定理和命题解答题专项练习30题有答案OK.docx
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定理和命题解答题专项练习30题有答案OK
命题和定理解答题专项练习30题
1.如图所示,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一直线上,下面有六个条件,请你在其中选三个作为已知条件,余下的选一个作为结论,编写出一个真命题,并说明理由.①AB=DE;②AC=DF;③∠ABC=∠DEF;④BE=CF;⑤∠ACB=∠DEF;⑥∠A=∠D(填写序号即可)
已知:
_________ ;
结论:
_________ ;
理由:
_________ .
2.在数学课上,陈老师在黑板上画出如图所示的图形,在△AEC和△DFB中,已知∠E=∠F,点A,B,C,D在同一直线上,并写下三个关系式:
①AE∥DF,②AB=CD,③CE=BF.请同学们从中再任意选取两个作为补充条件,剩下的那个关系式作为结论构造命题.小明选取了关系式①,②作为条件,关系式③作为结论.你认为按照小明的选法得到的命题是真命题吗?
如果是,请写出证明过程;如果不是,请举出反例.
3.已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连接EF(如图所示).
(1)添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求证:
AB=DC.
(2)分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF=∠OFE”记为②,“AB=DC”记为③,
若添加条件②、③,以①为结论构成另一个命题,则该命题是 _________ 命题
(选择“真”或“假”填入空格,不必证明).
4.如果∠α和∠β互为补角,并且∠β的一半比∠α小30°,求∠α和∠β的度数.
5.如图,直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面三个式子中,请你选择其中两个作为题设,剩下的一个作为结论,组成一个真命题并证明.
①AB⊥BC、CD⊥BC,②BE∥CF,③∠1=∠2.
题设(已知):
_________ .
结论(求证):
_________ .
证明:
_________ .
6.请你写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题,并判断逆命题的真假;若是真命题,请写出已知、求证、证明;若是假命题,则请举反例证明.
7.写出命题“如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题,并证明这个命题是真命题.
8.已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”.
(1)写出逆命题;
(2)逆命题是真命题还是假命题?
如果是真命题,请画出“图形”,写出“已知”,“求证”,再进行“证明”;如果是假命题,请举反例说明.
9.判断“平面上只要有两直线平行,就有内错角相等”这个命题是否为真命题.
10.请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题,判断此逆命题的真假性,并给出证明.
11.判断下列命题的真假,如果是假命题请举一个反例:
①相等的角是对顶角;
②有一个内角相等的两个等腰三角形相似;
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形.
12.
(1)如图,DE∥BC,∠1=∠3,请说明FG∥DC;
(2)若把题设中DE∥BC与结论中FG∥DC对调,命题还成立吗?
试证明.
(3)若把题设中∠1=∠3与结论中FG∥DC对调呢?
试证明.
13.如图所示,D是AB上一点,E是AC上一点.现给出以下三个条件:
①AB=AC;②AD=AE;③∠B=∠C
(1)请你在其中选两个作为题设,余下的一个作为结论,写一个真命题:
命题的条件是 _________ 和 _________ ,命题的结论是 _________ (均填序号)
(2)证明你写出的命题:
已知:
求证:
证明:
14.如图,M、N分别是OA、OB上的点.①OP是∠AOB的平分线;②∠OMP+∠ONP=180°;③PM=PN.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,
即①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.
(1)试判断上述三个命题是否正确?
(请直接作答)
(2)请证明其中一个正确的命题.
15.证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的中点距离相等”.
16.证明命题“三角形的三内角和为180°”是真命题.
17.如图在△AFD和△CEB中,点A,E,F,C在同一条直线上,有下面四个论断:
(1)AD=CB,
(2)AE=CF,(3)∠A=∠B,(4)AD∥BC.请你从中选三个作为题设,余下的一个作为结论,写出一个正确的命题,并加以证明.
18.写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明.
19.下列句子是命题吗?
若是,把它改写成“如果…,那么…”的形式,并判断是否正确.
(1)一个角的补角比这个角的余角大多少度?
(2)垂线段最短,对吗?
(3)等角的补角相等.
(4)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点.
