版 第1章 124 第2课时 两平面垂直.docx
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版第1章124第2课时两平面垂直
第2课时 两平面垂直
1.了解二面角的概念,能在长方体中度量二面角.(难点)
2.理解并掌握面面垂直的判定定理.(难点、重点)
3.掌握面面垂直的性质定理及其应用方法.(难点、重点)
[基础·初探]
教材整理1 与二面角有关的概念
阅读教材P46~P47例1,完成下列问题.
1.平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面.一般地,一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面为α,β的二面角,记作二面角α-AB-β.
2.一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
3.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.我们约定,二面角α的大小范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.
下列命题:
①两个相交平面组成的图形叫做二面角;
②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是________.
【答案】 ②④
教材整理2 平面与平面垂直的判定定理
阅读教材P47~P48例2,完成下列问题.
平面与平面垂直的判定定理
自然语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
符号语言
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
图形语言
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两平面相交,如果所成的二面角是直角,则这两个平面垂直.(√)
(2)一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面一定垂直.(√)
(3)一条直线与两个平面中的一个平行,与另一个垂直,则这两个平面垂直.(√)
(4)一个平面与两平行平面中的一个垂直,则与另一个平面也垂直.(√)
教材整理3 平面与平面垂直的性质定理
阅读教材P48例2以下部分内容,完成下列问题.
平面与平面垂直的性质定理
自然语言
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
符号语言
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β
图形语言
1.已知平面α⊥平面β,直线a⊥β,则a与α的位置关系是________.
【导学号:
41292030】
【答案】 a∥α或a⊂α
2.若三个不同的平面α,β,γ满足α⊥γ,β⊥γ,则α与β之间的位置关系是________.
【解析】 如图所示,满足α⊥γ,β⊥γ的α与β之间的位置关系可能为平行,也可能相交.
【答案】 平行或相交
[小组合作型]
面面垂直的判定定理的应用
已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:
平面MND⊥平面PCD.
【精彩点拨】 欲证平面MND⊥平面PCD,只需证明平面MND中的直线MN⊥平面PCD即可,取PD的中点E,易知MN∥AE,故只需证明AE⊥平面PCD即可.
【自主解答】 如图,取PD的中点E,连结AE,NE.
∵E,N分别是PD,PC的中点,
∴EN綊
CD.
又AB∥CD,AM=
AB,
∴EN綊AM,
∴四边形AMNE是平行四边形,
∴MN∥AE.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又CD⊥AD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE.
在等腰直角三角形PAD中,AE是斜边PD上的中线,
∴AE⊥PD.又CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD.
又MN∥AE,∴MN⊥平面PCD.
∵MN⊂平面MND,∴平面MND⊥平面PCD.
面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只需转证线面垂直,关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.
[再练一题]
1.如图1-2-91,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AA1=2AC,D是棱AA1的中点.求证:
平面BDC1⊥平面BDC.
图1-2-91
【解】 由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,∴BC⊥平面ACC1A1.
又∵DC1⊂平面ACC1A1,∴DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,
∴∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.
又∵DC∩BC=C,∴DC1⊥平面BDC,
∵DC1⊂平面BDC1,
∴平面BDC1⊥平面BDC.
面面垂直性质的应用
如图1-2-92,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:
图1-2-92
(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
【精彩点拨】
(1)在平面EFG中找两条相交的直线分别与平面ABC平行即可.
(2)先证BC⊥平面SAB,再利用线面垂直的性质即可证BC⊥SA.
【自主解答】
(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.
又因为E是SA的中点,
所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB.又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.
因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.
1.证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.
2.利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
(1)两个平面垂直;
(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.
[再练一题]
2.如图1-2-93,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.
图1-2-93
求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)平面BEF⊥平面PCD.
【证明】
(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由
(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.
又PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,
又EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.
因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
[探究共研型]
求二面角的大小
探究 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小关系如何?
【提示】 关系无法确定.如图所示,平面EFDG⊥平面ABC,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,所以两个二面角的大小关系不确定,因为二面角H-DG-F的大小不确定.
