高三数学第一轮复习数列知识点很全.docx
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高三数学第一轮复习数列知识点很全
海豚教育
高三数学第一轮复习——数列
一、知识梳理
数列概念
1.数列的定义:
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式:
如果数列
a的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的
n
通项公式,即anf(n).
3.递推公式:
如果已知数列
a的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an1(或前几
n
项)间的关系可以用一个式子来表示,即anf(a)或anf(an1,an2),那么这个式子叫做数
n1
列an的递推公式.如数列an中,a11,an2an1,其中an2an1是数列an的递推
公式.
4.数列的前n项和与通项的公式
①
Sna1a2a;②
n
S(n1)
1
an.
SS(n2)
nn1
5.数列的表示方法:
解析法、图像法、列举法、递推法.
6.数列的分类:
有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界
数列.
①递增数列:
对于任何nN,均有
an1a.
n
②递减数列:
对于任何nN,均有an1an.
③摆动数列:
例如:
1,1,1,1,1,.
④常数数列:
例如:
6,6,6,6,,,.
⑤有界数列:
存在正数M使anM,nN.
⑥无界数列:
对于任何正数M,总有项
a使得anM.
n
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d,这个数列叫做等差数列,常数d
称为等差数列的公差.
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式ana1(n1)d,a1为首项,d为公差.
⑵前n项和公式
3.等差中项
n(aa)1
1n
S或Snnan(n1)d
n
1.
22
如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
即:
A是a与b的等差中项2Aaba,A,b成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法:
an1ad(nN,d是常数)an是等差数列;
n
⑵中项法:
2an1anan2(nN)an是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列an是等差数列,则数列anp、pan(p是常数)都是等差数列;
⑵在等差数列an中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,ank,an2k,an3k,为等
差数列,公差为kd.
2(a,b是常数,a0)⑶aanmd
n();ananb(a,b是常数);Snanbn
m
⑷若mnpq(m,n,p,qN),则
amaaa;
npq
1
海豚教育
⑸若等差数列
a的前n项和
n
S,则
n
Sn
n
是等差数列;
⑹当项数为2n(nN),则
Sa
偶n1
SSnd,
偶;
奇
Sa
奇n
当项数为2n1(nN),则
Sn1
偶
SSan,
奇.
偶
Sn
奇
等比数列
7.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q0),这个数列叫做等比数
列,常数q称为等比数列的公比.
8.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式:
n1
anaq,a1为首项,q为公比.
1
⑵前n项和公式:
①当q1时,
Sn
na
1
②当q1时,
n
a(1q)a1aq
1.
n
S
n11
9.等比中项
如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
2
即:
G是a与b的等差中项a,A,b成等差数列Gab
10.等比数列的判定方法
.
a
n1(nN,q0是常数)
⑴定义法:
q
a
n
a是等比数列;
n
⑵中项法:
2
anaa(nN)且a0an是等比数列.
1nn2n
11.等比数列的常用性质
⑴数列an是等比数列,则数列pan、pan(q0是常数)都是等比数列;
⑵在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,ank,an2k,an3k,为等
比数列,公比为
k
q.
nm
⑶aaq(n,mN)
nm
⑷若mnpq(m,n,p,qN),则amanapaq;
⑸若等比数列
a的前n项和
n
S,则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.
n
二、典型例题
A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)
1)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知Sn为等差数列an的前n项和,a49,a96,Sn63,求n;
2、等差数列
a中,a410且a3,a6,a10成等比数列,求数列an前20项的和S20.
n
3、设
a是公比为正数的等比数列,若a11,a516,求数列an前7项的和.
n
2
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4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间
两数之和为36,求这四个数.
2)根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知Sn为等差数列an的前n项和,a6100,则S11;
2、设
S、Tn分别是等差数列an、an的前n项和,
n
S7n2a
n,则5
Tn3b
n5
.
3、设Sn是等差数列an的前n项和,若
a5
5,
a9
3
S
9
则()
S
5
4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若
S2n
n
T3n1
n
a
n
则
b
n
=()
5、已知Sn为等差数列an的前n项和,Snm,Smn(nm),则Smn.
6、在正项等比数列
a中,
n
a1a52a3a5a3a725,则
aa_______。
35
7、已知数列
a是等差数列,若
n
a4a7a1017,
a4a5a6a12a13a1477且13
a,则k_________。
k
8、已知Sn为等比数列an前n项和,Sn54,S2n60,则S3n.
9、在等差数列an中,若S41,S84,则a17a18a19a20的值为()
10、在等比数列中,已知
a9a10a(a0),a19a20b,则a99a100.
11、已知
a为等差数列,a158,a6020,则a75
n
12、等差数列
a中,已知
n
S1S
48
.