(5)同旁内角互补.
(6)邻补角的角平分线互相垂直.
(7)两个负数,绝对值大的反而小.
(8)绝对值大的数反而小.
(9)若a>b,则
.
(10)若两数和为正数,则这两个数中至少有一个是正数.
(11)0除以任何一个数都得0.
(12)若a>0,b<0,且|a|>|b|,则a+b=|b|﹣|a|.
20.写出下列各命题的逆命题,并判断其逆命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举出一个反例说明:
(1)两直线平行,同旁内角互补;
(2)垂直于同一条直线的两直线平行;
(3)相等的角是内错角;
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形.
21.将下列命题改写成“如果…那么…”的形式.
(1)直角都相等.
(2)末位数是5的整数能被5整除.
(3)三角形的内角和是180°.
22.举反例说明下面命题是假命题
(1)互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角.
(2)两个负数的差一定是负数.
(3)两直线被第三条直线所截,同位角相等.
(4)一正一负两个数的和为0.
23.对错误的命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举一个反例并画出图形,说明其错误.
24.如图,下面四个条件:
(1)AE=AD,
(2)AB=AC,(3)OB=OC,(4)∠B=∠C,请你写出满足两个作为已知条件,第三个为结论的命题,并判断其真假?
25.命题“如果两个角有公共顶点且互补,那么这两个角是邻补角”是真命题吗?
如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.
26.“若|a|>|b|,则a>b”是真命题还是假命题,如果是假命题,请举一个反例.
27.下面语句是那个定义的特征?
(1)连接三角形的顶点和对边中点的线段;
(2)三角形一边的延长线和另一边组成的角;
(3)不等式组中各个不等式的解集的公共部分;(4)点到直线的垂线段的长度.
28.
(1)如图,点A、B、C、D在一条直线上,填写下列空格:
因为∠1=∠E(已知),所以 _________ ∥ _________ .
因为CE∥DF(已知),所以∠1=∠ _________ .所以∠E=∠ _________ .
(2)说出
(1)的推理中应用了哪两个互逆的真命题?
29.如图所示,在△ABC中,有下面三个论断:
①AD平分∠BAC,②∠C=2∠B,③AB=AC+CD.请用其中两个作为条件,余下一个作为结论,构造一个正确的命题,并写出证明过程.
30.如图,四边形ABCD中,点E在边CD上,连接AE、BE.给出下列五个关系式:
①AD∥BC;②DE=CE;③∠1=∠2;④∠3=∠4;⑤AD+BC=AB.将其中的三个关系式作为题设,另外两个作为结论,构成一个命题.
(1)用序号写出一个真命题(书写形式如:
如果×××,那么××).并给出证明;
(2)用序号再写出三个真命题(不要求证明).
参考答案:
1.如果AB=DE,AC=DF,BE=CF.那么∠ABC=∠DEF.
证明:
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF,
∴∠ABC=∠DEF.
故答案为:
①②,③,SSS
2.解:
关系式①,②作为条件,关系式③作为结论,是真命题,
证明:
∵AE∥DF,
∴∠A=∠D,
∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,即AC=DB,
在△AEC和△DFB中,
,
∴△AEC≌△DFB(AAS),
∴CE=BF(全等三角形对应边相等)
3.
(1)证明:
连接BC,
∵E为OB的中点,F为OC的中点,
∴EF∥BC,
∴∠OEF=∠OBC,∠OFE=∠OCB,
∵∠OEF=∠OFE,
∴∠OBC=∠OCB,
即∠ACB=∠DBC,
在△ABC和△DCB中
∵
,
∴△ABC≌△DCB(AAS),
∴AB=DC.
(2)解:
以②③为条件,①为结论的命题是假命题,
理由是:
根据AB=DC,BC=BC和∠ACB=∠DBC不能推出△ABC和△DCB全等,
故答案为:
假
4.解:
由题意可知:
∠α+∠β=180°,
+30°=∠α,∴∠α=80°,∠β=100°
5.已知:
如图,AB⊥BC、CD⊥BC,BE∥CF.
求证:
∠1=∠2.
