课程名称高等数学I1.docx
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课程名称高等数学I1
课程名称:
高等数学I
(1)
课程编码:
7030921
课程学分:
8学分
课程学时:
128学时
适用专业:
理工类各专业分层教学中的A层
《高等数学I
(1)》
CalculusI
(1)
教学大纲
本大纲根据教育部考试中心发布的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》(数学一)制订而成。
编写本教学大纲的指导思想是:
通过本课程的学习,使A层学生清楚考研大纲的要求,基本达到考研水平。
一、课程性质与任务
《高等数学I
(1)》是对数学要求较高的理工类各专业学生的一门必修的重要公共基础理论课。
它一方面为学好后续数学课程和专业课程提供了必要的数学基础知识,另一方面着重培养和提高学生的科学素质,使学生在素质上实现由中学向大学的转变。
通过本课程的学习,要使学生掌握一元函数微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
培养学生抽象思维和概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有熟练的运算能力和运用所学知识去分析和解决实际问题的能力。
二、课程教学基本内容及要求
本课程教学时数为128学时,根据不同章节难易程度适当安排习题课。
课程内容要求的高低用不同词汇加以区分:
从高到低以“掌握”、“理解”、“了解”三级区分。
打“*”号的的部分为选讲内容。
1、教学基本内容
第一章函数与极限
函数的概念及其表示法,函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性,复合函数、反函数、分段函数和隐函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数,函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义与性质,函数的左极限与右极限,无穷大量与无穷小量的概念与关系,无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则,两个重要极限。
函数连续的概念,函数间断点的类型,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。
第二章导数与微分
导数和微分的概念,导数的几何意义与物理意义,函数的可导性与连续性之间的关系,平面曲线的切线与法线方程,导数和微分的四则运算,基本初等函数的导数,复合函数、反函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的微分法,高阶导数,一阶微分的形式不变性。
第三章微分中值定理与导数应用
微分中值定理,洛必达(L’Hospital)法则,函数单调性的判定,函数的极值,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线,函数图形的描绘,函数的最大值与最小值,弧微分,曲率的概念与曲率半径。
第四章不定积分
原函数与不定积分的概念,不定积分的性质,基本积分公式,不定积分的换元法与分部积分法,有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分法。
第五章定积分
定积分的概念和基本性质,定积分中值定理,积分上限的函数及其导数,牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式,定积分的换元法与分部积分法,反常积分。
第六章定积分的应用
定积分的元素法,定积分在几何学上的应用,*定积分在物理学上的应用。
第七章微分方程
常微分方程的基本概念。
变量可分离的微分方程,齐次微分方程,一阶线性微分方程,伯努利(Bernoulli)方程,可用简单的变量代换求解的某些微分方程,可降阶的高阶微分方程。
线性微分方程解的性质及解的结构定理,二阶常系数齐次线性微分方程,高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程,简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,*欧拉(Euler)方程。
微分方程的简单应用。
第八章空间解析几何与向量代数
向量的概念。
向量的代数运算,向量的数量积、向量积和混合积。
两向量垂直、平行的条件,两向量的夹角。
向量的坐标表达式及其运算。
单位向量,方向属于方向余弦。
曲面方程与和空间曲线方程的概念。
平面方程,直线方程,平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件,点到平面和点到直线的距离。
球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程。
常用的二次曲面方程及其图形。
空间曲线的参数方程与一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。
2、教学基本要求
第一章函数与极限
1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,了解建立简单应用问题的函数关系的方法。
