全国初中数学联赛竞赛卷.docx
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全国初中数学联赛竞赛卷
2011年全国初中数学联赛七年级试卷
一、选择题(每小题5分,共40分)本大题共8小题,每小题均给出四个正确选项,其中只有一个正确选项,请将正确选项的代号填在下表的指定位置.
1.若有理数a、b满足条件:
a+b>a﹣b,那么( )
A.a、b同号B.a、b异号C.a>0D.b>0
2.大于﹣π并且不是自然数的整数有( )
A.2个B.3个C.4个D.无数个
3.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )
A.一样多B.多了C.少了D.多少都可能
4.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将( )
A.增多B.减少C.不变D.增多、减少都有可能
5.如图,A、B、C、D、E是数轴上的5个点,且AB=BC=CD=DE,则与点D所表示的数最接近的整数是( )
A.1506B.1507C.1508D.1509
6.当x=﹣1时,代数式2ax3﹣3bx+8的值为18,那么,代数式9b﹣6a+2=( )
A.28B.﹣28C.32D.﹣32
7.如图所示,S△ABC=1,若S△BDE=S△DEC=S△ACE,则S△ADE=( )
A.
B.
C.
D.
8.有一份选择题试卷共6道小题,一道小题答对得8分,答错得0分,不答得2分,某同学共得了20分,那么他答卷情况是( )
A.至多答对1题B.至少答对3题C.至少有3题没答D.答错2题
二、填空题(每小题5分,共40分)本大题共8小题,请将答案直接填在题中横线上.
9.现在是4点5分,再过 _________ 分钟,分针和时针第一次重合.
10.含盐30%的盐水有60千克,放在秤上蒸发,当盐水变为含盐40%时,秤得盐水的重是 _________ 克.
11.在计算一个正整数乘以
的运算时,某同学误将
错写为3.57,结果与正确答案相差14,则正确的乘积是 _________ .
12.如图,O为圆心,半径OA=OB=r,∠AOB=90°,点M在OB上,OM=2MB,用r的式子表示阴影部分的面积是 _________ .
13.如图,给出的乘法竖式中,四个方块盖住的四个数字之和的最大值是 _________ .
14.若丨x﹣y+3丨与丨x+y﹣1995丨互为相反数,则
的值是 _________ .
15.计算:
= _________ .
16.若a、b、c为整数,且|a﹣b|19+|c﹣a|95=1,则|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|= _________ .
三、解答题(每小题20分,共40分)本大题共有2个小题,要有科学简洁的表述过程.
17.如图中有四个面积相同的圆,每个圆的面积都记为S,∠ABC的两边分别经过圆心O1、O2、O3和O4,四个圆盖的面积为
5(S﹣1),∠ABC内部被圆盖住的面积为8,阴影部分的面积为S1、S2、S3满足关系式:
.求S的值.
18.A,B,C三支球队进行足球循环比赛,第一阶段的比赛情况有些记录见下表:
球队名
比赛场次
胜场
平场
负场
进球数
失球数
A
2
2
_________
_________
_________
1
B
2
_________
1
_________
2
4
C
2
_________
_________
_________
3
7
(1)请完成上表;
(2)求A,B两支球队比赛时,A队的进球数与B队的进球数之比;
(3)求B,C两支球队比赛时,B队的进球数与C队的进球数之比;A,C两支球队比赛时,A队的进球数与C队的进球数之比;
(4)设计一种表格,反映第一阶段A,B,C三支球队的比分,并排出相应的名次.
2011年全国初中数学联赛七年级试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共40分)本大题共8小题,每小题均给出四个正确选项,其中只有一个正确选项,请将正确选项的代号填在下表的指定位置.
1.若有理数a、b满足条件:
a+b>a﹣b,那么( )
A.a、b同号B.a、b异号C.a>0D.b>0
考点:
不等式的性质。
专题:
探究型。
分析:
先根据不等式的基本性质1在不等式的两边同时减去a得到b>﹣b,再在不等式的两边同时加上b即可得出结论.
