高一数学精讲精练讲义7含绝对值不等式.docx
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高一数学精讲精练讲义7含绝对值不等式
高一数学讲义(7)含绝对值的问题
[知识要点]
绝对值是中学数学中的一个基本概念,与它紧密相联的有含绝对值的一元函数、含绝对值的不等式和含绝对值的一元方程等问题。
1.绝对值的概念
设
为任意实数,则
的绝对值记为
,绝对值的定义是:
。
2.绝对值的性质
(1)非负性:
(2)运算性质:
,
(3)等价性:
;
或
(4)绝对值不等式:
3.绝对值的几何意义
|x|的几何意义是实数x在数轴上对应点P到原点的距离,利用它可把解含绝对值的不等式问题转化为几何问题,再利用几何图形的直观使问题顺利解决。
4.含绝对值的问题的解法
(1)定义讨论法
由于利用定义可以把绝对值去掉,因此往往需要分类讨论。
其方法是:
把每个绝对值为零的零点标在数轴上,则这些零点把数轴分成若干段,再对各段所对应的范围分别进行讨论即可。
(2)性质平方法
因为绝对值的性质有
,利用此性质可把绝对值去掉。
但这种方法的缺点是平方后往往比较繁,另外要注意何时才能平方,防止出现增根。
(3)等价转化法
利用性质(3)的等价性可得:
;
或
,从而去掉了绝对值。
一般地,形如
的不等式均可用此方法求解,不必对
的正负讨论。
(4)数形结合法
利用函数的图象解含有绝对值的不等式。
例如解不等式
时,可先作出函数
和
的图象,则原不等式的解为函数
的图象在函数
图象上方(或下方)的部分对应的横坐标的取值范围。
其中在作
的图象时,先作出
的图象,然后保留
的部分图象;再将
的图象中的部分沿x轴对称反射到x轴上方,即得整个
的图象。
[例题精析]
例1.解下列含绝对值的方程:
(1)
;
(2)
;(3)
解:
(1)如何化去绝对值符号,是解此方程的关键。
根据绝对值的零点,故分成三段讨论。
当
时,
,不合;当
时,
,不合;当
时,
,符合。
所以原方程的解为
。
(2)两边平方得
,得
,解得
或
或
。
经检验均满足
,故都是原方程的根。
(3)原方程可化为
,即
,解得
,即有
。
评注:
解含绝对值的方程的关键,就是根据绝对值的定义或性质,运用分类讨论法或平方法转化为不含绝对值的方程,从而求解。
但要注意转化必须是等价的。
当然,部分题目也可以运用绝对值的几何意义或其它特殊的方法求解,如本题(3)就用特殊法求解。
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- 数学 精练 讲义 绝对值 不等式