基础数学专业硕士研究生培养方案.docx

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基础数学专业硕士研究生培养方案

基础数学专业硕士研究生培养方案

一、培养目标

按照党和国家的教育方针，培养德、智、体全面发展的高层次专门人才。

具体的要求为：

1、掌握马克思主义的基本原理，热爱祖国，遵纪守法，品德优良，学风严谨，具有实事求是、不断追求新知、勇于创造的科学精神，积极为社会主义建设服务。

2、掌握数学坚实宽广的基础理论和系统深入的现代数学知识。

具有独立从事科学研究和教学工作、组织解决重大实际问题的能力，并在科学或专门技术上作出创造性成果。

3、至少掌握一门外国语，能熟练阅读外文资料，具有撰写学术论文和进行国际学术交流的能力。

4、有健康的体魄。

二、研究方向：

见附表一

三、学习年限及时间分配

硕士生的学制为2年。

课程学习在前2个学期内完成，学位论文时间不应少于1年。

四、课程设置及学分要求：

见附表二

硕士生所修课程总学分不少于26学分，其中学位课（包括公共课、专业必修课）不低于16学分。

第一外国语非英语的研究生，第二外国语必须选修，且语种必须为英语。

五、文献阅读

普通硕士研究生要在第二学期或第三学期根据导师的建议阅读一定数量的专业文献，并于期末提交阅读报告。

提交阅读报告，可得1学分。

六、开题报告

硕士生在第三学期初完成开题报告。

论文开题工作应在导师指导下，围绕研究方向查阅文献、收集资料，独立选择研究课题。

课题的选择尽可能结合导师的科研课题和研究专长。

 开题报告必须包含所要研究课题的背景，现状，拟研究的问题，以及预期结果等方面的内容。

开题报告通过，可得1学分。

对于开题未通过者，必须根据专家建议，在两个月内完成新的开题报告，并重新开题。

七、中期考核

每隔个学期，要求研究生在一定范围内报告论文进展情况，导师、指导小组及有关人员参加，帮助博士生分析论文工作进展中的难点，及时给予指导，促进论文研究工作的顺利进展。

凡不符合要求者，令其重做，并延期毕业论文答辩。

八、论文工作

论文工作应与课程学习交叉进行，硕士生用于科学研究和撰写论文的累计时间一般不应少于一年。

导师要全面掌握硕士研究生的论文工作进度，根据实际需要对论文工作计划进行及时和必要的调整。

硕士论文的具体要求按学校学位管理条例规定执行。

附表一

研究方向及主要研究内容介绍

一级学科名称

数学

代码

0701

二级学科名称

基础数学

代码

070101

序号

研究方向

主要内容简介

带头人

01

泛函分析

算子理论、算子代数、空间理论、非线性泛函分析以及应用泛函分析

纪友清

02

代数学

环论，交换代数，多项式环的自同态，编码与密码的代数理论

杜现昆

03

拓扑学与拓扑动力系统

超空间、低维拓扑、集值映射、混沌理论、遍历理论、动力系统

廖公夫

04

复分析与几何

复几何与微分几何、K-理论、复分析与函数空间

曹阳

05

常微分方程

可积性与不可积性，微分Galois理论，定性理论，摄动理论，重整化群方法

史少云

06

偏微分方程

非线性偏微分方程及其方程组

袁洪君

07

几何分析与变分学

调和映照，曲率流，临界点理论，变分法

王春朋

附表二

硕士生课程设置表

类别

课程

编号

课程名称

任课

教师

教师代码

学时

学分

开课时间

授课方式

考核方式

1

2

必

修

课

公共课

00020041

00020061

第一外国语

自然辩证法

科学社会主义理论与实践

100

40

20

3

2

1

√

√

√

√

基础理论课

31020012

泛函分析

纪友清

101523

72

4

√

讲授

考试

专业课

31021013

31021023

31021033

模与范畴

代数拓扑

复分析

杜现昆

廖公夫

曹阳

104608

103558

100243

54

72

54

3

4

3

√

√√

讲授

讲授

讲授

考试

考试

考试

选

修

课

31021044

31021054

31021064

31021074

31021084

31021094

31021104

31021114

31021124

31021134

31021144

31021154

31021164

31021174

31021184

31021194

31021204

31021214

31024023

算子理论

Banach代数

套代数导引

交换代数

代数几何初步

同调代数

环论

Lie代数

拓扑动力系统

遍历理论初步

分形几何

现代几何导引

有界解析函数

复几何