解答:
解:
在不等式的两边同时减去a得,b>﹣b;
在不等式b>﹣b的两边同时加上b得,2b>0,
故b>0.
故选D.
点评:
本题考查的是不等式的基本性质1,即不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变.
2.大于﹣π并且不是自然数的整数有( )
A.2个B.3个C.4个D.无数个、
考点:
实数大小比较;有理数。
专题:
数形结合。
分析:
大于﹣π并且不是自然数的整数,就是数轴上在﹣π的右边,0的左边的点,表示的整数.
解答:
解:
在数轴上容易看出:
在﹣π右边0的左边(包括0在内)的整数只有﹣3,﹣2,﹣1共3个.
故选B.
点评:
本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小关系,右边的数总是大于左边的数,正确理解自然数的定义是解决本题的关键.
3.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )
A.一样多B.多了C.少了D.多少都可能
考点:
列代数式。
分析:
第三天杯中的水量=第一天的水量×(1﹣10%)×(1+10%),与第一天的水量比较即可.
解答:
解:
设杯中原有水量为a,依题意可得,
第二天杯中水量为a×(1﹣10%)=0.9a;
第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a=0.99a;
0.99a<a.
所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了.
故选C.
点评:
易错点是得到第一天的水量为单位1;关键是得到第三天水量的等量关系.
4.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将( )
A.增多B.减少C.不变D.增多、减少都有可能
考点:
分式的加减法。
专题:
综合题。
分析:
分别计算出水流速度增大前后往返一次所用的时间,再用求差法比较大小即可.
解答:
解:
设两码头之间距离为s,船在静水中速度为a,水速为v0,则往返一次所用时间为t0=
+
,
设河水速度增大后为v,(v>v0)则往返一次所用时间为t=
+
.
∴t0﹣t=
+
﹣
﹣
=s[(
﹣
)+(
﹣
)]
=s[
+
]
=s(v﹣v0)[
﹣
]
由于v﹣v0>0,a+v0>a﹣v0,a+v>a﹣v
所以(a+v0)(a+v)>(a﹣v0)(a﹣v)
∴
<
,即
﹣
<0,
∴t0﹣t<0,即t0<t,
因此河水速增大所用时间将增多.
故选A.
点评:
本题是一道综合题,难度较大,考查了分式的加减法和比较两个数大小的一种方法,求差法.
5.如图,A、B、C、D、E是数轴上的5个点,且AB=BC=CD=DE,则与点D所表示的数最接近的整数是( )
A.1506B.1507C.1508D.1509
考点:
数轴;有理数的加法。
专题:
计算题。
分析:
根据数轴上的数据求出AE的长度,从而得到DE的长度,再求出点D表示的数,从而即可得解.
解答:
解:
根据题意,AE=2011﹣(﹣4)=2011+4=2015,
∵AB=BC=CD=DE,
∴DE=
×2015=503
,
2011﹣503
=1507
,
∴与点D所表示的数最接近的整数1507.
故选B.
点评:
本题考查了数轴与有理数的加法运算,求出点D表示的数是解题的关键.
6.当x=﹣1时,代数式2ax3﹣3bx+8的值为18,那么,代数式9b﹣6a+2=( )
A.28B.﹣28C.32D.﹣32
考点:
代数式求值。
专题:
计算题;整体思想。
分析:
本题关键是求出﹣2a+3b的值,要求﹣2a+3b的值只需将x=﹣1代入代数式2ax3﹣3bx+8就行了,然后代数式9b﹣6a+2进行化简整理,便可求出结果.
解答:
解:
∵当x=﹣1时,代数式2ax3﹣3bx+8的值为18,
∴﹣2a+3b+8=18,
∴﹣2a+3b=10,
则9b﹣6a+2,
=3(﹣2a+3b)+2,
=3×10+2,
=32,
故选C.
