数学题九宫空格里填数.docx
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数学题九宫空格里填数
数学题:
九宫空格里填数
最近辅导儿子学习是遇到了九宫空格里填数的数学题:
九宫空格里填数,无论横竖斜(行、列、斜行)相加,三个数的和都相等.
九宫格填数古代就有了,要诀就是:
“九宫者,戴九履一、左三右七、二四为肩、八六为足、五十居中。
”
就是说个位数字为“1、2、3、4、5、6、7、8、9”的九个数字分成三行,九、一分别在第一行和第三行的中央,七、三分别在中间行的左边和右边,二、四分别在第一行的左边和右边,六、八分别在第三行的左右两边。
五在正中。
中间格的的数字可以用和值三等分(和值除以3)来确定
转帖一个四年级奥数解析技巧
【原创】四年级奥数解析(二十八)巧填幻方
转载自:
《奥赛天天练》第25讲《巧填幻方》。
概念:
如果一个n?
n
矩阵(教材中表现为方格图)的每行,每列及两条对角线的元素之和都相等,且这些元素都是从1到n?
n
的自然数,这样的矩阵就称为n阶幻方。
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年,这是一类形式独特的填数字问题。
本讲主要介绍比较简单的三阶幻方的填写,三阶幻方就是n=3时的幻方。
三阶幻方的填法:
三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书”
,在北周的甄弯注《数术记遗》一书中记有三阶幻方的填法:
九宫者,二四为肩,六八为足,左七右三,戴九履一,五居中央。
三阶幻方的构造方法:
我国南宋时期杰出的数学家杨辉,是最早系统研究幻方的数学家。
他曾将幻方命名为“纵横图”
(三阶幻方也叫络书或九宫图),
并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明,四阶以上幻方,杨辉只画出图形而未留下作法。
但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。
杨辉在在《续古摘奇算法》中,总结出了三阶幻方构造的方法:
“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出。
”意思是:
先把l~9九个数依次斜排(如下图一),再把上l下9两数对调(如下图二),左7右3两数对调(如下图三),最后把四面的2、4、6、8向外面挺出(如下图四),这样就构造了一个三阶幻方。
1
9
9
4
2
4
2
4
2
4
9
2
7
5
3
3
5
7
3
5
7
3
5
7
8
6
8
6
8
6
8
1
6
9
1
1
图一
图二
图三
图四
三阶幻方的填法不是唯一的,矩阵的第一行与第三行对调,或第一列与第三列对调,可以得出4种填法,将其中的任意一种填法旋转90?
,又可以得到另外的4种填法。
例如,将上面图四的第一列与第三列对调,就可以得出前面口诀中的填法。
三阶幻方的构造原理:
通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和,幻方正中心的那个数叫做中心数,中心数也就是这9个数的中位数。
从1到9这9个数的和为:
1+2+3+…8+9=45;则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为:
45?
3=15。
在1到9这9个数中,和为15的3个数,只能是:
9+5+1、9+4+2、8+6+1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。
因此每行、每列、每条对角线上3个数只能是其中某个算式中的3个数。
仔细分析九宫格,经过中心数的有一行、一列和两条对角线,即这个数必须在4个不同的算式中出现,在上面的算式中只有5符合要求。
同理,经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线,即四个角上的数字必须同时在3个不同的算式中出现,只有2、4、6、8符合要求。
先填好中心数和四个角上数字,再完成其它填空,就完成幻方填写了。
幻方不仅是有趣的数学游戏,而且有很重要的实用价值,应用前景广泛,相关介绍请查阅
在教学时,可引导孩子发现三阶幻方中数字有趣的排列顺序,如四个偶数在四角,从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等;让孩子在了解构造方法的基础上熟记简单三阶幻方的填法口诀,填写三阶幻方的9个数,不论如何变化,只要将它们按大小的顺序排列编号,均可按口诀“对号入座”完成填空;理解并掌握幻方中的两个公式:
幻和=中心数?
3;幻和=总数?
3,可以在已知幻和的情况下,先求出中心数,或在已知中心数的情况下,先求出幻和,以便继续求出其它的数;让孩子初步了解幻方的构造原理,这种推理方法在学习其它问题时可以迁移使用。
《奥赛天天练》第25讲,模仿训练,练习2
【题目】:
将下面左边方格中的9个数填入右边幻方中,使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等。
【解析】:
解法一:
把这九个数按从小到大的顺序依次编号,1、2、3号为“6”,4、5、6号为“8”,7、8、9号为“10”。
按口诀:
九宫者,二四为肩,六八为足,左七右三,戴九履一,五居中央。
对号入座,如下图可以填好表格。
解法二:
这个三阶幻方的幻和为:
10+8+6=24;中心数为:
24?
3=8。
如上图:
首先可以填好中心数8。
因为幻和为24,任意行列如果有2个6,3个数的和必定小于24,所以任意行列不可能有2个6,根据这点,第二步可以确定3个6的位置,保证任意2个6不同行不同列,不在同一条对角线上。
第三步根据已填好的四个数,及幻和为24,可以完成余下的填空。
《奥赛天天练》第25讲,巩固训练,习题1
【题目】:
将9个连续自然数填入3?
3的方格内,使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60。
【解析】:
由已知条件可知,这个幻方,幻和为60,中心数为:
60?
3=20。
所以这9个连续的自然数为:
16、17、18、19、20、21、22、23、24。
把这九个数按从小到大的顺序依次编号,按口诀对号入座,可完成表格。
如下图:
《奥赛天天练》第25讲,巩固训练,习题2
【题目】:
下图中,要使每一行,每一列,两条对角线上三个数的和都是27,A,B,C,D,E,F,G应各是多少?
【解析】:
由题意可知,幻和为27,中心数为:
27?
3=9,所以C等于9。
填好中心数后,根据幻和,可以用蚕食的方法依次求出其它方格里的数:
D=
27-6-9=12;G=27-5-12=10;A=27-10-9=8;B=27-8-5=14;E=27-6-8=13;F=27-9-14=4。
答案图略。
《奥赛天天练》第25讲,拓展提高,习题1
【题目】:
在下面一个三阶幻方中已填入了一个数,请在其它8个空格内填上适当的数,使得9个方格内是9个连续自然数。
【解析】:
由已知条件可知,这个幻方的中心数为12。
所以这9个连续的自然数为:
8、9、10、11、12、13、14、15、16。
把这九个数按从小到大的顺序依次编号,按口诀对号入座,可完成表格。
如下图:
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