微分Galois理论初步

偏微分方程泛函方法

双曲型偏微分方程

Rieman几何

微分方程几何理论

纪友清

纪友清

纪友清

杜现昆

杜现昆

杜现昆

杜现昆

杜现昆

廖公夫

廖公夫

廖公夫

曹阳

曹阳

曹阳

史少云

袁洪君

袁洪君

谢敬然

李勇

101523

101523

101523

104608

104608

104608

104608

104608

103558

103558

103558

100243

100243

100243

102476

101129

101129

103828

104605

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

36

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

讲授

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

考试

补

修

课

泛函分析课程教学大纲

课程编号：

31020012课程名称：

泛函分析

学时：

72学分：

4 开课学期：

1

开课单位：

数学研究所

任课教师：

 纪友清      教师职称：

教授

教师梯队：

纪友清、曹阳、徐新军、张敏

1、课程目的、任务及对象

泛函分析是二十世纪初期形成的较新的数学分支，能充分体现现代数学的思想和特征。

泛函分析的基本知识、思想和方法已渗透到现代数学的各个领域以及其它学科的许多领域。

本课程是继本科泛函分析课程之后，进一步介绍泛函分析的基础理论知识、思想和方法，以展现现代数学的一些主要特征，为硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。

2、授课的具体内容

 第一章拓扑学引论

第一节拓扑空间

第二节弱拓扑

第三节网与收敛

第四节紧拓扑空间

第五节Banach空间上弱拓扑

第六节算子拓扑

第二章测度论概述

第一节抽象测度

第二节欧氏空间上的Borel测度与Borel函数

第三节紧Hausdorff空间上的Borel测度

第三章几个基本结果

第一节商空间与对偶空间

第二节Stone-Weierstrass定理

第三节Riesz-Markov定理

第四章广义函数与Sobolev空间

第一节广义函数空间概要

第二节经典广义函数空间

第三节Sobolev空间与嵌入定理

第五章自伴算子谱论

第一节连续函数演算

第二节算子的正平方根与算子极分解

第三节标量值谱测度、谱表示

第四节Borel函数演算

第五节射影值谱测度、自伴算子谱定理

第六章Cp类算子

第一节迹类算子

第二节Hilbert-Schmidt算子

第三节Cp算子类的对偶

第四章广义函数与Sobolev空间

第一节广义函数空间概要

第二节经典广义函数空间

第七节无界自伴算子

第一节算子的伴随与谱

第二节自伴算子

第三节射影值测度

第四节谱定理

3、实践性环节

4、本课学习的基本要求

通过本科程学习，学生应掌握泛函分析的基本思想、基本概念、基本方法论与基本结果。

5、预备知识 实变函数、本科阶段的泛函分析

6、教材及主要参考书：

江泽坚、吴智泉，实变函数论（第二版），高等教育出版社，1994年。

江泽坚、孙善利，泛函分析，高等教育出版社，1994年。

王振鹏，泛函分析，吉林大学出版社，1990年。

张恭庆、林源渠，泛函分析（上册），北京大学出版社，1987年。

 7、教学方式及考试方式

课程结束将进行综合考试。

模与范畴课程教学大纲

课程编号：

31021013课程名称：

模与范畴

学时：

54学分：

3 开课学期：

1

开课单位：

数学研究所

任课教师：

杜现昆     教师职称：

教授

教师梯队：

杜现昆、原永久、刘阳、孙晓松、于晓峰

1、课程目的、任务及对象

本课程是代数学的基础，主要讲授模范畴理论的基本概念、基本方法与基本结果。

通过本课程的学习，可以使学生了解现代的代数学理论，为以后的学习与科研工作打下基础。

2、授课的具体内容

 第一章环、模与同态

第一节环及其同态

第二节模与子模

第三节模的同态

第四节模范畴

第二章直和与直积

第一节直和项

第六节模的直和与直积

第七节环的分解

第四节生成子与余生成予

第三章模的有限性条件

第一节半单模

第二节有限生成、有限余生成、链条件

第三节合成列

第四节模的分解

第四章经典环论

第一节半单环

第二节稠密定理

第三节环的根

3、实践性环节

4、本课学习的基本要求

通过本科程学习，学生应掌握范畴的基本概念、模的基本概念、基本方法论与基本结果，经典环论的基本结果。

5、预备知识 近世代数.

