函数极限的性质证明精选多篇.docx
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函数极限的性质证明精选多篇
函数极限的性质证明(精选多篇)
第一篇:
函数极限的性质证明
函数极限的性质证明
x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在,并求该极限
求极限我会
|xn+1-a|<|xn-a|/a
以此类推,改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;
|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;
……
|x2-a|<|x1-a|/a;
向上迭代,可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)
2
只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法:
①证明{x(n)}单调增加。
x
(2)=√=√5>x
(1);
设x(k+1)>x(k),则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x
(1)=1<4,
设x(k)<4,则
x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。
3
当0
当0
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a,则:
t>1、a=1/t
且,f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
则:
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以,对于数列n*a^n,其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明:
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题,帮个忙。
。
。
lim就省略不打了。
。
。
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题,只不过题目把答案告诉你了,你把过程写出来就好了
第一题,分子分母都除以n,把n等于无穷带进去就行
第二题,利用海涅定理,把n换成x,原题由数列极限变成函数极限,用罗比达法则(不知楼主学了没,没学的话以后会学的)
第三题,n趋于无穷时1/n=0,sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第二篇:
函数极限的性质
§3.2函数极限的性质
§2函数极限的性质
ⅰ.教学目的与要求
1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性,迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.
2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.
ⅱ.教学重点与难点:
重点:
函数极限的性质.
难点:
函数极限的性质的证明及其应用.
ⅲ.讲授内容
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:
1)limf?
x?
;2)limf?
x?
;3)limf?
x?
x?
?
?
x?
?
?
x?
?
?
f?
x?
;6)limf?
x?
。
4)limf?
x?
;5)lim?
?
x?
x0x?
x0x?
x0
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质.至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应地作些修改即可.
定理3.2(唯一性)若极限limf?
x?
存在,则此极限是唯一的.x?
x0
证设?
?
都是f当x?
x0时的极限,则对任给的?
?
0,分别存在正数
?
1与?
2,使得当0?
x?
x0?
?
1时有
f?
x?
?
?
?
?
,
(1)当0?
x?
x0?
?
2时有
f?
x?
?
?
?
?
,
(2)
取?
?
min?
?
1,?
2?
,则当0?
x?
x0?
?
时,
(1)式与
(2)式同时成立,故有
?
?
?
?
(f?
x?
?
?
)?
?
f?
x?
?
?
?
f?
x?
?
?
?
f?
x?
?
?
?
2?
由?
的任意性得?
?
?
,这就证明了极限是唯一的.
定理3。
3(局部有限性)若limf?
x?
存在,则f在x0的某空心邻域u0?
x0?
内有界.x?
x0
证设limf?
x?
?
?
.取?
?
1,则存在?
?
0使得对一切x?
u0?
x0;?
?
有x?
x0
f?
x?
?
?
?
1?
f?
x?
?
?
1
这就证明了f在u0?
x0;?
?
内有界.
定理3.4(局部保号性)若limf?
x?
?
?
?
0(或?
0),则对任何正数r?
?
(或x?
x0
r?
?
?
),存在u0?
x0?
,使得对一切x?
u0?
x0?
有
f?
x?
?
r?
0(或f?
x?
?
?
r?
0)
证设?
?
0,对任何r?
(0,?
),取?
?
?
?
r,则存在?
?
0,使得对一切
x?
u0?
x0;?
?
f?
x?
?
?
?
?
?
r,
这就证得结论.对于?
?
0的情形可类似地证明.
注在以后应用局部保号性时,常取r?
a.2
x?
x0定理3.5(保不等式性)设limf?
x?
与都limg?
x?
都存在,且在某邻域u0x0;?
'内x?
x0?
?
有f?
x?
?
g?
x?
则
limf?
x?
?
limg?
x?
(3)x?
x0x?
x0
证设limf?
x?
=?
,limg?
x?
=?
,则对任给的?
?
0,分别存在正数?
1与?
2使x?
x0x?
x0
得当0?
x?
x0?
?
1时有
?
?
?
?
f?
x?
,当0?
x?
x0?
?
2时有
g?
x?
?
?
?
?
令?
?
min?
',?
1,?
2,则当0?
x?
x0?
?
时,不等式f?
x?
?
g?
x?
与(4)、(5)两式同时成立,于是有
?
?
?
?
f?
x?
?
g?
x?
?
?
?
?
从而?
?
?
?
2?
.由?
的任意性推出?
?
?
