数学建模课件最小二乘法拟合.docx
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数学建模课件最小二乘法拟合
数学建模课件--最小二乘法拟合
4.最小二乘法线性拟合我们知道,用作图法求出直线的斜率a和截据b,可以确定这条直线所对应的经验公式,但用作图法拟合直线时,由于作图连线有较大的随意性,尤其在测量数据比较分散时,对同一组测量数据,不同的人去处理,所得结果有差异,因此是一种粗略的数据处理方法,求出的a和b误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据,只要处理过程没有错误,得到的斜率a和截据b是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据,用计算的方法求出最佳的a和b。
显然,关键是如何求出最佳的a和b。
(1)求回归直线设直线方程的表达式为:
bxay(2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a和b。
对满足线性关系的一组等精度测量数据(xi,yi),假定自变量xi的误差可以忽略,则在同一xi下,测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下:
ydyd111bxa222bxannnbxayd显然最好测量点都在直线上(即d1=d2==dn=0),求出的a和b是最理想的,但测量点不可能都在直线上,这样只有考虑d1、d2、、dn为最小,也就是考虑d1+d2++dn为最小,但因d1、d2、、dn有正有负,加起来可能相互抵消,因此不可取;而|d1|+|d2|++|dn|又不好解方程,因而不可行。
现在采取一种等效方法:
当d1对a和b为最小时,d1、d2、、dn也为最小。
取(d12+d22++dn22+d22++dn2)为最小值,求a和b的方法叫最小二乘法。
令inidD12=2112i][iininibaydD(2-6-2)D对a和b分别求一阶偏导数为:
][211iininixbnayaD数学建模27][21211iiinininiixbxayxbD再求二阶偏导数为:
naD222;inixbD21222显然:
0222naD;021222inixbD满足最小值条件,令一阶偏导数为零:
011iininixbnay(2-6-3)01211iiinininiixbxayx(2-6-4)引入平均值:
inixnx11;iniyny11;inixnx1221;iniiyxnxy11则:
0xbay02xbxaxy(2-6-5)解得:
xbya(2-6-6)22xxyxxyb(2-6-7)将a、b值带入线性方程bxay,即得到回归直线方程。
(2)y、a、b的标准差在最小二乘法中,假定自变量误差可以忽略不计,是为了方便推导回归方程。
操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。
实际上两者均是变量,都有误差,从而导致结果y、a、b的标准差(n6)如下:
2)(21212iiinabxyndniiny(2-6-8)(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)yyniiniiniiaxxnxxxnx)2()(22211212(2-6-9)yyniiniibxxnxxnn)2
(1)(22112(2-6-10)(3)相关系数相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量,其定义为:
))((2222yyxxyxxyr(2-6-11)r值在0|r|1中。
|r|越接近于1,x、y之间线性好;r为正,直线斜率为正,称为正相关;r为负,直线斜率为负,称为负相关。
|r|接近于0,则测量数据点分散或xi、yi之间为非线性。
不论测量数据好坏都能求出a和b,所以我们必须有一种判断测量数据好坏的方法,用来判断什么样的测量数据不宜拟合,判断的方法是|r|r0时,测量数据是非线性的.r0称为相关系数的起码值,与测量次数n有关,如下表2-6-2表2-6-2相关系数起码值r0nr0nr0nr031.00090.798150.64140.990100.765160.62350.959110.735170.60660.917120.708180.59070.874130.684190.57580.834140.661200.561在进行一元线性回归之前应先求出r值,再与r0比较,若|r|r0,则x和y具有数学建模29线性关系,可求回归直线;否则反之。
例9:
灵敏电流计的电流常数Ki和内阻Rg的测量公式为gisRUdRKRR12测得的数据同例7,其中间处理过程如下,试用最小二乘法求出Ki和Rg,并写出回归方程的表达式。
解:
测量公式与线性方程表达式y=a+bx比较:
2RyUxdRKRbis1gRa数据处理如表2-6-3:
表2-6-3Rs=0.100R1=4350.0d=40.0mmi12345678平均值R2()400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.0U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.6712522R(1042)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2(V2)7.956.204.623.312.281.390.710.313.34625R2U(102V)11.38.726.454.553.021.770.840.284.615625中间过程可多取位:
x=1.67125y=225.02x=3.346252y=6.375104xy=461.5625相关系数998.0))((2222yyxxyxxyr查表得知,当n=8时,r0=0.834,两者比较rr0,说明x、y(即U、R2)之间线性相关,可以求回归直线。
求回归方程的系数22xxyxxyb=154.6192304xbya=-33.4代换aRg=33.4bdRKRiis=154.6192304Ki=dbRRis=3.717010-9A/mm计算标准差为:
y=2.64561902;a=2.300545589;b=1.257626418计算不确定度:
Rg=a=2;KKi=bb=0.81%;K=0.0310-9A/mm测量结果表达式电流计内阻:
Rg=(332)ggRR=6.1%电流常数:
K=(3.720.03)10-9A/mmKKi=0.81%回归方程:
R2=155U-335.计算器在数据处理中的应用在处理数据时,不同的计算器的编程方式各不相同,下面以震旦AURORASC180型计算器为例作以介绍。
(1)计算标准偏差S①标准偏差S的计算器运行公式:
12)(1112112i12iiiinxxxxxxnsnninni因为inixnx11数学建模31所以1)(2112iiinnxxsnin(只有为xi单变量)②操作步骤和方法(ⅰ)按[MODE][0]键,计算器进入单变量统计计算状态。
屏右上角显示STAT1指示符。
(ⅱ)清除内存数据:
按[INV][ON/C.CE]键。
(ⅲ)数据输入:
依次先键入数值,然后按[DATA]键,每完成一次输入的同时,屏幕均会显示数据的个数n值。
(ⅳ)数据修正:
按[DATA]键之前,要删除错误数据,按[ON/C.CE];按[DATA]键后要删除错误数据,再次输入该错误值,然后按[INV][DEL]。
(ⅴ)取分析结果:
[INV][x]:
平均值[INV][x]:
数据和[INV][x2]:
数据平方和[INV][S]:
测量列的标准偏差[INV][n]:
数据个数例10:
一组等精度测量值为:
83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、83.1、83.2,试求x、x、x2、S、n。
解:
按键显示[MODE][0]ST10[INV][ON/C.CE]083.1[DATA]n183.3[DATA]n283.3[DATA]n383.7[DATA]n483.9[DATA]n583.6[DATA]n683.4[DATA]n783.4[DATA]n883.1[DATA]n983.2[DATA]n10[INV][x][INV][x][INV][x[INV][S]83.48342]69556.220.262466929[INV][n]10注:
当n6时,认为=S。
(2)最小二乘法求回归直线①求回归直线参量a、b、r的计算器运行公式由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含xi、yi两个变量的公式:
nxbyaniinii11iiniiininiiininixnxyxnyxb1221111)(])(][)([1212i2112i111iiiiiiinnininnininiiyynxxnyxyxnr②操作步骤和方法:
(ⅰ)按[MODE][.],计算器进入双变量统计计算状态。
屏幕右上角显示STAT2指示符。
(ⅱ)清除内存数据:
按[INV][ON/C.CE]键(ⅲ)双变量数据输入:
先键入x的值、按[a]键,然后键入y的值、按[b]键,再按[DATA]键,完成输入。
屏幕会同时显示数据的个数,即n值。
(ⅳ)数据修正:
同单变量数据输入。
(ⅴ)取分析结果[INV][a]:
回归直线的截距数学建模33[INV][b]:
回归直线的斜率[INV][r]:
相关系数还可以取以下值:
[INV][x]、[INV][y]、[INV][x]、[INV][x2]、[INV][y]、[INV][y(计算器没有该三项的计算程序)。
2]、[INV][xy],以便计算y、a、b例11:
灵敏电流计实验所测数据如下:
RS=0.100R1=4350.0d=40.0mmR2()400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.56要求所使用计算器具有计算最小二乘法的功能,求回归直线以及电流计的电流常数Ki和内阻Rg。
解:
测量公式gisRUdRKRR12与线性方程表达式y=a+bx比较y=R2x=U,则:
按键显示[MODE][.]ST20[INV][ON/C.CE]02.82{a}400.0[b][DATA]n12.49[a]350.0[b][DATA]n22.15[a]300.0[b][DATA]n31.82[a]250.0[b][DATA]n41.51[a]200.0[b][DATA]n51.18[a]150.0[b][DATA]n60.84[a]100.0[b][DATA]n70.56[a]50.0[b][DATA]n8[INV][a]a-32.12335698[INV][b]b153.8509241[INV][r]r0.9998323336查表知道,当n=8时,r0=0.834,rr0,说明U、R2之间线性相关。
得到:
回归方程R2=154U-32电流计内阻Rg=32电流常数K=3.7410-9A/mm习题1.指出下列测量结果的有效数字:
(1)I=5010mA
(2)C=2.99792458108m/s2.按四舍五入修约法,将下列数据只保留3位有效数字:
(1)1.005
(2)979.499(3)980.501(4)6.275(5)3.1343.单位变换:
(1)m=3.1620.002kg=g=mg=T
(2)=(59.80.1)=()ˊ(3)L=98.960.04cm=m=mm=m4.改错并且将一般表达式改写成科学表达式:
(1)Y=(1.9610
(2)L=(160000100)m5.按有效数字运算规则计算下列各式:
(1)10003+3.2=(3)tg30115.78109)N/m2-5=
(2)3.21005ˊ=(4)125.100325.100125.100325.100+=(5)R1=5.10k,R2=5.1010R=R1+R2+R3=(6)L=1.674m-8.00cm=2,R3=51。
求:
数学建模356.求下列公式的不确定度:
(1)hdm24
(2)N=223yx(3)L=h+3d(4)Z=yxyx7.用分度值为1mm的米尺测量一物体长度L,测得数据为:
98.98cm、98.96cm、98.97cm、98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm,试求L、L,并写出测量结果表达式LL。
8.测量出一个铅圆柱体的直径为d=(2.0400.001)cm,高度为h=(4.1200.001)cm,质量为m=(149.100.05)g,试计算、,并表示测量结果。
9.某同学测量弹簧倔强系数的数据如下:
F(g)2.004.006.008.0010.0012.0014.00y(cm)6.9010.0013.0515.9519.0022.0525.10其中F为弹簧所受的作用力,y为弹簧的长度,已知y-y0=(k1)F,试用作图法求弹簧的倔强系数k及弹簧的原来长度y0。
10.用伏安法测电阻时,测出的数据如下,试求回归直线,并求出测量结果R值。
I(mA)2.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.0020.00U(V)1.002.013.054.005.015.996.988.009.009.9611.用双臂电桥对某一电阻作多次等精度测量,测得数据如下:
R():
12.0612.1012.1212.1512.1612.1712.1912.2112.2212.2512.2612.3512.4212.83试用3准则判断该测量列中是否有坏值,计算出检验后的算术平均值及平均值的标准差,正确表达测量结果。
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