点评:
此题主要考查代数式求值,题中需要运用整体代入的思想,是一道比较基础的题目,要认真掌握,并确保得分.
7.如图所示,S△ABC=1,若S△BDE=S△DEC=S△ACE,则S△ADE=( )
A.
B.
C.
D.
考点:
三角形的面积。
专题:
证明题。
分析:
由于S△BDE=S△DEC,利用两个三角形的高相等,那么底就相等,可得BD=DC,同理,由于S△BDE=S△DEC=S△ACE,可得S△BCE=2S△ACE,从而有
,利用等量代换可求△ADE面积.
解答:
解:
∵S△BDE=S△DEC,
∴BD=DC,
∵S△BDE=S△DEC=S△ACE,
∴S△BCE=2S△ACE,
∴BE=2AE,
∴
,
∴
.
故选B.
点评:
本题考查了三角形是面积公式.注意同底等高的三角形面积相等,面积相等、同高的三角形底相等.
8.有一份选择题试卷共6道小题,一道小题答对得8分,答错得0分,不答得2分,某同学共得了20分,那么他答卷情况是( )
A.至多答对1题B.至少答对3题C.至少有3题没答D.答错2题
考点:
二元一次方程的应用。
专题:
应用题。
分析:
假设答对x题,答错的有y题,不答的有z题.
依题意得
,满足6≥x≥0,6≥y≥0,6≥z≥0,且都为整数
分x=0时;x=1时;x=2时三种情况讨论.
解答:
解:
设答对x题,答错的有y题,不答的有z题.
依题意得:
,
满足且6≥x≥0,6≥y≥0,6≥z≥0都为整数,
当x=0时,z=10,不合题意舍去;
当x=1时,z=3,y=6,不合题意舍去;
当x=2时,z=2,y=2.
故选D.
点评:
本题考查了三元一次方程组的知识,解答此题的关键是列出方程组,就x的取值讨论得到方程组的解,难度较大.
二、填空题(每小题5分,共40分)本大题共8小题,请将答案直接填在题中横线上.
9.现在是4点5分,再过 16
分钟,分针和时针第一次重合.
考点:
一元一次方程的应用。
专题:
行程问题。
分析:
4点5分时,时针和分针成90°+0.5°×5,时针每分走0.5度,分针每分走6度.
等量关系为:
0.5×时针走的时间+90°+0.5°×5=6×分针走的时间,把相关数值代入求解即可.
解答:
解:
假设过x分时,分针与时针重合,则
0.5x+90°+0.5°×5=6x,
解得x=16
.
故答案为:
16
.
点评:
考查一元一次方程的应用,得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键.
10.含盐30%的盐水有60千克,放在秤上蒸发,当盐水变为含盐40%时,秤得盐水的重是 45000 克.
考点:
一元一次方程的应用。
专题:
应用题;方程思想。
分析:
从“含盐30%的盐水60千克”中可知60千克盐水中的盐为30%×60=18(千克),按浓度公式列方程求解即可.
解答:
解:
食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%(千克).
设蒸发变成含盐为40%的盐水重x千克,则
60×30%=x×40%
解得:
x=45
45千克=45000克.
故答案为:
45000.
点评:
此题考查了一元一次方程的应用.应注意要先算出60千克水中的溶质,再利用浓度公式进行计算.注意单位的一致性.
11.在计算一个正整数乘以
的运算时,某同学误将
错写为3.57,结果与正确答案相差14,则正确的乘积是 6440 .
考点:
一元一次方程的应用。
专题:
计算题。
分析:
此题利用的数量关系式是:
正确结果﹣错误结果=14,设出这个正整数,列出方程解答即可.
解答:
解:
=3
,设这个正整数为x,根据题意列方程得,
x﹣3.57x=14
解得x=1800;
所以,正确的乘积是
×1800=
×1800=6440.
故答案为:
6440.