,即(3)式成立.
定理3.6(迫敛性)设limf?
x?
=limg?
x?
=a,且在某u0x0;?
'内有x?
x0x?
x0?
?
?
?
f?
x?
?
则limh?
x?
?
?
.x?
x0h?
x?
?
g?
x?
证按假设,对任给的?
?
0,分别存在正数?
1与?
2,使得当0?
x?
x0?
?
1时有,2
?
?
?
?
f?
x?
(7)当0?
x?
x0?
?
2时有
g?
x?
?
?
?
?
(8)令?
?
min?
?
1,?
2,则当0?
x?
x0?
?
时,不等式(6)、(7)、(8)同时成立,故有
?
?
?
?
f?
x?
?
h?
x?
?
g?
x?
?
?
?
?
由此得h?
x?
?
?
?
?
,所以limh?
x?
?
?
x?
x0?
'?
定理3.7(四则运算法则)若极限limf?
x?
与limg?
x?
都存在,则函数x?
x0x?
x0
f?
g,f?
g当x?
x0时极限也存在,且
1)lim?
f?
x?
?
g?
x?
?
?
limf?
x?
?
limg?
x?
;x?
x0x?
x0x?
x0
2)lim?
f?
x?
g?
x?
?
?
x?
x0x?
x0limf?
x?
.limg?
x?
;x?
x0
又若limg?
x?
?
0,则f|g当x?
x0时极限存在,且有x?
x0
3)limx?
x0f?
x?
?
gxx?
x0limf?
x?
limg?
x?
.x?
x0
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给学生作为练习.
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.
例1求limx?
?
x?
0?
x?
解当x?
0时有
1?
x?
x?
?
?
1,?
x?
?
1?
?
1?
?
1?
x?
1?
故由迫敛性得:
xlim而limx?
?
=1?
0?
x?
0?
?
x?
另一方面,当x?
0有1?
x?
?
?
1?
x,故又由迫敛性又可得:
limx?
?
?
1?
x?
0?
x?
?
x?
综上,我们求得limx?
?
?
1x?
0?
x?
3?
1?
?
1?
?
1?
?
1?
例2求lim?
xtanx?
1?
x?
?
解由xtanx?
xsinx及§1例4所得的,cosx
sixn?
si?
lim
x?
?
?
442?
limcoxs,?
2x?
4
并按四则运算法则有
limsinx
?
xtanx?
1?
=limx?
lim
x?
x?
?
4?
4x?
?
4limcosxx?
1=?
lim?
x?
4?
?
?
14
例3求lim?
3?
?
1?
3?
.x?
?
1x?
1x?
1?
?
解当x?
1?
0时有
?
x?
1?
?
x?
2?
?
x?
213?
3?
x?
1x?
1x3?
1x2?
x?
1
故所求的极限等于
x?
2?
1?
2?
?
?
12x?
?
1x2?
x?
1?
1?
?
1?
1lim
例4证明lima?
1?
a?
1?
x
x?
0
证任给?
?
0(不妨设?
?
1),为使
xa?
1?
?
(9)
即1?
?
?
a?
1?
?
,利用对数函数loga
loga?
1?
?
?
?
x?
loga?
1?
?
?
于是,令x(当a?
1时)的严格增性,只要?
?
min?
loga?
1?
?
?
?
loga?
1?
?
?
?
,则当0?
x?
?
时,就有(9)式成立,从而证得结论.
ⅳ小结与提问:
本节要求学生理解掌握函数极限的性质,并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.
ⅴ课外作业:
p512、3、5、7、8、9.
第三篇:
§2函数极限的性质
《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院
§2函数极限的性质
教学章节:
第三章函数极限——§2函数极限的性质
教学目标:
使学生掌握函数极限的基本性质.
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点:
函数极限的性质及其计算.
教学难点:
函数极限性质证明及其应用.
教学方法:
讲练结合.
教学过程:
引言
在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限:
1、limf(x);2、limf(x);3、limf(x);4、limf(x);5、limf(x);6、limf(x).
x?
?
?
x?
?
?
x?
?
x?
x0x?
x0?
x?
x0?
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至
x?
x0
于其它类型极限的性质及其证明,只要作相应的修改即可.
一、函数极限的性质
性质1(唯一性)如果x?
a
limf(x)x?
alimf(x)存在,则必定唯一.证法一设?
a,x?
alimf(x)?
b,则
?
?
?
0,?
?
1?