证明:
∵AB⊥BC、CD⊥BC,
∴AB∥CD,
∴∠ABC=∠DCB,
又∵BE∥CF,
∴∠EBC=∠FCB,
∴∠ABC﹣∠EBC=∠DCB﹣∠FCB,
∴∠1=∠2.
故答案为①②;③;省略
6.解:
因为原命题的题设是:
“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两底角相等”,
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”.
已知:
△ABC中,∠B=∠C,
求证:
△ABC是等腰三角形.
证明:
过点A作AH⊥BC于点H,
则∠AHB=∠AHC=90°,
在△ABH和△ACH中,
∵
,
∴△ABH≌△ACH(AAS),
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形
7.解:
逆命题是:
如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°,那么这个三角是直角三角形.
已知,如图,△ABC中,BE是∠ABC的角平分线,交AC于E,AD是∠CAB的角平分线,交BC于D,BE和AD相交于O点,且∠EOA=45°.
求证:
△ABC是直角三角形
证明:
∵BE是∠ABC的角平分线,AD是∠CAB的角平分线,
∴∠OAB=
∠CAB,∠OBA=
∠CBA,
∴∠OAB+∠OBA=
(∠CAB+∠CBA),
∴180°﹣∠AOB=
(180°﹣∠C),
∴∠AOB=90°+
∠C
又∵∠EOA=45°,
∴∠AOB=135°=90°+
∠C,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形
8.解:
(1)逆命题:
两边上的高相等的三角形是等腰三角形.
(2)真命题.
已知:
一个三角形ABC的两边AB、AC上的高BD、CE相等,
求证:
这个三角形ABC是等腰三角形.
证明:
∵BD、CE是△ABC的高,
∴CE⊥AB,BD⊥AD,
∵∠A=∠A,
∵BD=CE,
∴Rt△ADB≌Rt△AEC,
∴AB=AC,
∴三角形ABC是等腰三角形
9.解:
平面上只要有两直线平行,就有内错角相等,这个命题是真命题
10.解:
命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“全等三角形”,结论是“对应角相等”,
故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形,
是假命题,
举例证明:
如图DE∥BC,
∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,
但△ADE△ABC不全等
11.解:
①是假命题.如两直线平行时,同位角相等,但它们不是对顶角;
②是假命题,如顶角为30°的等腰三角形和底角为30°的等腰三角形不能相似;
③是假命题.如对角线垂直的等腰梯形,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,且AC⊥BD
12.解:
(1)证明:
∵DE∥BC,
∴∠1=∠2,
又已知∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴FG∥DC;
(2)命题还成立,
∵FG∥DC,
∴∠2=∠3,
已知∠1=∠3,
∴∠2=∠1,
∴DE∥BC;
(3)命题还成立,
∵DE∥BC,
∴∠1=∠2,
又FG∥DC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3
13.由①②推出③
证明:
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠B=∠C,
故答案为:
①,②,③
14.解:
(1)都正确;
(2)选择①②⇒③,
过P作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,
则∠PEM=∠PFN=90°,
∵OP是∠AOB角平分线,
∴PE=PF,
∵∠PMO+∠PNO=180°,∠PMO+∠PME=180°,
∴∠PNF=∠PME,
在△PEM和△PFN中
∴△PEM≌△PFN(AAS),
∴PM=PN
15.解:
由命题可知:
在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别为边BC,AB,AC的中点;
求证:
DE=DF;
证明:
∵△ABC为等腰三角形,
∴∠B=∠C,AB=AC.
又点D,E,F分别为边BC,AB,AC的中点,
∴BE=CF,BD=CD.
∴△BDE≌△CDF.
∴DE=DF.
故命题得证
16.已知:
∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角,
求证:
∠A+∠B+∠C=180°,
证明:
作射线BD,过C点作CE∥AB,如图,
∵CE∥AB,
∴∠1=∠A,∠2=∠B,
而∠C+∠1+∠2=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°.
所以命题“三角形的三内角和为180°”是真命题.
17.解:
如果AD=CB,AE=CF,AD∥BC,那么∠D=∠B.