点评:
此题考查循环小数化为分数,以及基本的数量关系正确结果﹣错误结果=14.
12.如图,O为圆心,半径OA=OB=r,∠AOB=90°,点M在OB上,OM=2MB,用r的式子表示阴影部分的面积是
+
r2 .
考点:
扇形面积的计算;列代数式。
专题:
几何图形问题。
分析:
阴影部分的面积=圆心角为270°的扇形的面积+△AOM的面积,把相关数值代入即可求解.
解答:
解:
阴影部分的面积=
+
×r×
r=
+
r2.
点评:
关键是得到阴影部分的面积的等量关系,易错点是得到OM的长.
13.如图,给出的乘法竖式中,四个方块盖住的四个数字之和的最大值是 24 .
考点:
整数问题的综合运用。
分析:
首先设四个方块中所有数字为a,b,c,d,然后由乘积是两位数,断定a是1,由乘数为5,确定d=0或5,可知d的最大值是5,又由b≤9,c≥d,即可确定a,b,c,d的最大值,然后检验其正确性,即可求得四个方块盖住的四个数字之和的最大值.
解答:
解:
设四个方块中所有数字为a,b,c,d,
即:
,
因为乘积是两位数,所以断定a=1.
又∵乘数为5,
∴d=0或5,即d的最大值是5,
又∵b≤9,c≥d,
∴a+b+c+d≤1+9+9+5=24,
而事实上:
当a=1,b=c=9,d=5时,19×5=95,
∴表明24是可达到的.
∴四个方块盖住的四个数字之和的最大值是24.
故答案为:
24.
点评:
此题考查了整数问题的综合应用.此题难度较大,解题的关键是根据乘法的知识,确定a与d的值,还要注意检验.
14.若丨x﹣y+3丨与丨x+y﹣1995丨互为相反数,则
的值是 ﹣998 .
考点:
非负数的性质:
绝对值。
专题:
计算题。
分析:
根据互为相反数两数和为0可得丨x﹣y+3丨+丨x+y﹣1995丨=0,再根据非负数的性质可得出关于x和y的方程组,解出可得x和y的值,代入可得出答案.
解答:
解:
由题意得:
丨x﹣y+3丨+丨x+y﹣1995丨=0,
又丨x﹣y+3丨≥0,丨x+y﹣1995丨≥0,
∴可得:
丨x﹣y+3丨=0,丨x+y﹣1995丨=0,
即得:
,解得:
,
∴
=﹣998.
故填﹣998.
点评:
本题考查绝对值的性质,难度不大,关键是得出两绝对值都等于0.
15.计算:
= 154 .
考点:
有理数的乘法。
专题:
计算题。
分析:
把2×3×4×5看作整体,再由乘法的分配律进行计算即可.
解答:
解:
(2×3×4×5)(
),
=3×4×5+2×4×5+2×3×5+2×3×4,
=60+40+30+24,
=154.
故答案为154.
点评:
本题考查了有理数的乘法继承法的分配律.
16.若a、b、c为整数,且|a﹣b|19+|c﹣a|95=1,则|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|= 2 .
考点:
代数式求值。
分析:
由|a﹣b|19+|c﹣a|95=1,则|a﹣b|=0,|c﹣a|=1,|c﹣b|=1或|c﹣a|=0,|a﹣b|=1,|c﹣b|=1,则|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|即可求出.
解答:
解:
由于a、b、c为整数,且|a﹣b|19+|c﹣a|95=1,
则|a﹣b|=0,|c﹣a|=1,|c﹣b|=1或|c﹣a|=0,|a﹣b|=1,|c﹣b|=1,
故|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|=2.
点评:
本题考查了代数式求值,重点是找出a、b、c的关系进行求值.
三、解答题(每小题20分,共40分)本大题共有2个小题,要有科学简洁的表述过程.