6、教材及主要参考书：

F.W.Anderson,K.R.Fuller,RingsandCategoriesofModules,2ndEd.Springer-Verlag,NewYork,1992.

 7、教学方式及考试方式

课程结束将进行综合考试。

代数拓扑课程教学大纲

课程编号：

31021023课程名称：

代数拓扑

学时：

72学分：

4 开课学期：

2

开课单位：

数学研究所

任课教师：

廖公夫       教师职称：

教授

教师梯队：

廖公夫、曹阳、谢敬然、王立娟

1、课程目的、任务及对象

代数拓扑是二十世纪数学最重要的创造之一，其主要思想是借助代数工具来研究拓扑空间及其上的映射的在连续形变下的不变量。

代数拓扑的基本知识、思想和方法已渗透到现代数学的各个领域以及其它学科的许多领域。

本课程是继本科基础拓扑学课程之后，进一步介绍代数拓扑的基础理论知识、思想和方法，以展现现代数学的一些主要特征，为硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。

2、授课的具体内容

 第一章同伦论初步

第一节路径的同伦

第二节映射的同伦

第三节圆周的基本群

第四节覆盖空间

第五节提升问题

第六节高维同伦群

第二章奇异同调论

第一节仿射空间

第八节奇异单纯形

第九节链复形

第一十节同调的同伦不变性

第一十一节

和

的关系

第一十二节相对同调

第三章同调代数和同调群的计算

第一节正合同调序列

第二节切除定理

第三节球面的同调群

第四节Mayer-Vietoris序列

第五节Jordan-Brouwer分离定理

第四章特殊拓扑空间的构造及其同调群

第一节球复形

第二节Betti数和Euler示性数

第三节胞腔复形

第五章流形的定向和对偶

第一节流形及其定向

第四节奇异上同调

第五节上同调的Cup和Cap积

第六节代数极限

第一十三节Poincare对偶

第一十四节Alexander对偶

第一十五节Lefschetz对偶

3、实践性环节

4、本课学习的基本要求

通过本科程学习，学生应掌握同伦论和同调论的基本思想、基本概念、基本方法论与基本结果。

5、预备知识 点集拓扑、抽象代数的基本知识。

6、教材及主要参考书：

[1]MarvinJ.Greenberg&JohnR.Harper,AlgebraicTopology,AFirstCourse,TheBenjamin/CummingsPublishingCompanyInc,1981.

[2]J.Milnor&J.Stasheff,CharacteristicClass,AnnalsofMath.Studies,76,PrincetonUniv.Press.

[3]W.S.Massey,AlgebraicTopology:

AnIntroduction,Harcourt-Brace,N.Y.,1967.