证明如下:
∵AD∥BC,
∴∠A=∠C,
∵AE=CF,
∴AE+EF=EF+CF,
∴AF=CE,
在△ADF和△CBE中,
,
∴△ADF≌△CBE(SAS),
∴∠D=∠B
18.解:
命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题为直角三角形的两锐角互余.
已知:
△ABC中,∠C=90°.
求证:
∠A+∠B=90°.
证明:
∵∠A+∠B+∠C=180°,
而∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°
即∠A与∠B互余
19.解:
对一件事情做出判断的句子是命题,因为
(1)
(2)是问句,所以
(1)
(2)不是命题,其余10个都是命题.
(3)如果两个角相等,那么它们的补角相等,正确;
(4)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点,正确;
(5)如果两个角是同旁内角,那么它们互补,错误;
(6)如果两条射线是邻补角的角平分线,那么它们互相垂直,正确;
(7)如果比较两个负数的大小,那么绝对值大的那个数反而小,正确;
(8)如果比较两个数的大小,那么绝对值大的数反而小,错误;
(9)如果a>b,那么
,错误;
(10)如果两数和为正数,那么这两个数中至少有一个是正数,正确;
(11)如果用0除以任何一个数,那么结果都得0,错误;
(12)如果a>0,b<0,且|a|>|b|,那么a+b=|b|﹣|a|,错误
20.解:
(1)同旁内角互补,两直线平行,真命题;
(2)如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内),真命题;
(3)内错角相等,假命题;例如:
∠1与∠2是内错角,但不相等;
(4)等边三角形有一个角是60°真命题
21.解:
(1)可改写为:
如果一些角都是直角,那么这些角都相等;
(2)改写为:
如果一个数的末位数是5的整数,那么这个数能被5整除;
(3)改写为:
如果三个角为三角形的内角,那么这三个角的和为180°
22.解:
(1)两个直角互补,所以,互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角假命题;
(2)﹣1﹣(﹣2)=1,所以,两个负数的差一定是负数是假命题;
(3)两直线不是平行线,则被第三条直线所截得到的同位角不相等,所以,两直线被第三条直线所截,同位角相等是假命题;
(4)﹣1+2=1,所以,一正一负两个数的和为0是假命题
23.解:
如图,
α为钝角,其补角β小于α
24.解:
如果AE=AD,AB=AC,那么∠B=∠C.
证明:
在△ABE和△ACD中,
∵
∴△ABE≌△ACD,
∴∠B=∠C.
∴是真命题
25.解:
它是假命题.
例如:
∠AOB=60°,∠COD=120°,∠AOB和∠COD有公共顶点且互补,但它们不是邻补角
26.解:
“若|a|>|b|,则a>b”是假命题,
例如:
|﹣3|>|﹣2|,但﹣3<﹣2
27.解:
(1)三角形的中线;
(2)三角形的外角;
(3)不等式组的解集;
(4)点到直线的距离
28.解:
(1)因为∠1=∠E(已知),
所以AE∥BF;
因为CE∥DF(已知),
所以∠1=∠F.
所以∠E=∠F.
(2)
(1)的推理中应用了内错角相等,两直线平行和两直线平行,内错角相等.
故答案为AE,BF,F,F
29.解:
已知:
AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证:
AB=AC+CD.
证明:
在AB上取一点E使AE=AC,连接DE.
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠DAE.
在△△AED和△ACD中,
,
∴△AED≌△ACD(SAS),
∴∠C=∠AED,CD=ED.
∵∠C=2∠B,
∴∠AED=2∠B=∠B+∠BDE,
∴∠B=∠BDE,
∴DE=BE,
∴CD=BE.
∵AB=AE+EB,
∴AB=AC+CD
30.解:
(1)如果①②③,那么④⑤;
理由如下:
∵AD∥BC,
∴∠1=∠F,∠D=∠ECF,
在△AED和△FEC中,
,
∴△AED≌△FEC(AAS),
∴AD=CF,
∴AD+BC=CF+BC=BF,
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠F,
∴AB=BF,
∴AD+BC=AB;
(2)如果①③④,那么②⑤,
如果①②④,那么③⑤;
如果①③⑤,那么②④
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