高考数学二轮复习 专题19 不等式选讲讲学案 理.docx
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高考数学二轮复习专题19不等式选讲讲学案理
专题19不等式选讲
预测2017年对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主,解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流,并配以不等式的证明和函数图象的考查.
一、含有绝对值不等式的解法
1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的值解出即可.
(2)若c<0,则|ax+b|≤c的解集为∅,|ax+b|≥c的解集为R.
2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根;
②将这些根按从小到大排列,把实数集分为若干个区间;
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集;
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|
3.|f(x)|>g(x),|f(x)|
(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).
(2)|f(x)| 二、不等式的证明 1.证明不等式的常用结论 (1)绝对值的三角不等式 定理1: 若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0,等号成立. 定理2: 设a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 推论1: ||a|-|b||≤|a+b|. 推论2: ||a|-|b||≤|a-b|. (2)三个正数的算术—几何平均不等式: 如果a,b,c∈R+,那么≥,当且仅当a=b=c时等号成立. (3)基本不等式(基本不等式的推广): 对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均值不小于它们的几何平均值,即≥,并且仅当a1=a2=…=an时等号成立. (4)一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)·(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,并且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 2.证明不等式的常用方法 (1)比较法 一般步骤: 作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以判断其正负. (2)综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法. (3)分析法 证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法. (4)反证法和放缩法 ①先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法叫作反证法. ②证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法叫作放缩法. 考点一 解绝对值不等式 例1.【2017课标3,文23】已知函数=│x+1│–│x–2│. (1)求不等式≥1的解集; (2)若不等式≥x2–x+m的解集非空,求实数m的取值范围. 【答案】 (1); (2) 【变式探究】【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分),选修4—5: 不等式选讲 已知函数. (I)在答题卡第(24)题图中画出的图像; (II)求不等式的解集. 【答案】(I)见解析(II) (2015·重庆,16)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=________. 【答案】4或-6 【解析】由绝对值的性质知f(x)的最小值在x=-1或x=a时取得,若f(-1)=2|-1-a|=5,a=或a=-,经检验均不合适;若f(a)=5,则|x+1|=5,a=4或a=-6,经检验合题意,因此a=4或a=-6. 【变式探究】不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为________. 【答案】{x|x≤-3或x≥2} 考点二 不等式的证明 例2.【2017课标II,文23】已知。 证明: (1); (2)。 【答案】 (1)证明略; (2)证明略。 【解析】 解: (2)因为 所以,因此 【变式探究】【2016高考新课标2文数】选修4—5: 不等式选讲 已知函数,为不等式的解集. (Ⅰ)求; (Ⅱ)证明: 当时,. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析. 由 (1)得+>+. ②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2. 因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|. 综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A; (2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明: 若an 1.【2017课标1,文23】已知函数,. (1)当时,求不等式的解集; (2)若不等式的解集包含[–1,1],求的取值范围. 【答案】 (1); (2). 【解析】 (1)当时,不等式等价于.① 当时,①式化为,无解; 当时,①式化为,从而; 当时,①式化为,从而. 所以的解集为. (2)当时,. 所以的解集包含,等价于当时. 又在的最小值必为与之一,所以且,得. 所以的取值范围为. 2.【2017课标II,文23】已知。 证明: (1); (2)。 【答案】 (1)证明略; (2)证明略。 【解析】 3.【2017课标3,文23】已知函数=│x+1│–│x–2│. (1)求不等式≥1的解集; (2)若不等式≥x2–x+m的解集非空,求实数m的取值范围. 【答案】 (1); (2) 1.【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分),选修4—5: 不等式选讲 已知函数. (I)在答题卡第(24)题图中画出的图像; (II)求不等式的解集. 【答案】(I)见解析(II) 2.【2016高考新课标2文数】选修4—5: 不等式选讲 已知函数,为不等式的解集. (Ⅰ)求; (Ⅱ)证明: 当时,. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析. 3.【2016高考新课标3文数】选修4-5: 不等式选讲 已知函数. (I)当时,求不等式的解集; (II)设函数.当时,,求的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 (Ⅰ)当时,. 解不等式得. 因此的解集为. (Ⅱ)当时, , 当时等号成立,所以当时,等价于 .① 当时,①等价于,无解. 当时,①等价于,解得. 所以的取值范围是. 1.(2015·陕西,24)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数a,b的值; (2)求+的最大值. 2.(2015·新课标全国Ⅰ,24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 1.【2014高考安徽卷文第9题】若函数的最小值为3,则实数的值为() A.5或8B.或5C.或D.或8 【答案】D 【解析】由题意,①当时,即,,则当时,,解得或(舍);②当时,即,,则当时,,解得(舍)或;③当时,即,,此时,不满足题意,所以或,故选D. 2.【2014陕西高考文第15题】设,且,则的最小值为 【答案】 【解析】由柯西不等式得: ,所以,得 所以,故答案为。 3.【2014高考广东卷文第9题】不等式的解集为. 【答案】. 4.【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为,则________. 【答案】-3 【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根, 即,故填. 5.【2014江西高考文第11题】对任意,的最小值为() A.B.C.D. 【答案】C 6.【2014重庆高考文第16题】若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】令,其图象如下所示(图中的实线部分) 由图可知: 由题意得: ,解这得: 所以答案应填: 7.【2014高考福建文第21(3)题】已知定义在R上的函数的最小值为. (I)求的值; (II)若为正实数,且,求证: . 【答案】(I);(II)参考解析 (II)由(I)知,又因为是正数,所以 即. 9.【2014高考江苏第21题】已知,证明 【答案】证明见解析. 【解析】 ∵,∴,, ∴. 10.【2014高考江苏第21B题】已知矩阵,向量,是实数,若,求的值. 【答案】 【解析】 由题意得,解得.∴. 11.【2014高考辽宁文第24题】设函数,,记的解集为M,的解集为N. (Ⅰ)求M; (Ⅱ)当时,证明: . 【答案】 (1); (2)详见解析. 【解析】 故. 当时,,于是 . 12.【2014高考全国1第24题】若,且. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)是否存在,使得? 并说明理由. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)不存在. 【解析】(I)由,得,且当时取等号.故,且当时取等号.所以的最小值为. (II)由(I)知,.由于,从而不存在,使得. 13.【2014高考全国2第24题】设函数= (Ⅰ)证明: 2; (Ⅱ)若,求的取值范围. 【答案】 (1)见解析 (2) 【解析】 (1)证明: 由绝对值不等式的几何意义可知: ,当且仅当时,取等号,所 (2013·新课标I理)(24)(本小题满分10分)选修4—5: 不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设a>-1,且当x∈[-,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 【答案】 【解析】 (1)构造函数,作出函数图像,观察可知结论; (2)利用分离参数法进行求解. (2013·陕西理)A.(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值
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