根的大小由系数a、b、c决定。
2.
(1)方程(x-x1)(x-x2)=0与方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0是同一个方程吗?
_____(答“是”或“否”)。
(2)方程(x-x1)(x-x2)=0的两个根据是_________________.方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的两个根是_____________________>
(3)方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的二次三项式系数为_______,一次项系数p=________,常数项q=________,反之,方程x2+px+q=0两根x1x2的和、积分别与系数的关系是x1+x2=________,x1x2=__________.
3、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=__________,x2=___________.
(1)计算x1+x2和x1x2的值。
(2)请你根据
(1)的结果,试着用文字表述这一结论。
归纳梳理
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,它们与系数a、b、c的关系是x1+x2=________,x1x2=__________.
一元二次方程的根与系数的关系:
如果一元二次方程有实数根,那么两根的和等于_______________,两根的积等于____________________.
2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根,即△______0.
典例探究
1.不解方程求两个根之和与积
【例1】不解方程,求方程3x2+2=1﹣4x两根的和与积.
总结:
在使用根与系数的关系时,应注意:
不是一般式的要先化成一般式;
前提条件是
;
在使用
时,注意“-”不要漏掉.
练1.(2014•碑林区校级模拟)方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2,则x1+x2和x1x2的值分别是( )
A.﹣3和﹣
B.﹣3和
C.3和
D.3和
2.已知一元二次方程的两根求系数
【例2】(2014春•富阳市校级期末)关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3,求p和q的值.
总结:
对于含有字母系数的一元二次方程,已知两根的值求字母系数的值,通常根据一元二次方程根与系数的关系求解,并用根的判别式进行检验.此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多.
练2.(2015•枣庄)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n的值是( )
A.﹣10B.10C.﹣6D.2
3.已知一元二次方程的一个根求另一个根
【例3】(2015•北塘区二模)已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2,则另一根为 .
总结:
已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根,一般有两种方法:
把已知根代入方程,求得字母的值,解一元二次方程求出另一根;
(2)根据方程系数中的已知数,利用根与系数的关系,选用两根之和或两根之积,直接求另一根.
练3.(2014秋•秭归县校级期中)已知2﹣
是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一个根,求另一个根及c的值.
4.根据一元二次方程的系数判断两根的正负
【例4】(2008•南汇区二模)方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号( )
A.同号B.异号C.两根都为正D.两根都为负
总结:
不解方程判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定;
首先计算判别式,看是大于0还是等于0,如果是等于0,则两根相等,同号;
如果判别式大于0,则计算
的值,如果
,可判断方程的根为一正一负;如果
,再计算
的值,若为正,则两根同为正,若为负,则两根同为负.
练4.(2014秋•夷陵区校级月考)方程ax2+bx﹣c=0(a>0、b>0、c>0)的两个根的符号为( )
A.同号B.异号C.两根都为正D.不能确定
夯实基础
一、选择题
1.(2015•溧水县一模)一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2,则x1+x2的值为( )
A.
B.﹣
C.﹣
D.
2.(2015•金华)一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2,则x1•x2的值是( )
A.4B.﹣4C.3D.﹣3
3.(2014•浠水县校级模拟)已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根,则( )
A.x1+x2=﹣3,x1•x2=﹣1B.x1+x2=﹣3,x1•x2=1
C.x1+x2=3,x1•x2=﹣1D.x1+x2=3,x1•x2=1
4.(2015•衡阳)若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1,则另一个根为( )
A.﹣2B.2C.4D.﹣3
5.(2015•广西)已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x﹣12=0D.x2﹣7x﹣12=0
6.(2015•平南县一模)一元二次方程x2+px=2的两根为x1,x2,且x1=﹣2x2,则p的值为( )
A.2B.1C.1或﹣1D.﹣1
7.(2015•东西湖区校级模拟)已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根,则该方程的另一根为( )
A.2B.3C.4D.8
8.关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解,下列叙述正确的是( )
A.无解B.有两正根C.有两负根D.有一正根及一负根
二、填空题
9.(2015•滨湖区一模)已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2,则x1+x2的值为 .