0,当0?
|x?
a|?
?
1时,
|f(x)?
a|?
?
(1)
?
?
2?
0,当0?
|x?
a|?
?
2时,
|f(x)?
b|?
?
.
(2)
?
?
min?
?
1,?
2?
取
因而有,则当0?
x?
a?
?
时
(1)和
(2)同时成立.
a?
b?
(f(x)?
a)?
(f(x)?
b)?
f(x)?
a?
f(x)?
b?
2?
(3)
由?
的任意性,(3)式只有当
a?
b?
0
时,即a?
b时才成立.
a?
b2
证法二反证,如x?
a
0?
x?
a?
?
limf(x)
?
a
,x?
a
limf(x)?
b
且a?
b,取
?
0?
,则?
?
?
0,使当
时,
f(x)?
a?
?
0,f(x)?
b?
?
0
即
a?
b2
?
a?
?
0?
f(x)?
b?
?
0?
a?
b2
矛盾.
性质2(局部有界性)若limf(x)存在,则f在x0的某空心邻域内有界.
x?
x0
limf(x)?
a
?
?
1x?
x0证明取,由,?
?
?
0,当0?
x?
x0?
?
时,有f(x)?
a?
1,
即
f(x)?
a?
f(x)?
a?
a?
1
,
a?
1
说明f(x)在u0(x0;?
)上有界,就是一个界.
limf(x)?
b
x?
a
性质3(保序性)设,x?
a
limg(x)?
c
.
0?
x?
a?
?
0?
?
?
0
1)若b?
c,则0,当时有f(x)?
g(x);
0?
x?
a?
?
0
2)若
?
?
0?
0
,当
时有f(x)?
g(x),则b?
c.(保不等式性)
证明1)取
?
0?
b?
c2
即得.2)反证,由1)即得.
注若在2)的条件中,改“f(x)?
g(x)”为“f(x)?
g(x)”,未必就有
a?
b.以f(x)?
1?
x,g(x)?
1,x0?
0
举例说明.
推论(局部保号性)如果x?
a
号.
limf(x)?
b
0?
x?
a?
?
0?
?
?
0
且b?
0,则0使当时f(x)与b同
性质4(迫敛性)设limf(x)?
limh(x)?
a,且在某u0(x0;?
?
)内有f(x)?
g(x)?
h(x),
x?
x0
x?
x0
则limh(x)?
a.
x?
x0
证明?
?
?
0,由x?
x
limh(x)?
a
limf(x)?
a
,?
?
1?
0,使得当0?
x?
x0?
?
1时,
有f(x)?
a?
?
,即a?
?
?
f(x)?
a?
?
.又由
x?
x0
,?
?
2?
0,使得当0?
x?
x0?
?
2时,有h(x)?
a?
?
,
即a?
?
?
h(x)?
a?
?
.
令?
?
min(?
1,?
2),则当0?
x?
x0?
?
时,有a?
?
?
f(x)?
g(x)?
h(x)?
a?
?
limg(x)?
a
即g(x)?
a?
?
,故x?
x.
性质6(四则运算法则)若limf(x)和limg(x)都存在,则函数f?
g,fg当x?
x0时极限
x?
x0
x?
x0
也存在,且1)lim?
f(x)?
g(x)?
?
limf(x)?
limg(x);2)lim?
f(x)?
g(x)?
?
limf(x)?
limg(x).
x?
x0
x?
x0
x?
x0
x?
x0
x?
x0
x?
x0
又若limg(x)?
0,则
x?
x0
fg
当x?
x0时极限也存在,且有3)lim
f(x)g(x)
x?
x0
?
x?
x0
limf(x)
x?
x0
limg(x)
.
3)的证明只要证有
x?
x0
lim
1g(x)
b2
?
1b,令
?
0?
b2
?
0
,由
x?
x0
limg(x)?
b
b2
0?
x?
x0?
?
1
,?
?
1?
0使得当时,
b2
g(x)?
b?
,即
g(x)?
b?
g(x)?
b?
b?
?
.
g(x)?
b?
b2
?
?
?
0
仍然由
x?
x0
limg(x)?
b
?
?
2?
0,使得当0?
x?
x0?
?
2时,,有
?
.
0?
x?
x0?
?
取?
?
min(?
1,?
2),则当时,有
1g(x)
?
1b?
g(x)?
bg(x)b
?
2b
g(x)?
b?
2b
?
b2
?
?
?