 7、教学方式及考试方式

课程结束将进行综合考试。

复分析课程教学大纲

课程编号：

31021033课程名称：

复分析

学时：

54学分：

3 开课学期：

2

开课单位：

数学研究所

任课教师：

曹阳       教师职称：

副教授

教师梯队：

曹阳、徐新军、张敏、纪友清

1、课程目的、任务及对象

多复变量解析函数理论在上个世纪有了长足的发展，它是函数论研究的重要基础。

它与调和分析、偏微分方程、复几何、算子理论等学科分支的密切联系，使它一直保持着旺盛的生命力。

本课程主要讲授多复变量函数的基本概念、基本结果。

通过本课程，使学生了解这方面的一些基本思想，为今后的科研工作打下这方面的基础。

2、授课的具体内容

 第一章单变量复变函数的一些结果

第一节Cauchy积分公式及其应用

第二节Runge逼近定理

第三节Mittag-Leffler定理

第五节Weierstrass定理

第二章多变量全纯函数的局部性质

第一节全纯函数

第一十六节全纯映射

第一十七节全纯函数的零点集

第三章全纯域和拟凸域

第一节全纯函数的扩张

第二节自然边界和拟凸域

第三节Cartan和Thullen的定理

第四节Plurisubharmonic函数

第五节拟凸域的刻画

第四章微分形式和Hermitian几何

第一节实微分流形上的微积分

第二节复结构

第三节

上的Hermitian几何

第五章

中函数的积分表示

第一节Bochner-Martineli-Koppelman公式

第七节一些应用

第三章一般的同伦形式公式

第四章Bergman核

3、实践性环节

4、本课学习的基本要求

通过本科程学习，学生应掌握多复变量的函数理论基本思想、基本概念、基本方法论与基本结果。

5、预备知识 实变函数、本科阶段的单复变函数理论和泛函分析

6、教材及主要参考书：

R．M．Range，HolomorphicFunctionsandIntegralRepresentations

inSeveralComplexVariables，WorldPublishingCorp，1986。

L.Hormanders,AnIntroductiontoComplexAnalysisinSeveralVariables,NorthHolland,1990.

 7、教学方式及考试方式

课程结束将进行综合考试。

算子理论课程内容简介

课程编号：

31021044课程名称：

算子理论

学时：

36学分：

2 开课学期：

1

开课单位：

数学研究所

任课教师：

 纪友清         教师职称：

教授

教师梯队：

纪友清、曹阳、徐新军、张敏

1、课程目的、任务及对象

算子理论是二十世纪在线性代数和积分方程等方面的成果基础上形成的较新的数学分支，它利用现代数学的思想、方法处理同时具有代数结构和拓扑结构的数学对象，其结果在算子理论内部和其它诸多领域都有应用。

本课程介绍算子理论的基本思想、方法和基础理论知识，以及算子理论的一些基本问题，是泛函分析方向的重要基础课，为本方向硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。

2、授课的内容简介

算子谱论、算子的正规性、自反性、特殊算子类（加权移位、压缩算子、Toeplitz算子等）、算子逼近、膨胀理论、模型理论、算子的指标理论、不变子空间问题等

Banach代数课程内容简介

课程编号：

31021054课程名称：

Banach代数

学时：

36学分：

2 开课学期：

2

开课单位：

数学研究所

任课教师：

 纪友清        教师职称：

教授

教师梯队：

纪友清、曹阳、徐新军、张敏

1、课程目的、任务及对象

Banach代数理论为算子理论算子代数的研究，提供了有力的工具，同时，它也是泛函分析的重要研究方面。

本课程介绍Banach代数理论的基本思想、方法和基础理论知识，以及在算子理论中的一些应用，是泛函分析方向的重要基础课，为本方向硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。

2、授课的内容简介

Banach代数的一般理论，交换Banach的Gelfond变换理论，函数代数，Banach代数在算子理论中的应用。

套代数导引课程内容简介

课程编号：

31021064课程名称：

套代数导引

学时：

36学分：

2 开课学期：

2

开课单位：

数学研究所

任课教师：

 纪友清        教师职称：

教授

教师梯队：

纪友清、曹阳、徐新军、张敏

1、课程目的、任务及对象

二十世纪八十年代，关于自伴算子代数的研究已非常成熟。

但关于非自伴算子代数的研究刚刚走向正轨。

于是，关于套代数的研究飞速发展起来。

套代数理论是非自伴算子代数的典范，极大地丰富和推动了算子理论和算子代数的研究。

本课程介绍套代数理论的基本思想、方法和基础理论知识，是泛函分析方向的重要基础课，为本方向硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。

2、授课的内容简介

套代数的基本概念，套的序型，套代数的结构，三角积分，套代数的相似、酉等价及近似酉等价，套代数的一些新进展。

交换代数课程内容简介

课程编号：

31021074课程名称：

交换代数 

学时：

36学分：

2 开课学期：

1   

开课单位：

数学研究所 

任课教师：

杜现昆教师职称：

教授

教师梯队:

杜现昆、刘阳、孙晓松、于晓峰、徐晓伟、马晶

课程简介：

介绍交换代数的主要内容。

特别强调模的作用、局部化思想以及与代数几何的联系。

主要内容有：

环、理想、模、分式环、准素分解、整相关性、Noether环与Artin环、离散赋值环、完备化以及维数理论。

主要参考书：

M.F.Atiyah，I.G.MacDonald，IntroductiontoCommutativeAlgebra，Addison-WesleyPublishingCompany，1969.