如图1-2-94所示,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AB=2,BC=
,PB=
,求二面角P-BC-A的大小.
【导学号:
41292041】
图1-2-94
【精彩点拨】 先利用二面角的平面角的定义找平面角,再通过解三角形求解.
【自主解答】 ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.
又∵AC⊥BC,PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,
∴BC⊥平面PAC.
又∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.
又∵BC⊥AC.
∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.
在Rt△PBC中,
∵PB=
,BC=
,∴PC=2.
在Rt△ABC中,AC=
=
,
∴在Rt△PAC中,cos∠PCA=
=
,
∴∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小为45°.
解决二面角问题的策略
[再练一题]
3.如图1-2-95
(1)所示,在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠BCD=135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角,如图1-2-95
(2)所示.
(1)
(2)
图1-2-95
(1)求证:
平面ABD⊥平面BCD;
(2)求二面角B-AD-C的大小.
【解】
(1)证明:
如图,
∵∠ACD=135°-45°=90°,
∴CD⊥AC.由已知二面角B-AC-D是直二面角,
过B作BO⊥AC,垂足为O,
由AB=BC知O为AC中点,
作OE⊥AC交AD于E,
则∠BOE=90°,∴BO⊥OE.
而OE∩AC=O,
∴BO⊥平面ACD.
又∵CD⊂平面ACD,∴BO⊥CD.
又AC∩BO=O,∴CD⊥平面ABC.
∵AB⊂平面ABC,
∴AB⊥CD,由已知∠ABC=90°,
∴AB⊥BC.而BC∩CD=C,∴AB⊥平面BCD.
又∵AB⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面BCD.
(2)由
(1)知BO⊥平面ACD,
∴BO⊥AD.
∵BO∩OE=O,
∴AD⊥平面BOE,而BE⊂平面BOE,
∴AD⊥BE,
∴∠BEO是二面角B-AD-C的平面角.
由已知AB=BC=CD=a,∴AC=
a,∴BO=
a.
由
(1)知AC⊥CD,∴AD=
a.
∵△AOE∽△ADC,
∴
=
,∴OE=
=
a.
在△BOE中,tan∠BEO=
=
=
,
∴∠BEO=60°,即二面角B-AD-C的大小为60°.
1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面有________个.
【解析】 由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面α,这样的平面有无数个.
【答案】 无数
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是________.
①m⊥n,m∥α,n∥β;②m⊥n,α∩β=m,n⊂α;
③m∥n,n⊥β,m⊂α;④m∥n,m⊥α,n⊥β.
【解析】 ∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又m⊂α,由面面垂直的判定定理,∴α⊥β.
【答案】 ③
3.设α-l-β是直二面角,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l都不垂直,那么说法中正确的有________.
【导学号:
41292042】
①a与b可能垂直,但不可能平行;②a与b可能垂直,也可能平行;③a与b不可能垂直,但可能平行;④a与b不可能垂直,也不可能平行.
【解析】 当a,b都与l平行时,
则a∥b,所以①④错.如图,若a⊥b,过a上一点P在α内作a′⊥l,
因为α⊥β,所以a′⊥β.
又b⊂β,∴a′⊥b,∴b⊥α,与题干要求矛盾,即a与b不可能垂直.
【答案】 ③
4.如图1-2-96,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有__________.(填序号)
图1-2-96
①平面ABC⊥平面ABD;
②平面ABD⊥平面BCD;
③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;
④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.
【解析】 因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.
因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确.
【答案】 ③
5.如图1-2-97,平面角为锐角的二面角α-EF-β,A∈EF,AG⊂α,∠GAE=45°,若AG与β所成角为30°,求二面角α-EF-β的平面角.
图1-2-97
【解】 作GH⊥β于H,作HB⊥EF于B,连结GB,则GB⊥EF,∠GBH是二面角的平面角.
又∠GAH是AG与β所成的角,设AG=a,则GB=
a,GH=
a,sin∠GBH=
=
,所以∠GBH=45°,
故二面角α-EF-β的平面角为45°.
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