重积分的计算.ppt

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掌握二重积分的计算方法掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标直角坐标、极坐标）.）.会用重积分求一些几何量与物理量会用重积分求一些几何量与物理量（如面积如面积、体积、体积、曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等）。

了解三重积分的计算方法了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、直角坐标、柱面坐标、球面坐标球面坐标）。

重点与难点重点与难点重点：

二重积分的计算方法重点：

二重积分的计算方法,三重积分的计算方法三重积分的计算方法.难点：

难点：

三重积分计算方法三重积分计算方法,重积分在几何及物理方面的应用重积分在几何及物理方面的应用.哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心一一.直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算.由二重积分的几何意义知由二重积分的几何意义知,当当f（x,y）0时时,如图如图若点若点x处截面面积为处截面面积为A（x）,则体积则体积xy0axA（x）9.2二重积分的计算二重积分的计算哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心

（1）设积分区域设积分区域D是由两条平行于是由两条平行于y轴的直线轴的直线x=a,x=b及两条曲线及两条曲线y=y1（x）,y=y2（x）围成围成.如图如图即即,D:

y1（x）yy2（x）,axb称为称为x型区域型区域.特别情形是特别情形是:

A、B退缩成一点退缩成一点,E、F退缩成一点退缩成一点.xy0ABEFDy=y1（x）y=y2（x）ab哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心由几何意义知由几何意义知,以以D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积V.如图如图.过点过点x0作平面作平面x=x0,截面是平面截面是平面x=x0上的上的,以以z=f（x0,y）为曲边的为曲边的曲边梯形曲边梯形.由定积分的几何意义由定积分的几何意义,zx0yy2（x0）y1（x0）Dy=y2（x）y=y1（x）z=f（x,y）z=f（x0,y）x0ab哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心从而从而,故故右端称为先对右端称为先对y,再对再对x的二次积分的二次积分（累次积分累次积分）.计算原则计算原则:

由里到外由里到外.即先将即先将x看作常数看作常数,以以y为积为积分变量分变量,求里层积分求里层积分.得得到到的的结结果果是是只只含含x,不不含含y的的函函数数式式,再再求求外外层层积积分分（以以x为积分变量为积分变量）.哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心注注1.公式公式虽是在条件虽是在条件f（x,y）0下得到的下得到的,但对一般但对一般的的f（x,y）都成立都成立,只须只须D是是x型区域型区域即可即可.注注2.习惯上常将右端的二次积分记作习惯上常将右端的二次积分记作即即哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心ODx+y=111xy哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心

（2）若若D:

x1（y）xx2（y）,cyd,称为称为y型区型区域域,则类似二重积分可化为先对则类似二重积分可化为先对x,再对再对y的二次的二次积分积分.即即xy0dcEFx=x2（y）x=x1（y）D哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心oxycdDoxycdDoxycdD哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心（3）若若D既是既是x型区域型区域,又是又是y型区域型区域.比如比如x0yx0yx0y则既可先对则既可先对x积分积分,又可先对又可先对y积分积分.等等等等,当用某次序算二重积分不好算时当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分可改换积分次序次序,可能好算可能好算.此时此时,哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心o-12（1,-1）（4,2）xyx=y+2x=y2D哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心（4）若若D的形状较复杂的形状较复杂,既不是既不是x型区域型区域,也不也不是是y型区域型区域.xy0D1D2D3D则可用一些平行于则可用一些平行于x轴轴和平行于和平行于y轴的直线将其轴的直线将其分成若干块分成若干块,使每一块或使每一块或为为x型型,或为或为y型型,分分块积块积.如图如图哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心xy0y=xy=x2x为确定累次积分的上、下为确定累次积分的上、下限限.作与作与y轴同向的射线轴同向的射线,从从下至上穿过下至上穿过D.则则y是由下方的曲线是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线变到上方的曲线y=x的的.解解:

先画区域先画区域D的图形的图形.法法1.先对先对y积分积分.里层积分的下限为里层积分的下限为x2,上限为上限为x.由于该射线变化范围是由于该射线变化范围是0,1.因此因此,外层积分下外层积分下限为限为0,上限为上限为1.即：

即：

练练11哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心xy0y=xy=x2哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心xy0y=xy=x211法法2.先对先对x积分积分.作与作与x轴同向射线轴同向射线,从左至右穿过从左至右穿过D.y则则x是从左方曲线是从左方曲线x=y变到右方曲线变到右方曲线y=x2.即即故里层对故里层对x积分的下限为积分的下限为y,上限为上限为而该射线的变化范围是而该射线的变化范围是0,1.故外层对故外层对y的积分下限为的积分下限为0,上限为上限为1.哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心xy0y=xy=x211哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心结论：

结论：

不论是先对不论是先对x积分积分还是先对还是先对y积分积分里层积分的上、下限总是曲线的函数表里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式达式,而外层积分的上、下限是点的坐标而外层积分的上、下限是点的坐标.且且上限上限下限下限.称为称为从里到外、线从里到外、线线线;点点点点.哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心oxy11Dy=xxy哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心oxy11Dy=x哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心D1D2oy-111哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解：

解：

由于由于是是“积不出积不出”的，的，要改换积分次序先画积分区域要改换积分次序先画积分区域D的图形的图形.由积由积分表达式知，分表达式知，D：

yx1,0y1画曲线画曲线x=y和和x=1，直线，直线y=0,y=1如图：

如图：

.故故原式原式=yx0Dy=x练练2哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心改换改换解：

解：

写出写出D的的表达式，表达式，画画D的图形的图形改为先对改为先对x再对再对y的积分的积分yx0D24练练3哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心例例5.关于分块函数在关于分块函数在D上的积分上的积分.其中其中D：

0x1,0y1解：

解：

积分区域如图积分区域如图记记f（x,y）=|yx|=yx,当当yx时时,xy,当当yx时时,且区域且区域D1:

yx和和D2:

yx分处在直线分处在直线y=x的上，下方的上，下方.故，故，yx011DD2y=xD1原式原式=哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心注：

注：

分块函数的积分要分块分块函数的积分要分块（区域区域）来积来积.另外，带绝对值的函数是分块函数。

另外，带绝对值的函数是分块函数。

yx0D211y=xD1D哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心右边的二次积分并不是两个定积分之积，计右边的二次积分并不是两个定积分之积，计算时必须由里至外，这当然较繁琐算时必须由里至外，这当然较繁琐.但在某些情但在某些情形下，可将右端化为两个定积分之积。

形下，可将右端化为两个定积分之积。

关于二重积分计算的其它问题关于二重积分计算的其它问题在将二重在将二重积分化为二次积分的公式积分化为二次积分的公式哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心例例6.设设D：

axb,cyd.f（x,y）=f1（x）f2（y）可积，可积，则则yx0dcab证：

证：

证：

证：

哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心比如，比如，只只须要求里层积分须要求里层积分的被积的被积函数函数f2（y）和和上、下限都与上、下限都与x无关即可。

无关即可。

哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心关于利用对称性积分的问题关于利用对称性积分的问题

（1）若若D的图形关于的图形关于x轴对称轴对称.（i）若若f（x,y）=f（x,y）,其中点其中点（x,y）与与（x,y）关于关于x轴对称，轴对称，即函数也关于即函数也关于x轴对称轴对称.yx0D2D1（ii）若若f（x,y）=f（x,y）,哈尔滨工程大学微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心

（2）若若D的图形关于的图形关于y轴对称轴对称.yx0D2D1（i）若若f（x,y）=f（x,y）.其中其中（x,y）是是（x,y）的的关于关于y轴轴的对称点的对称点.（ii）f（x,y）=f（x,y）