10.(2015•南京)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是 ,m的值是 .
11.(2015春•遂宁校级期中)已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n,则mn= ,m+n= .
三、解答题
12.(2015•东莞模拟)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两个根x1、x2;求证:
x1+x2=﹣p,x1•x2=q.
13.(2014秋•番禺区校级月考)已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
14.(2013•防城港)已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2,m.求m,n的值.
典例探究答案:
【例1】不解方程,求方程3x2+2=1﹣4x两个根的和与积.
分析:
先把方程化为一般式,然后根据根与系数的关系求解.
解答:
解:
设x1,x2是方程的两实数根,
方程化为一般式为3x2+4x+1=0,
根据题意得,x1+x2=﹣
,x1x2=
.
点评:
本题考查了根与系数的关系:
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=
,x1x2=
.
练1.(2014•碑林区校级模拟)方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2,则x1+x2和x1x2的值分别是( )
A.﹣3和
B.﹣3和
C.3和
D.3和
分析:
根据根与系数关系,已知方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2.x1+x2=
;x1x2=
即可.
解答:
解:
已知方程为2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2,
根据根与系数的关系:
x1+x2=
=3;x1x2==
.
故选D.
点评:
本题主要考查根与系数关系,已知系数确定根的相关问题,属于基础题,关键熟练掌握x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q.
【例2】(2014春•富阳市校级期末)关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3,求p和q的值.
分析:
根据根与系数的关系得到0﹣3=p,0×(﹣3)=q,然后解两个方程即可.
解答:
解:
根据题意得0﹣3=p,0×(﹣3)=q,
所以p=﹣3,q=0.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系.
练2.(2015•枣庄)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n的值是( )
A.﹣10B.10C.﹣6D.2
分析:
根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,求出即可.
解答:
解:
∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,
∴﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,
解得:
m=﹣2,n=﹣8,
∴m+n=﹣10,
故选A.
点评:
本题考查了根与系数的关系的应用,能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n是解此题的关键.
【例3】(2015•北塘区二模)已知:
一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2,则另一根为 .
分析:
设方程另一根为t,根据根与系数的关系得到2+t=6,然后解一次方程即可.
解答:
解:
设方程另一根为t,
根据题意得2+t=6,
解得t=4.
故答案为4.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系.
练3.(2014秋•秭归县校级期中)已知2﹣
是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一个根,求另一个根及c的值.
分析:
设方程另一个根为x1,先利用两根之和计算出x1,然后利用两根之积求出c的值.
解答:
解:
设方程另一个根为x1,
根据题意得x1+2﹣
=4,x1•(2﹣
)=c,
∴x1=2+
,
∴c=(2﹣
)(2+
)=4﹣3=1.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:
若方程两个为x1,x2,则x1+x2=
,x1x2=
..
【例4】(2008•南汇区二模)方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号( )
A.同号B.异号C.两根都为正D.两根都为负
分析:
根据一元二次方程根与系数的关系,得到方程的两根之和与两根之积,再进一步结合有理数的运算法则进行分析.
解答:
解:
设方程的两根是a,b,根据一元二次方程根与系数的关系,得
a+b=>0,ab=﹣<0,
根据两数的积为负数,则两数必异号,则a,b异号.
故选B.
点评:
此题考查了一元二次方程的根与系数的关系,同时能够结合有理数的运算法则判断方程的两根的符号.
练4.(2014秋•夷陵区校级月考)方程ax2+bx﹣c=0(a>0、b>0、c>0)的两个根的符号为( )
A.同号B.异号C.两根都为正D.不能确定
分析:
首先由△=b2+4ac>0,可知方程有两个不等的实数根,再由x1x2=﹣<0可知两根异号.
