人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 12 应用举例》17.docx
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人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 12 应用举例》17.docx
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人教B版高中数学必修五《第一章解三角形12应用举例》17
《利用正弦、余弦定理解三角形的实际应用》教学设计
一、教学内容分析:
利用正弦、余弦定理解三角形的实际应用是中学数学教学中的重要组成部分,是高考的必考内容。
从知识的网络结构上看,它是三角公式及变换的延续和应用,也是正弦定理、余弦定理的运用和拓展。
正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
利用正弦、余弦定理建立数学模型解决生活中的实际测量距离的问题,学生通过应用所学的数学知识与方法分析、解决生活中的实际问题,深刻体会到数学的应用价值,这个过程可促进学生发展“数学建模”的核心素养。
二、学情分析:
高三学生有一定数学基础,学习的主动性较强,学习目的明确。
但是学习数学的自信心不足,缺乏学习数学严谨性和数学钻研精神。
因此在备课过程中注意难度的把握,由易到难,循序渐进,多鼓励学生,增强学生学习数学的自信心,激励学生勇于迎接挑战,不断挖掘潜力,最大限度提高学生的学习数学的获得感。
通过引导学生探究学习利用正弦、余弦定理解三角形的数学模型的简单应用,教会学生独立思考、大胆探索、观察找规律和灵活运用逻辑推理、归纳总结等数学思想的学习方法。
三、教学目标:
提升学生数学核心素养:
逻辑推理:
学生通过例题探究、真题体验,归纳出解三角形应用题的一般步骤,让学生养成一般性思考问题的习惯。
数学建模:
把现实测量距离问题转化解三角形的数学问题,用数学语言表达实际问题、用数学知识与方法构建模型解决实际中测量距离问题。
数学运算:
在解三角形应用题过程中,培养学生的运算能力,通过运算促进学生思维的发展,形成严谨求学的科学思维。
四、教学重点、难点
1、教学重点:
利用正弦、余弦定理解决实际测量距离的问题及三角形的应用题
2、教学难点:
利用正弦、余弦定理解三角形建立数学模型。
五、教学方法:
教法:
启发式、问题探究式,
学法:
观察法,合作探究法
六、教学用具:
多媒体、黑板、PPT
七、教学过程:
(一)课前预习·自我探究
1、课前活动:
你能应用三角函数的知识,用测角仪和皮尺等测量工具测量出旗杆的高度吗?
【学生活动】课前自主完成,课上学生分组讨论,合作交流,让一个小组代表上台讲解测量的方法。
【教师活动】课前给学生提供资料,课上引导学生分组合作交流,讲评时强调要注意实际测量一些事项。
【设计意图】通过让学生应用数学知识解决生活中实际问题,初步体验建立几何模型的过程,激发学生“数学建模”的思维,为之后利用正弦、余弦定理解三角形的数学模型的简单应用做好思维的准备。
2、上网搜索查询“数学建模”的概念
建立几何模型
几何与人类生活和实际需要密切相关,诸如航海,建筑,
测量,工程定位,裁剪方案,道路拱桥设计等涉及一定图形
性质时,常需建立“几何模型”,把实际问题转化为几何加以
解决。
(二)复习引入·巩固旧知
知识回顾:
正弦定理:
正弦定理的应用范围:
1、已知两角和任意边,求其他两边和一角
2、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角。
(注意解的情况)
余弦定理:
,
,
公式变形:
,
,
余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题:
1、已知三边求三个角;
2、已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。
【教师活动】教师以设问启发和引导学生回顾正弦、余弦定理及相关应用知识点。
【学生活动】学生在教师引导下复习回顾,得出答案。
【设计意图】通过回顾知识,使知识得到联系,培养学生建立知识网络的学习习惯。
为利用正弦、余弦定理解三角形的数学模型的简单应用探究学习做好知识的准备。
(三)【小组合作·成果展示1】
例1:
设A、B两点在一座山的两侧,应用余弦定理,用测角仪和皮尺设计一种测量A、B两点间的距离的方法.
小结1:
测量距离的第一类型:
两点间不可达又不可视
【小组合作·成果展示2】
例2:
设A、B两点在河的两岸,应用正弦定理,用测角仪和皮尺设计一种测量A、B两点间的距离的方法.
小结2:
测量距离的第二类型:
两点间可视但不可达
【教师活动】首先教师巡堂,观察小组成员间交流讨论,然后对于小组代表讲解的方法进行点评,最后引导学生进行总结。
【学生活动】小组成员间进行相互讨论,彼此分享课前探究出的结果,其中一个小组代表上讲台讲解,在教师的引导下对这两种测量距离方法进行总结。
【设计意图】通过小组合作交流,激发学生调动学生的主动性和创造性,使学生完成角色的改变,从“要我学”变成“我要学”;从而真正让学生实现知识的自我反馈。
小组代表上台讲解,把主动权交给学生,让学生成为一个“教师”。
这不仅可以培养学生语言表达能力,而且可以激发学生“数学成就感”。
最后师生一起总结,及时的总结学生可以加强新知识的掌握。
小组合作,成功展示更好让学生体会数学的应用价值,提升学生“数学建模”的核心素养。
(四)例题探究,提炼方法
例3.如图,隔河看两个目标A与B,但不能到达,在岸边先选取
相距
的C,D两点,同时测得
(
在同一平面内),求两个目标A,B之间的距离.