2.了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。
3.掌握复合函数及分段函数的概念,理解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质和图形,了解初等函数的概念。
5.理解极限的概念,理解函数单侧极限的概念以及函数极限存在与函数单侧极限之间的关系。
6.掌握极限的性质和四则运算法则。
7.掌握极限存在的两个准则,并了解用它们求极限的方法。
掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,了解用等价无穷小求极限的方法。
9.理解函数连续的概念(含单侧连续性),了解判别函数间断点的类型的方法。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性。
理解闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理),并了解这些性质的应用。
教学重点难点
1.重点极限的性质和运算,极限存在的两个准则,两个重要极限,用等价无穷小求极限的方法。
连续函数的性质和初等函数的连续性。
2.难点间断点的讨论,闭区间上连续函数的性质。
第二章导数与微分
1.理解导数的概念及其几何意义,理解用导数求平面曲线的切线方程及法线方程的方法。
了解导数的物理意义。
理解可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式,了解求分段函数的导数及反函数的导数的方法。
了解高阶导数的概念,了解求简单函数的高阶导数的方法。
3.了解求隐函数和由参数式所确定的函数的导数的方法。
4.理解微分的概念及其与导数的关系,了解微分的几何意义及其四则运算法则和一阶微分形式的不变性,了解求函数的微分的方法。
教学重点难点
1.重点导数的定义、几何意义及物理意义,导数的运算法则,基本初等函数的导数公式,微分的概念及其与导数的关系,求微分的方法。
2.难点微分的定义,可导与可微之间的联系。
第三章微分中值定理与导数应用
1.理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解柯西(Cauchy)中值定理。
2.掌握用洛必塔(L’hospital)法则求未定式极限的方法。
3.理解函数的极值概念,掌握函数极值的求法。
掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
4.掌握函数的单调性、函数图形的凸凹性和拐点的判断方法及求法。
了解描绘函数的图形(包括水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线)的方法。
5.了解曲率和曲率半径的概念及其计算方法。
教学重点难点
1.重点罗尔定理与拉格朗日中值定理,洛必达法则,极值与最值,单调性与凹凸性。
2.难点柯西中值定理和泰勒中值定理。
第四章不定积分
1.理解原函数、不定积分的概念。
2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握不定积分的换元法和分部积分法,了解有理函数的积分法,了解三角函数有理式及简单无理函数的积分法。
教学重点难点
1.重点原函数、不定积分的概念,不定积分的性质,不定积分的基本公式,不定积分的换元法和分部积分法。
2.难点不定积分的第二类换元法和分部积分法,三角函数有理式的积分法。
第五章定积分
1.理解定积分的概念。
2.掌握定积分的性质以及定积分中值定理,掌握定积分的换元法和分部积分法。
3.理解变上限积分所确定的函数及其求导定理。
掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。
4.了解反常积分的概念,了解反常积分计算法。
教学重点难点
1.重点定积分的概念、性质、几何意义,变上限积分所确定函数的求导定理,牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式,定积分的换元法和分部积分法,反常积分的概念。
2.难点利用换元法证明积分等式。
第六章定积分的应用
1.理解定积分的元素法。
2.掌握利用定积分计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)的方法。
3*.了解利用定积分计算一些物理量(功、引力、水压力、质心、形心等)及函数的平均值。
教学重点难点
1.重点定积分的元素法。
2.难点利用定积分的元素法求一些几何量、物理量。
第七章微分方程
1.了解微分方程以及微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
2.掌握变量可分离的方程、一阶线性方程的解法,了解齐次方程、贝努利(Bernoulli)方程。
3.了解用变量代换解一些微分方程的方法。
4.了解用降阶法会解形如
、
、
的高阶微分方程的方法。
7.理解线性微分方程解的代数结构。
8.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并了解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程的解法。
9.了解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
10.了解欧拉方程的解法。