17.如图中有四个面积相同的圆,每个圆的面积都记为S,∠ABC的两边分别经过圆心O1、O2、O3和O4,四个圆盖的面积为
5(S﹣1),∠ABC内部被圆盖住的面积为8,阴影部分的面积为S1、S2、S3满足关系式:
.求S的值.
考点:
相交两圆的性质;扇形面积的计算。
专题:
计算题。
分析:
求出S1=S2=3S3,根据已知得出等式S+S﹣S1+S﹣S2﹣S3+S=5(S﹣1),
+
﹣
+
﹣S2+
﹣
=8,整理后得出关于S和S3的方程组,求出方程组的解即可.
解答:
解:
∵
,
∴S1=S2=3S3,①
∵四个圆盖的面积为5(S﹣1),
∴S+S﹣S1+S﹣S2﹣S3+S=5(S﹣1),
把①代入整理得:
S+7S3=5②,
∵∠ABC内部被圆盖住的面积为8,
根据相交两圆的性质得:
+
﹣
+
﹣S2+
﹣
=8,
把①代入整理得:
2S﹣5S3=8③,
解方程组
,
②×5+③×7得:
19S=81,
∴S=
.
点评:
本题考查了相交两圆的性质的应用,关键是根据题意得出方程②③,主要培养学生的理解能力和观察图形能力,题目较好,但有一定的难度.
18.A,B,C三支球队进行足球循环比赛,第一阶段的比赛情况有些记录见下表:
球队名
比赛场次
胜场
平场
负场
进球数
失球数
A
2
2
0
0
7
1
B
2
0
1
1
2
4
C
2
0
1
1
3
7
(1)请完成上表;
(2)求A,B两支球队比赛时,A队的进球数与B队的进球数之比;
(3)求B,C两支球队比赛时,B队的进球数与C队的进球数之比;A,C两支球队比赛时,A队的进球数与C队的进球数之比;
(4)设计一种表格,反映第一阶段A,B,C三支球队的比分,并排出相应的名次.
考点:
一元一次方程的应用;统计表。
分析:
(1)根据图表得出A与B比赛时,可以看出A胜了2场的时候,B,C就胜了0场,由B平一场一定是与C队平,进而得出B,C负的场数,再利用进球与失球总数相等,即可得出答案;
(2)设A,B两队比赛时,A队进球数为x个,B队进球数为y个,则A,C两队比赛时,C队进球数为(1﹣y)个,B,C两队比赛时,C队进球数为(4﹣x)个,
由此可以得出A与B的比是多少,即可求出答案.
(3)根据C队的进球数分两种情况:
1﹣y=1,4﹣x=2,B队的进球数分两种情况:
y=0,y=2,A队的进球数分两种情况:
x=2,x=5,再利用两队之间胜负关系即可得出比分;
(4)利用
(2)(3)所求得出所有比分即可.
解答:
解:
(1)如表所示:
球队名
比赛场次
胜场
平场
负场
进球数
失球数
A
2
2
0
0
7
1
B
2
0
1
1
2
4
C
2
0
1
1
3
7
(2)设A,B两队比赛时,A队进球数为x个,B队进球数为y个,
则A,C两队比赛时,C队进球数为(1﹣y)个,B,C两队比赛时,C队进球数为(4﹣x)个,
则1﹣y+4﹣x=3,∴x+y=2,
∵A,B两队比赛时,A队胜,
∴x>y,又x,y均为非负整数,因此x=2,y=0,
∴x:
y=2:
0;
(3)C队的进球数分两种情况:
1﹣y=1,4﹣x=2,B队的进球数分两种情况:
y=0,y=2,
A队的进球数分两种情况:
x=2,x=5,
∴B,C比赛时,∵B,C是平局,∴
=
,
A,C比赛时,A队胜,∴
=
=5:
1.
(4)利用
(2)(3)中所求进而得出其他比分;
客队
比分
主队
A
B
C
名次
A
2:
0
5:
1
1
B
0:
2
2:
2
2
C
1:
5
2:
2
3
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