解答:
解:
∵ax2+bx﹣c=0(a>0、b>0、c>0),
∴△=b2+4ac>0,
∴方程有两个不等的实数根,
设方程ax2+bx﹣c=0(a>0、b>0、c>0)的两个根为x1,x2,
∵x1x2=﹣<0,
∴两根异号.
故选B.
点评:
本题考查了根与系数的关系:
x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=
,x1x2=
.同时考查了根的判别式.
夯实基础答案:
一、选择题
1.(2015•溧水县一模)一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2,则x1+x2的值为( )
A.
B.﹣
C.﹣
D.
解:
根据题意得x1+x2=﹣
=
.
故选D.
2.(2015•金华)一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2,则x1•x2的值是( )
A.4B.﹣4C.3D.﹣3
解:
x1•x2=﹣3.
故选D.
3.(2014•浠水县校级模拟)已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根,则( )
A.x1+x2=﹣3,x1•x2=﹣1B.x1+x2=﹣3,x1•x2=1
C.x1+x2=3,x1•x2=﹣1D.x1+x2=3,x1•x2=1
解:
∵x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根,
∴x1+x2=﹣3,x1x2=﹣1.
故选A.
4.(2015•衡阳)若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1,则另一个根为( )
A.﹣2B.2C.4D.﹣3
解:
设一元二次方程的另一根为x1,
则根据一元二次方程根与系数的关系,
得﹣1+x1=﹣3,
解得:
x1=﹣2.
故选A.
5.(2015•广西)已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x﹣12=0D.x2﹣7x﹣12=0
解:
以x1,x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0,
故选:
A.
6.(2015•平南县一模)一元二次方程x2+px=2的两根为x1,x2,且x1=﹣2x2,则p的值为( )
A.2B.1C.1或﹣1D.﹣1
解:
∵一元二次方程x2+px=2,即x2+px﹣2=0的两根为x1,x2,
∴x1+x2=﹣p,x1x2=﹣2,
又x1=﹣2x2,
∴x2=±1,
当x2=1时,x1=﹣2,p=1;
当x2=﹣1时,x1=2,p=﹣1.
故选C.
7.(2015•东西湖区校级模拟)已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根,则该方程的另一根为( )
A.2B.3C.4D.8
解:
设关于x的方程x2﹣6x+m=0的另一个根是t,
由根与系数的关系得出:
t+2=6,
则t=4.
故选:
C.
8.关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解,下列叙述正确的是( )
A.无解B.有两正根
C.有两负根D.有一正根及一负根
解:
由判别式△>0,知方程有两个不相等的实数根,
又由根与系数的关系,知x1+x2=﹣=2>0,x1•x2==﹣
<0,
所以有一正根及一负根.
故选D.
二、填空题
9.(2015•滨湖区一模)已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2,则x1+x2的值为 5 .
解:
∵方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2,
∴x1+x2=5,
故答案为:
5.
10.(2015•南京)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是 3 ,m的值是 ﹣4 .
解:
设方程的另一个解是a,则1+a=﹣m,1×a=3,
解得:
m=﹣4,a=3.
故答案是:
3,﹣4.
11.(2015春•遂宁校级期中)已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n,则mn= 2 ,m+n= 4 .
解:
∵m和n是方程x2﹣4x+2=0的两个根,
∴m+n=4,mn=2.
故答案为:
2,4.
三、解答题
12.(2015•东莞模拟)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两个根x1、x2;求证:
x1+x2=﹣p,x1•x2=q.
证明:
∵a=1,b=p,c=q
∴△=p2﹣4q
∴x=
即x1=
,x2=
,
∴x1+x2=
+
=﹣p,
x1•x2=
.
=q.
13.(2014秋•番禺区校级月考)已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
解:
设方程另一根为x2,
由题意得2•x2=﹣6,解得x2=﹣3,
∵2+(﹣3)=k,
∴k=﹣1.
即它的另一个根为﹣3,k的值为﹣1.
14.(2013•防城港)已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2,m.求m,n的值.
解:
∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2,m,
∴
,
解得,
,即m,n的值分别是1、﹣2.
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