即
x?
x0
lim
1g(x)
?
1b.
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
利用“迫敛性”和“四则运算”,可以从一些“简单函数极限”出发,计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限:
limc?
c,limx?
x0,limsinx?
sinx0,limcosx?
cosx0;
x?
x0
x?
x0
x?
x0
x?
x0
lim
1x
x?
?
?
0,limarctgx?
?
x?
?
?
?
.(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.
在计算一些简单极限时,利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1求limx?
?
.
x?
0
?
x?
?
1?
例2求lim?
(xtgx?
1).
x?
例3求lim(
1x?
?
1
x?
1
?
3x3
?
1
).
例4lim
5x?
3x?
73x3
?
2x2
?
5
.
x?
?
注关于x的有理分式当x?
?
时的极限.参阅[4]p37.7
例5lim
x?
1n
x
10利用公式x?
1
?
1
.[a?
1?
(a?
1)(a
n?
1
?
a
n?
2
?
?
?
a?
1)
].
例6lim
x?
2x?
2?
1x?
1
x2
?
x?
2
.
例7lim
2x?
3x?
1
x?
?
?
3x?
5
.
例8lim
xsin(2x?
x?
10)
3?
2x
.
x?
?
例9lim
?
x?
1.
x?
0
?
x?
1
例10已知lim
x?
16?
a参阅[4]p69.
x?
3
x?
3
?
b.求a和b.作业教材p51—521-7,8
(1)
(2)(4)(5);2
补充题已知lim
x?
ax?
b7.求a和b.(a?
?
16x?
2
x2?
4
?
b?
3
b?
203
.)
例11lim?
?
2?
x2?
ax?
b?
?
?
0.x?
?
?
?
1?
x
?
求a和b.?
2解法一
2?
x
?
ax?
ax
1?
x
?
ax?
2?
x1?
x
?
?
(a?
1)x2
?
ax?
2
1?
x
?
b,(x?
?
).
?
a?
1?
0,a?
?
1;又?
a?
b,?
b?
1.
解法二2?
x2
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b?
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x2?
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,?
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x
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由x?
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且原式极限存在(本文来自),?
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b
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0,即a?
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第四篇:
2函数极限的性质
§2函数极限的性质
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:
1);2);3);
4);5);6)。
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。
定理3.2(唯一性)若极限
证设与、都是当存在,则此极限是唯一的。
时的极限,则对任给的,
分别存在正数,使得当
时有
(1)
当
时有
(2)取,则当时,
(1)式与
(2)式同时成立,故有
由的任意性得。
这就证明了极限是唯一的。
定理3.3(局部有界性)若极限
内有界。
存在,则在某空心邻域
证设
。
取,则存在,使得对一切
。
有
这就证明了在内有界。
定理3.4(局部保号性)若(或
),存在,使得对一切
有
(或),则对任何正数
(或
证设
有
,这就证得结论。
对于,对任何
,取
,则存在
)。
,使得对一切
的情形可类似地证明。
定理3.5(保不等式性)设
内有
,则
与
都存在,且在某邻域
。
(3)
证设,使得当
,时
,则对任给的,分别存在正数与
(4)
当
时有
(5)
令
,则当
时,不等式
与(4),
(5)式同时成立,于是
有式成立。
,从而
。
由的任意性得
,即(3)
定理3.6(迫敛性)设==,且在某内有
(6)
则
。
证按假设,
对任给的
,分别存在正数
与
,使得当
时
(7)
当
时有
(8)
令
式同时成立,故有
,则当
时,不等式(6)、(7)、(8)
,由此得
,所以。
定理3.7(四则运算法则)若极限,
当
与
都存在,则函数
时极限也存在,且
1)
=
2)
=
又若,则当时极限也存在,且有
)
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给读者作为练习。
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。
例1求。
解由第一章§3习题13,当时有
,而
,故由迫敛性得
。
另一方面,当时有
,故由迫敛性又可得
。
综上,我们求得
。
例2求。
解由
及§1例4所得的
并按四则运算法则有
=
例3求
解当时有
。
故所求极限等于
。
例4证明证任给
(不妨设
),为使
(9)
即
,利用对数函数
(当
时)的严格增性,只要
于是,令
成立,从而证得结论。
,则当时,就有(9)式
第五篇:
函数极限的证明
函数极限的证明
(一)时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的:
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:
函数极限的性质及其计算。
教学难点:
函数极限性质证明及其应用。
教学方法:
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
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