11.了解用微分方程解一些简单的应用问题的方法。
教学重点难点
1.重点微分方程的概念,可分离变量的方程、一阶线性方程、齐次方程的积分解法,二阶常系数线性微分方程的解法。
2.难点用降阶法会解形如
、
的高阶微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程特解的解法。
第八章空间解析几何与向量代数
1.理解向量的概念及其表示,理解空间直角坐标系的概念。
2.掌握向量的运算(线性运算、点积、叉积和混合积)。
了解两个向量平行、垂直的充分必要条件。
3.理解单位向量、方向角和方向余弦,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4.了解曲面方程、曲线方程的概念。
了解球面方程、旋转曲面和柱面的方程及其求法。
了解标准的二次曲面的方程和图形。
了解用截痕法画曲面图形的方法。
5.掌握平面方程、直线方程及其求法。
了解平面与平面、平面与直线、直线与直线之间夹角的求法。
6.了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并了解求该投影曲线的方程的求法。
教学重点难点
1.重点向量的运算(线性运算、点积、叉积)方法,球面方程、旋转曲面和柱面的方程。
平面方程与直线方程,二次曲面的方程。
2.难点向量积的计算,空间曲线、立体和曲面在坐标面上的投影的求法。
三、本课程与其它相关课程的联系与分工
本课程属基础理论课,自成体系。
四、实践性教学内容的安排与要求
无
五、课程各章节学时分配
教学内容
讲课
测验
习题课
1.第一章函数与极限
20
4
2.第二章导数与微分
10
4
3.第三章中值定理与导数应用
14
4
4.期中考试
2
5.第四章不定积分
10
4
6.第五章定积分
10
4
7.第六章定积分应用
8
2
8.第七章微分方程
12
4
9.第八章向量代数及空间解析几何
12
4
合计
128
六、本课程在课外练习方面的要求
为保证达到本课程的教学目的和教学要求,必须布置适量的课外作业,原则上可安排46小时的课外作业。
本课程有统一指定的作业,编写的作业练习册已由清华大学出版社出版发行,作业量为15次基本作业和8次提高作业,每次作业大约2个小时可完成。
七、本课程在使用现代化教学手段方面的要求
本课程属基础理论课。
为更充分地利用课时,加大课堂信息量,应适当使用多媒体教学手段。
八、教材及教学参考书
(1)教材
《高等数学》(第七版),同济大学应用数学系主编,高等教育出版社,
2014年7月,十二五国家级规划教材。
(2)参考书
《高等数学精讲精练》,陈启浩主编,北京师范大学出版社,2015年。
九、本课程成绩的考核方式、成绩评定标准及其它有关问题的说明
定期考试和平时作业双向考查。
期末考试采用闭卷笔试,要求卷面内容覆盖本大纲80%以上。
以百分制评定成绩,其中平时成绩占40%,期末考试成绩占60%。
十、其它类别问题的说明(例如大纲撰写人、大纲审阅人、系(教研室)负责人、修改日期等)。
大纲撰写人:
邹杰涛
大纲审阅人:
张 杰
系负责人:
张 杰
学院负责人:
李红梅
修订日期:
2017年7月
课程名称:
高等数学I
(1)
课程编码:
7030921
课程学分:
8学分
课程学时:
128学时
适用专业:
理工类各专业分层教学中的B层
《高等数学I
(1)》
(CalculusI
(1))
教学大纲
本大纲根据教育部考试中心发布的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》(数学一)制订而成。
编写本教学大纲的指导思想是:
通过本课程的学习,使B层学生了解考研大纲的要求,清楚考研大纲中“掌握、理解”的基础知识点,达到基本水平。
一、课程性质与任务
《高等数学I
(1)》是对数学要求较高的理工类各专业学生的一门必修的重要公共基础理论课。
它一方面为学好后续数学课程和专业课程提供了必要的数学基础知识,另一方面着重培养和提高学生的科学素质,使学生在素质上实现由中学向大学的转变。
通过本课程的学习,要使学生掌握一元函数微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
培养学生抽象思维和概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有熟练的运算能力和运用所学知识去分析和解决实际问题的能力。
二、课程教学基本内容及要求
本课程教学时数为128学时,根据不同章节难易程度适当安排习题课。
课程内容要求的高低用不同词汇加以区分:
从高到低以“掌握”、“理解”、“了解”三级区分。
打“*”号的的部分为选讲内容。
1、教学基本内容
第一章函数与极限
函数的概念及其表示法,函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性,复合函数、反函数、分段函数和隐函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数,函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义与性质,函数的左、右极限及单侧极限,无穷大量与无穷小量的概念与关系,无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则,两个重要极限。
函数连续的概念,函数间断点的类型,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。
