二次函数综合复习.docx

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二次函数综合复习

一次函数与二次函数综合提高复习

一、函数定义图像性质

1．已知二次函数，当m______________时，函数的图像是直线，当m____________,函数的图像是抛物线，当m_____________时，函数的图像开口向上，且经过原点的抛物线。

2.下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象是（）

ABCD

3．函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）

A．B．C．D．

4．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝－x2＋3x的对称轴l交x轴于点M.直线

y＝mx－2m（m<0）与该拋物线x轴上方的部分交于点A，与l交于点B，过点A作AN丄x轴,垂足为N,则下列线段中，长度随线段ON长度的增大而增大的是（）

A.ANB.MNC.BMD.AB

5．对实数a，b，定义运算“*”为：

a*b＝关于x的方程（x＋1）*（2x－1）＝m（m是实数）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，设t＝x1＋x2＋x3，则t的取值范围是．

二、函数中常见的交点问题

1．已知抛物线y＝x2＋ax＋2t与直线y＝x＋t．

（1）若对于任何实数a抛物线与此直线都有交点，求t的取值范围．

（2）若抛物线与直线有且只有一个在第一象限的交点A．设OA与x轴的夹角为a，求tana的取值范围．

2．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点。

连结OP，将线段OP绕点O按逆时针方

向旋转90°得到线段OM，且点M是抛物线的顶点

（1）若，抛物线经过点（2，2），当时，求的取值范围；

（2）已知点（1，0），若抛物线与轴交于点，直线与抛物线

有且只有一个交点，请判断的形状，并说明理由

3.（11分）已知二次函数y＝x2－x＋c．

（1）若点A（－1，n）、B（2，2n－1）在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；

（2）若点D（x1，y1）、E（x2，y2）、P（m，m）（m＞0）在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2≤OP≤2＋时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋的交点个数，并说明理由．

【变式提高】

1．已知：

抛物线经过点（－1，1），且对于任意的实数x，有4x－4≤≤恒成立。

（1）求4a＋2b＋c的值；

（2）已知B（0，2），设点M（x，y）是抛物线上任一点，求线段MB的长度的最小值。

三、函数中存在问题分析

【存在等腰三角形】

1.已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（　　）

A．2　B．3　　C．4　　D．5

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？

此时PE等于多少？

（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图

【存在直角三角形】

1.如图，直线与抛物线都经过点A（-1，0）、C（3，-4）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；

（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使得△PCQ是以P为直角顶点直角三角形？

若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。

2.在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝－x＋6，不论x取何值，y0都取y1与y2之间的较小值.

（1）当x取时，求y0的值；

（2）直线x＝a（a为常数）分别与y0和y＝x2－8x＋c（2＜x＜4）的图象交于P、Q两点，若抛物线y＝x2－8x＋c的顶点为M，那么△PQM是否能成为等腰直角三角形，若能，求出c的值；若不能，请说明理由.

【存在平行四边形】

1．已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；

（2）如图，在直线上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？

如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由.

2．已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为（1，0），OC=3OB.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上。

是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【存在相似三角形】

1、如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线经过点A和轴正半轴上的点B，AO=BO=2,∠AOB=120°。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）连接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标。

2．如图1，经过原点O的抛物线y＝ax²+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y＝x交于点B（2,t）.

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B、O、C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO。

在

（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

四、函数中利用图像性质取值范围

1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝－（x－m）2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为（）

A.B.或C.2或D.2或或

2．已知点P（m，n）在抛物线y＝ax2－x－a上，当m≥－1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是．

3．已知实数a,b满足a＋b＝1,a2＋ab＋1＞0，当1≤x≤2时，二次函数y＝ax2－6ax＋9a（a≠0）的最大值与最小值之差是9，求a的值.

4．我们把a，b，c三个数的中位数记作Z∣a，b，c∣.

（1）若a＋b=3，2b＋c=2，且a＋b＋c=1，求Z∣a，b，c∣的值；

（2）直线y＝kx＋（k＞0）与函数y＝Z∣x2－1，x＋1，－x＋1∣的图象有且只有2个交点，求k的取值范围。

5．直线y＝2x＋m与抛物线y＝ax2＋ax＋b都过点M（1，0），且a＜b，

（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的式子表示）；

（2）试说明抛物线与直线有两个交点；

（3）设抛物线与直线的另一个交点为N，

①若－1≤a≤－时，求MN的取值范围；

②求△QMN的面积最小值.