代数几何初步课程内容简介

课程编号：

31021084课程名称：

代数几何初步

学时：

36 学分：

2 开课学期：

2

开课单位：

 数学研究所 

任课教师：

杜现昆教师职称：

教授

教师梯队:

杜现昆、刘阳、孙晓松、于晓峰、徐晓伟、马晶

课程简介：

介绍代数几何的基本理论。

主要内容有：

仿射与射影代数簇、概形、除子、黎曼-罗赫定理、参量空间。

主要参考书：

李克正，代数几何初步，科学出版社，2004.

同调代数课程内容简介

课程编号：

31021094课程名称：

同调代数 

学时：

36学分：

2开课学期：

2

开课单位：

数学研究所 

任课教师：

杜现昆教师职称：

教授

教师梯队:

杜现昆、刘阳、孙晓松、于晓峰、徐晓伟、马晶

课程简介：

介绍交换代数的。

主要内容有：

模、范畴、函子、Hom函子与张量函子、模范畴的等价性与对偶性、导出函子、投射模、内射模、平坦模、同调与上同调。

主要参考书：

J.J.Rotman，AnIntroductiontoHomologicalAlgebra,AcademicPress,NewYork,1979.

环论课程内容简介

课程编号：

31021104课程名称：

环论 

学时：

36学分：

2 开课学期：

 2 

开课单位：

数学研究所 

任课教师：

杜现昆  教师职称：

教授

教师梯队:

杜现昆、刘阳、孙晓松、于晓峰、徐晓伟、马晶

课程简介：

介绍结合环的结构的基本理论。

主要内容有：

Wedderburn-Artin理论、Jacobson根、素环与本原环、除环、局部环、完备环。

主要参考书：

T.Y.Lam，AFirstCourseinNoncommutativeRings，GTM.131，Springer-Verlag，NewYork，1991.

Lie代数课程内容简介

课程编号：

31021114课程名称：

Lie代数 

学时：

36学分：

2 开课学期：

2   

开课单位：

数学研究所 

任课教师：

杜现昆  教师职称：

教授

教师梯队:

杜现昆、刘阳、孙晓松、于晓峰、徐晓伟、马晶

课程简介：

介绍Lie代数及其线性表示的基本理论。

主要内容有：

基本概念、可解与幂零李代数、Engel定理、Lie定理、Cartan定理、Killing型、导子、根空间分解、根系、同构定理、泛包络代数、表示论。

主要参考书：

J.E.Humphreys，IntroductiontoLieAlgebrasandRepresentationTheory,GTM9,Springer-Verlag,NewYork,1972

拓扑动力系统课程内容简介

课程编号：

31021124课程名称：

拓扑动力系统

学时：

36学分：

2开课学期：

1

开课单位：

数学研究所

任课教师：

廖公夫     教师职称：

教授

教师梯队：

廖公夫、王立娟、曹阳、杨柳

课程简介：

本课程主要讲述连续映射的若干动力性质（包括回复性、传递性、混合性、极小性、共轭性等），符号动力系统，有限型子转移，拓扑熵，混沌等拓扑动力系统理论中的基本问题，它可作为基础数学专业硕士研究生以及数学学科高年级本科生的选修课。

通过学习可使学生在拓扑动力系统领域奠定必要的研究基础。

遍历理论初步课程内容简介

课程编号：

31021134课程名称：

遍历理论初步

学时：

36学分：

2 开课学期：

2

开课单位：

数学研究所

任课教师：

廖公夫       教师职称：

教授

教师梯队：

廖公夫、王立娟、曹阳、杨柳

课程简介：

本课程主要讲述概率空间的保测变换，遍历性，混合性，测度熵，连续变换的不变测度，唯一遍历性等遍历理论中的基本问题，它可作为基础数学专业硕士研究生以及数学学科高年级本科生的选修课。

通过学习可使学生在动力系统与遍历理论领域奠定必要的研究基础。

分形几何课程内容简介

课程编号：

3102114