第二章导数与微分
导数和微分的概念,导数的几何意义与物理意义,函数的可导性与连续性之间的关系,平面曲线的切线与法线,导数和微分的四则运算,基本初等函数的导数,复合函数、反函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的微分法,高阶导数,一阶微分的形式不变性。
第三章微分中值定理与导数应用
微分中值定理(罗尔、拉格朗日、柯西中值定理及泰勒公式),洛必达(L’Hospital)法则,函数单调性的判定,函数的极值,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线,函数图形的描绘,函数的最大值与最小值,弧微分,*曲率的概念与曲率半径。
第四章不定积分
原函数与不定积分的概念,不定积分的性质,基本积分公式,不定积分的换元法与分部积分法,有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分法。
第五章定积分
定积分的概念和基本性质,定积分中值定理,积分上限的函数及其导数,牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式,定积分的换元法与分部积分法,反常积分。
第六章定积分的应用
定积分的元素法,定积分在几何学上的应用。
第七章微分方程
常微分方程的基本概念。
变量可分离的微分方程,齐次微分方程,一阶线性微分方程,伯努利(Bernoulli)方程,可用简单的变量代换求解的某些微分方程,可降阶的高阶微分方程。
线性微分方程解的性质及解的结构定理,二阶常系数齐次线性微分方程,高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程,简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,*欧拉(Euler)方程。
微分方程的简单应用。
第八章空间解析几何与向量代数
向量的概念。
向量的代数运算,向量的数量积、向量积和混合积。
两向量垂直、平行的条件,两向量的夹角。
向量的坐标表达式及其运算。
向量长度、方向角、方向余弦,单位向量。
曲面方程与和空间曲线方程的概念。
平面方程,直线方程,平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件,点到平面和点到直线的距离。
球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程。
常用的二次曲面方程及其图形。
空间曲线的参数方程与一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。
2、教学基本要求
第一章函数与极限
1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,了解建立简单应用问题的函数关系的方法。
2.了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。
3.掌握复合函数及分段函数的概念,理解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质和图形,了解初等函数的概念。
5.理解极限的概念,理解函数单侧极限的概念以及函数极限存在与函数单侧极限之间的关系。
6.掌握极限的性质和四则运算法则。
7.理解极限存在的两个准则,并了解用它们求极限的方法。
掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,了解用等价无穷小求极限的方法。
9.理解函数连续的概念(含单侧连续性),了解判别函数间断点的类型的方法。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性。
理解闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理),并了解这些性质的应用。
教学重点难点
1.重点极限的性质和运算,极限存在的两个准则,两个重要极限,用等价无穷小求极限的方法。
连续函数的性质和初等函数的连续性。
2.难点极限存在的两个准则,间断点的讨论,闭区间上连续函数的性质。
第二章导数与微分
1.理解导数的概念及其几何意义,理解用导数求平面曲线的切线方程及法线方程的方法。
了解导数的物理意义。
理解可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式,了解求分段函数的导数及反函数的导数的方法。
了解高阶导数的概念,了解求简单函数的高阶导数的方法。
3.了解求隐函数和由参数式所确定的函数的导数的方法。
4.理解微分的概念及其与导数的关系,了解微分的几何意义及其四则运算法则和一阶微分形式的不变性,了解求函数的微分的方法。
教学重点难点
1.重点导数的定义、几何意义,导数的运算法则,基本初等函数的导数公式,复合函数求导的链式法则,微分的概念及其与导数的关系,求微分的方法,微分形式不变性。
2.难点微分的定义,复合函数求导的链式法则,微分形式不变性,求隐函
数和由参数式所确定的函数的导数的方法。
第三章微分中值定理与导数应用
1.理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理,了解柯西(Cauchy)中值定理和泰勒(Taylor)定理。
