版高中数学人教B版必修五学案第三单元 352 简单线性规划二 Word版含答案.docx
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版高中数学人教B版必修五学案第三单元352简单线性规划二Word版含答案
3.5.2 简单线性规划
(二)
学习目标
1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性函数的最值.
知识点一 非线性约束条件
思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法,画出约束条件(x-a)2+(y-b)2≤r2的可行域.
梳理 约束条件不是______________不等式.这样的约束条件称为非线性约束条件.
知识点二 非线性目标函数
思考 在问题“若x、y满足
求z=
的最大值”中,你能仿照目标函数z=ax+by的几何意义来解释z=
的几何意义吗?
梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.
目标函数
目标函数变形
几何意义
最优解求法
z=ax+by(ab≠0)
y=-
x+
________是
平移直线y=-
x,使________________
(x-a)2+(y-b)2
令m=(x-a)2+(y-b)2,则目标函数为(
)2
点________与点________距离的________
改变圆(x-a)2+(y-b)2=r2的半径,寻求可行域最先(或最后)与圆的__________
点______与定点________连线的______
绕定点(a,b)旋转直线,寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线______
|ax+by+c|(a2+b2≠0)
·
点______到直线________距离的
倍
平移直线ax+by+c=0,寻求与可行域最先(或最后)相交时的______
类型一 生活实际中的线性规划问题
例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品,其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时,装配加工1小时,每件甲种家电的利润为200元;每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时,在电器方面加工2小时,装配加工1小时,每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时,可用于电器方面加工的能力为每天24小时,可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件,可使获取的利润最大?
(每天制造的家电件数为整数)
反思与感悟 在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等),而直接根据约束条件得到的不一定是整数解,可以运用列举法验证求最优整数解,或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,应具体情况具体分析.
跟踪训练1 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌子和椅子的总数尽可能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍,问桌子、椅子各买多少才是最好的选择?
类型二 非线性目标函数的最值问题
命题角度1 斜率型目标函数
例2 已知实数x,y满足约束条件
试求z=
的最大值和最小值.
引申探究
1.把目标函数改为z=
,
求z的取值范围.
2.把目标函数改为z=
,求z的取值范围.
反思与感悟 对于形如
的目标函数,可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题.
跟踪训练2 实数x,y满足
则z=
的取值范围是( )
A.[-1,0]B.(-∞,0]
C.[-1,+∞)D.[-1,1)
命题角度2 两点间距离型目标函数
例3 已知x,y满足约束条件
试求z=x2+y2的最大值和最小值.
反思与感悟 当斜率k、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时,注意数形结合思想方法的灵活运用.
跟踪训练3 变量x、y满足约束条件
(1)设z=
,求z的最小值;
(2)设z=x2+y2,求z的取值范围;
(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.
1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( )
A.5种B.6种C.7种D.8种
2.已知点P(x,y)的坐标满足约束条件
则x2+y2的最大值为( )
A.
B.8C.16D.10
3.若x、y满足约束条件
则z=
的最大值是________.
4.已知实数x,y满足约束条件
则z=x2+y2的最小值为______.
1.画图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上是在图上完成的,所以作图应尽可能准确,图上操作尽可能规范.
2.在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)应结合可行域与目标函数微调.
3.对于非线性目标函数,应准确翻译其几何意义,如x2+y2是点(x,y)到点(0,0)的距离的平方,而非距离.
答案精析
问题导学
知识点一
思考
梳理 二元一次
知识点二
思考 z=
的几何意义是点(x,y)与点(1,1)连线的斜率.
梳理 在y轴上的截距 在y轴上的截距最大(或最小) (x,y) (a,b) 平方
交点 (x,y) (a,b) 斜率 斜率 (x,y) ax+by+c=0 交点
题型探究
类型一
例1 解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件,获取的利润为z百元,
则z=2x+y(百元)
作出可行域如图阴影部分中的整点,
由图可得O(0,0),A(0,3),B(2,3),
C
,D(4,0).
平移直线y=-2x+z,当直线过点(3,2)或(4,0)时z有最大值.
所以工厂每天制造甲种家电3件,乙种家电2件或仅制造甲种家电4件,可获利最大.
跟踪训练1 解 设桌子、椅子分别买x张、y把,目标函数z=x+y,把所给的条件表示成不等式组,即约束条件为
由
解得
所以A点的坐标为
.
由
解得
所以B点坐标为(25,
).
所以满足条件的可行域是以
A
,B
,O
为顶点的三角形区域(含边界)
(如图),
由图形可知,目标函数z=x+y在可行域内经过点B
时取得最大值,
但注意到x∈N,y∈N,
故取
故买桌子25张,椅子37把是最好的选择.
类型二
命题角度1
例2 解 由于z=
=
,
故z的几何意义是点(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率,
因此
的最值是点(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率的最值,
如图所示,直线MB的斜率最大,直线MC的斜率最小,
又∵B(0,2),C(1,0),
∴zmax=kMB=3,zmin=kMC=
.
∴z的最大值为3,最小值为
.
引申探究
1.解 z=
·
,
其中k=
的几何意义为点(x,y)与点N
连线的斜率.
由图易知,kNC≤k≤kNB,
即
≤k≤
,
∴
≤
k≤7,
∴z的取值范围是[
,7].
2.解 z=
=
+2.
设k=
,仿例2解得-
≤k≤1.
∴z∈[
,3].
跟踪训练2 D
命题角度2
例3 解 z=x2+y2表示可行域内的点到原点的距离的平方,结合图形知,
原点到点A的距离最大,原点到直线BC的距离d最小.
故zmax=|OA|2=13,
zmin=d2=
2=
.
跟踪训练3 解 由约束条件
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
由
解得A
;
由
解得C(1,1);
由
解得B(5,2).
(1)因为z=
=
,
所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.
观察图形可知zmin=kOB=
.
(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,
dmin=|OC|=
,dmax=|OB|=
,
即2≤z≤29.
(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到点(-3,2)的距离中,
dmin=1-(-3)=4,
dmax=
=8.
所以16≤z≤64.
当堂训练
1.C 2.D 3.3 4.
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