小结3:
测量距离的第三类型:
两点都不可达
【教师活动】教师课堂巡视,个别辅导,让学生代表上台板演解题过程,教师进行点评,同时引导学生进行一题多解。
【学生活动】首先独立探究,然后小组讨论交流,最后学生代表上台板演解题过程。
【设计意图】首先让学生进行自主探究,从而提高学生分析、解决问题的能力,再次让学生体验应用数学解决问题的喜悦。
然后小组成员彼此分享解题的思路,这可以促进生生间团队合作交流的情感。
同时通过小组代表板书并不断规范解题过程既调动了学生学习的积极性,又树立了学生们竞争向上的进步意识,充分激发学生的学习潜力。
(五)规律方法·反思提升
(1)测量距离问题分为三种类型:
两点间不可达又不可视,
两点间可视但不可达,
两点都不可达
(2)解法:
选择合适的辅助测量点,构造三角形;
将问题转化为求某个三角形的边长问题;
从而利用正、余弦定理求解。
【教师活动】引导学生进行总结。
【学生活动】学生仔细观察、思考。
【设计意图】在课堂内及时总结,有利于学生系统掌握所学内容,对数学思想方法的升华,对数学思维的反思,可为学生以后解决问题提供经验和教训,培养学生良好的学习习惯,增强学习数学的信心。
(六)真题体验,能力提升
(2013江苏卷理18)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,
.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
【教师活动】教师在巡堂过程中应关注学生解题情况,给予适当的指导,提问小组代表,然后教师进行书写详细解题过程。
【学生活动】学生思考、小组成员合作交流。
【设计意图】体验真题,身临高考,激情学生学习的热情。
综合性的真题对学生而言,既巩固新知,又具有挑战性,更能激发学生积极性。
培养学生将实际问题抽象为数学问题,从实际问题关系中找出体会建模最关键的数量关系,将此关系用有关的量及数字符号表示出来,体会建模过程。
同时,学生向同学分享自己的解题思路,让学生体验学习数学的成就感,还可训练其对数学问题的分析和表达能力,培养其数学核心素养。
(七)课堂小结·巩固新知
解三角形应用题的一般步骤
(1)分析:
理解题意,分清已知与未知,画出示意图。
(2)建模:
根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学建模。
(3)求解:
利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形,求解数学模型的解
(4)检验:
检验上述所求的三角形是否具有实际意义,从而得出实际问题的解
【教师活动】教师通过提问,引导学生回忆,并对本本节课进行总结和归纳
【学生活动】学生归纳并做笔记
【设计意图】总结是一堂课内容的概括,有利于学生系统地掌握所学内容。
(八)课后探索,活动探究
书写作业:
必做题:
基础达标
选做题:
能力提升第5题
实践活动:
运用本课所学知识解决生活中测量距离的实际问题
【教师活动】教师布置课堂作业
【学生活动】学生认真记录
【设计意图】设计这样的弹性作业,让不同的学生在数学上得到不同发展,课后实践活动让学生学以致用。
教学反思
著名的数学教育家华罗庚教授认为教学的成功与否,不仅在于接受知识的多少,而更重要的是在于能把知识应用于实际,数学的重要性在于它的应用性,如果把数学和它的实际应用割裂开来,就数学而谈数学,那就毫无意义。
基于此教学理念,本节课以提升学生的“数学建模”核心素养为主要目标。
通过以小组合作的形式探究学习利用正弦、余弦定理建立数学模型解决生活中的实际测量距离的问题。
通过应用数学知识设计出可行的测量距离的方案,让学生深刻体会数学的应用价值,培养学生学会用数学的目光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语音表达世界。
整个教学设计中,特别注重以下几个方面:
(1)注重以教师为主导,学生为主体的启发性教学方式。
(2)注重学生的学习亲身体验,让学生主动参与知识发生、发展过程,让更多的学生在讲台前展示自己,使得学生成为真正意义上的学习主人。
(3)注重提升学生的数学核心素养素养,主要是培养数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学运算等能力。
(4)注重教学中因材施教,尽量做到让不同的学生得到不同的发展,不同层次的学生得到不同的收获。
(5)注重师生间、生生间互动,合作交流,让每个同学都有思考的时间、发言的机会,让课堂四十分钟真正成为学生参与的天地,共同成长,共同感受学习数学的魅力。
本节课施教过程中,基本完成设计构思,教学效果良好,但
存在些不足之处:
因为在探究学习例3时给学生自主学习时间有点多,所以导致前紧后松,在最后高考真题给学生思考的时间不够,讲解速度过快。
在之后的教学中,教学过程时间的分配我会做到更加细致、合理。
每次的教学反思,都让我渴望更大的进步,设计出更好的课堂教学,让学生深深喜欢上上数学课。
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