2.掌握用洛必塔(L’hospital)法则求未定式极限的方法。
3.理解函数的极值概念,掌握函数极值的求法。
掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
4.掌握函数的单调性、函数图形的凸凹性和拐点的判断方法及求法。
了解描绘函数的图形(包括水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线)的方法。
5*.了解曲率和曲率半径的概念及其计算方法。
教学重点难点
1.重点罗尔定理与拉格朗日中值定理,洛必达法则,极值与最值,单调性与凹凸性。
2.难点柯西中值定理和泰勒中值定理。
第四章不定积分
1.理解原函数、不定积分的概念。
2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握不定积分的换元法和分部积分法,了解有理函数的积分法,了解三角函数有理式及简单无理函数的积分法。
教学重点难点
1.重点原函数、不定积分的概念,不定积分的性质,不定积分的基本公式,不定积分的换元法和分部积分法。
2.难点不定积分的第二类换元法和分部积分法,三角函数有理式的积分法。
第五章定积分
1.理解定积分的概念。
2.掌握定积分的性质以及定积分中值定理,掌握定积分的换元法和分部积分法。
3.理解变上限积分所确定的函数及其求导定理。
掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。
4.了解反常积分的概念,了解反常积分计算法。
教学重点难点
1.重点定积分的概念、性质、几何意义,变上限积分所确定函数的求导定理,牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式,定积分的换元法和分部积分法,反常积分的概念。
2.难点利用换元法证明积分等式。
第六章定积分的应用
1.理解定积分的元素法。
2.掌握利用定积分计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积)的方法。
3*.了解利用定积分计算一些物理量(功、引力、水压力、质心、形心等)及函数的平均值。
教学重点难点
1.重点定积分的元素法,利用定积分计算几何量(面积、体积和弧长)。
2.难点利用定积分的元素法求一些几何量。
第七章微分方程
1.了解微分方程以及微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
2.掌握变量可分离的方程、一阶线性方程的解法,了解齐次方程、贝努利(Bernoulli)方程。
3.了解用变量代换解一些微分方程的方法。
4.了解用降阶法会解形如
、
、
的高阶微分方程的方法。
7.理解线性微分方程解的代数结构。
8.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并了解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程的解法。
9.了解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
10*.了解欧拉方程的解法。
11.了解用微分方程解一些简单的应用问题的方法。
教学重点难点
1.重点微分方程的概念,可分离变量的方程、一阶线性方程、齐次方程的积分解法,二阶常系数线性微分方程的代数解法。
2.难点用降阶法会解形如
、
的高阶微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程特解的代数解法。
第八章空间解析几何与向量代数
1.理解向量的概念及其表示,理解空间直角坐标系的概念。
2.掌握向量的运算(线性运算、点积、叉积和混合积)。
了解两个向量平行、垂直的充分必要条件。
3.理解单位向量、方向角和方向余弦,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4.了解曲面方程、曲线方程的概念。
了解球面方程、旋转曲面和柱面的方程及其求法。
了解标准的二次曲面的方程和图形。
了解用截痕法画曲面图形的方法。
5.掌握平面方程、直线方程及其求法。
了解平面与平面、平面与直线、直线与直线之间夹角的求法。
6.了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并了解求该投影曲线的方程的求法。
教学重点难点
1.重点向量的运算(线性运算、点积、叉积)方法,球面方程、旋转曲面和柱面的方程。
平面方程与直线方程,二次曲面的方程。
2.难点向量积的计算,空间曲线、立体和曲面在坐标面上的投影的求法。
三、本课程与其它相关课程的联系与分工
本课程属基础理论课,自成体系。
四、实践性教学内容的安排与要求
无
五、课程各章节学时分配
教学内容
讲课
测验
习题课
1.第一章函数与极限
20
4
2.第二章导数与微分
10
4
3.第三章中值定理与导数应用
14
4
4.期中考试
2
5.第四章不定积分
10
4
6.第五章定积分
10
4
7.第六章定积分应用
8
2
8.第七章微分方程
12
4
9.第八章向量代数及空间解析几何
12
4
合计
128
六、本课程在课外练习方面的要求
为保证达到本课程的教学目的和教学要求,必须布置适量的课外作业,原则上可安
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 课程名称 高等数学 I1