北京金雨教育教师1对分类讨论学生版.docx

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北京金雨教育教师1对分类讨论学生版

中考复习中分类讨论题型初探

整体感悟：

分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。

综合中考的复习规律，我觉得分类讨论的知识点有三大类：

1．代数类：

代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.

2．几何类：

几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.

3．综合类：

代数与几何类分类情况的综合运用.

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

  分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

  分类的原则：

（1）分类中的每一部分是相互独立的；

（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.

题型1.考查数学概念及定义的分类

规律提示:

熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

例题1．求函数

的图象与x轴的交点？

变式思考：

已知关于x的方程

（1）若方程有实数根，求k的取值范围

（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长.

易误：

根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第

（2）问中并无说明哪两边是ΔABC的腰，故应考虑其所有可能情况.

题型2：

考查字母的取值情况或范围的分类.

规律提示：

此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.

例题2、如图

（1）边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一次函数

的图像

随

的不同取值变化时，位于

的右下方由

和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）.

（1）当

取何值时，S＝3？

（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S与

的函数图像.

变式思考：

如图所示，在平行四边形ABCD中，

，

∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿

的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.

（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿

的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.

①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.

易误：

讨论变量

的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.

题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.

规律提示：

熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.

例题3、在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝

，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），

设BO＝x，ΔAOC的面积为

.

（1）求

关于

的函数解析式，并写出函数的定义域.

（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O

与圆A相切时ΔAOC的面积.

变式思考、如图，直线

与x轴，y轴分别交于点M，N

（1）求M，N两点的坐标；　　　　　　

（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，

为半径的圆与直线

相切，求点P的坐标.

易误：

本题是一道函数与圆的综合题，注意第

（2）

小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.

题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类

规律提示：

图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.

例题4、如图所示，抛物线

的顶点为A，直线

与y轴的交点为B，其中m＞0.

（1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标　　　　

（用含有m的代数式表示）

（2）证明点A在直线

上，并求∠OAB的度数.

　（3）动点Q在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？

若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由.

变式思考、已知抛物线

的顶点坐标为（4，－1）与y轴交于点C（0，3），O是原点.

（1）求这条抛物线的解析式.

（2）设此抛物线与x轴的交点A、B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点

，使以O，B，P为顶点的三角形与ΔAOC相似？

若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

易误：

解决此类问题，必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，逐步找到符合题意的结论.

分类讨论专题训练

一、选择题

1．在同一平面内，四条直线的交点个数不能是（）．

A．2个B．3个C．4个D．5个

2．⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P为圆心，且与⊙O相切的圆的半径一定是（）．

A．1或5B．1C．5D．1或4

3．AB、AC与⊙O相切于B、C，若∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数为（）．

A．65°B．115°C．65°或115°D．135°或50°

4．若等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长是（）．

A．9B．11C．16D．11或16

二、填空题

5．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（4，0），且与x轴、y轴构成的三角形面积为6，则此一次函数的解析式为______．

6．若点P到两坐标轴的距离相等，且点P在直线

上，则点P的坐标是______．

7．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，欲使这两个三角形相似，三角形框架的另两边长可以是______．

8．在△ABC中，AD是高，且AD＝6，AC＝6.5，若cos∠BAD＝

，则BC的长为______．

9．若正方形的四个顶点分别在直角三角形三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为______cm．

10．如图26－1，AC⊥AB，BE⊥AB，AB＝10，AC＝3，用一把直角尺进行如下操作：

将直角顶点P在线段AB上滑动，一直角边始终经过点C，另一直角边与BE交于点D，若BD＝7，则AP的长为______．

图26－1

11．某地要设计一个形状为梯形的苗圃，若要求它的四条边分别为4m，16m，16m，20m，则它的面积为________．

12．如图26－2如果四边形CDEF旋转后，能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面上可作为旋转中心的点有______个．

图26－2

13．在△ABC中，BC＝10，

，∠ABC＝30°，若点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为______．

14．⊙O1和⊙O2的半径分别为2和4，当O1O2的长度在________范围内取值时，两圆无公共点．

二、解答题

15．已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a－19，其中a＞2．

（1）求证：

B－A＞0，并指出A与B的大小关系；

（2）指出A与C哪个大?

说明理由．

16．已知△ABC是等腰三角形，由顶点A所引BC边上的高恰等于BC边长的一半，试求∠BAC的度数．

17．如果关于x的方程（a－1）x2＋2x－a－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有几个?

18．在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积．

19．如图26－3，正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数

的图象上，点P（m，n）是函数

的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．

图26－3

（1）设矩形OEPF的面积为S1，判断S1与点P的位置是否有关（不必说理由）；

（2）从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S2，写出S2与m的函数关系，并写出m的取值范围．

20．如图26－4，直线

与x轴、y轴相交于点B、C，点A的坐标为（－4，－3）．点P是射线AC上一个动点，点P从A点出发沿x轴的正方向以每秒1个单位的速度匀速移动，过点P作平行于BC的直线l与x轴、y轴相交于点M、N，设点P运动的时间为t（秒）．

图26－4

（1）当t为何值时，

；

（2）设△AMN的面积为S，求S与t的函数关系式．