定积分基本公式.doc

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定积分基本公式 

定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.

第二节  微积分基本公式

一、变上限的定积分

y=f（x）

b

x

y

a

φ（x）

x

设函数在[]上连续,，于是积分是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成，于是这个积分就写成了.

当在上变动时，对应于每一个值,积分就有一个确定的值，因此是变上限的一个函数，记作=（ ≤≤）通常称函数为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.

定理1  如果函数在区间上连续，则变上限积分=在上可导，且其导数是  （ ≤≤）.

推论  连续函数的原函数一定存在.且函数=即为其原函数.

例1 计算=在=0,处的导数.

解   因为=,故

 ；.

例2 求下列函数的导数：

（1）；

解 这里是的复合函数，其中中间变量，所以按复合函数求导法则，有.

（2）.

解 .

二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式

定理2 设函数在闭区间上连续，又是的任一个原函数，则有.

证 由定理1知，变上限积分也是的一个原函数，于是知,  为一常数,即.

我们来确定常数的值，为此，令，有，得.

因此有.

再令，得所求积分为.

因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得 

其中.

上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：

.

例1  求定积分：

（1）；

（2）；（3）.

解

（1）.

（2）.

（3）在上写成分段函数的形式

于是.

例2 计算.

解  因为时,,故本题属 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里是的复合函数,其中,所以

 ,于是有                                          .

思考题

1.若，

2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数在积分区间上连续.问当在区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？

并计算

 其中