求
S3S
816
B、求数列通项公式
1)给出前几项,求通项公式
1,0,1,0,⋯⋯
1,3,6,10,15,21,,
3,-33,333,-3333,33333,,
2)给出前n项和求通项公式
3
海豚教育
2n1、⑴Sn2n3n
;⑵S31.
n
2、设数列
a满足
n
n
2n-1*
⋯+3,求数列
a13a23a3a(nN)
n
3
a的通项公式
n
3)给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式an1anf(n),可利用迭加法或迭代法;
an(anan1)(anan)(anan)(aa)a
1223211
例:
已知数列
a中,a12,anan12n1(n2),求数列an的通项公式;
n
aaaaa
b、已知关系式an1anf(n),可利用迭乘法.1
nn1n232
aa
n
aaaaa
n1n2n321
例、已知数列
an1
n
a满足:
1
(n2),a2
n
an1
n1
,求求数列
a的通项公式;
n
c、构造新数列
1°递推关系形如“apaq
n1”,利用待定系数法求解
n
例、已知数列
a中,a11,an12an3,求数列an的通项公式.
n
2°递推关系形如“,两边同除
n1
p或待定系数法求解
例、
n
a11,an12a3,求数列an的通项公式.
n
3°递推已知数列
a中,关系形如“an2pan1qan”,利用待定系数法求解
n
例、已知数列
a中,a11,a22,an23an12an,求数列an的通项公式.
n
4°递推关系形如"
apaqaa(p,q0),两边同除以anan1
nn1nn1
例1、已知数列
a中,anan12anan(1n2),a12,求数列an的通项公式.
n
4
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例2、数列
2a
n
a中,a12,an1(nN),求数列an的通项公式.
n
4a
n
d、给出关于Sn和am的关系
例1、设数列
a的前n项和为
n
n
S,已知a1a,a1S3(nN)
nnn
,设
n
bnS3,
n
求数列
b的通项公式.
n
1
2aSn
例2、设Sn是数列an的前n项和,a11,
(2)
Snnn.
2
⑴求
a的通项;
n
⑵设
S
bnn,求数列bn的前n项和Tn.
2n1
C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
例1、已知
S
S为等差数列an的前n项和,n(nN).求证:
数列bn是等差数列.
bn
n
n
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn
-1=0(n≥2),a1=
1
2
.
1
求证:
{
S
n
}是等差数列;
5
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2)证明数列等比
a
n
1
例1、设{an}是等差数列,bn=,求证:
数列{bn}是等比数列;
2
例2、数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,若an+Sn=n.设cn=an-1,求证:
数列{cn}是
等比数列;
例3、已知
S为数列an的前n项和,a11,Sn4an2.
n
⑴设数列
b中,bnan12an,求证:
bn是等比数列;
n
⑵设数列
c中,
n
c
n
a
2
n
n
,求证:
cn是等差数列;⑶求数列an的通项公式及前
n项和.
例4、设
n
S为数列an的前n项和,已知ba2b1S
nnn
⑴证明:
当b2时,
n1
an2是等比数列;
n
⑵求
a的通项公式
n
6
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例5、已知数列an满足
*
a11,a23,an23an12an(nN).
⑴证明:
数列
aa是等比数列;
n1n
⑵求数列
a的通项公式;
n
⑶若数列
b满足
n
bb
1121b1b*
44...4(a1)(nN),证明bn是等差数列.
nn
n
D、求数列的前n项和
基本方法:
1)公式法,
2)拆解求和法.
例1、求数列
n
{22n3}的前n项和Sn.
1111
例2、求数列,,,,n),的前n项和
123(
n
2482
例3、求和:
2×5+3×6+4×7+,+n(n+3)
S.
n
2)裂项相消法,数列的常见拆项有:
1
n1n
;
nn1
1111
()
n(nk)knnk
;
例1、求和:
S=1+
1
121
1
2
3
1
2
1
3
n
例3、求和:
1
2
11
1
13243n
n1
.
7
海豚教育
3)倒序相加法,
例、设
2
x
f(x),求:
2
1x
⑴
(1)f()f
(1)f
(2)f(3)f(4)
1
f;
432
⑵f(20110)f(20109)f(13)f(21)f
(2)f(2009)f(2010).
4)错位相减法,
例、若数列
a的通项
n
n
an(2n1)3,求此数列的前n项和
S.
n
5)对于数列等差和等比混合数列分组求和
2
例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n,求数列{|an|}的前n项和Tn.
E、数列单调性最值问题
例1、数列
a中,an2n49,当数列an的前n项和Sn取得最小值时,n.
n
例2、已知
值;
S为等差数列an的前n项和,a125,a416.当n为何值时,Sn取得最大
n
例4、数列
2n
a中,an3n281,求an取最小值时n的值.
n
例5、数列
2
a中,n2
ann,求数列an的最大项和最小项.
n
8
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n
例5、设数列an的前n项和为Sn.已知a1a,a1S3,
nn
*
nN.
n
(Ⅰ)设bS3,求数列bn的通项公式;
nn
(Ⅱ)若
a≥a,
n1n
*
nN,求a的取值范围.
例6、已知Sn为数列an的前n项和,a13,SnSn12an(n2).
⑴求数列
a的通项公式;
n
⑵数列
a中是否存在正整数k,使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立?
n
若存在,求最小的正整数k,若不存在,说明理由.
例7、非等比数列{a}中,前n项和
n
(1)求数列{an}的通项公式;
1
2
S(a1),
nn
4
(2)设
b
n
1
n(3a)
n
(nN*),Tbbb,是否存在最大的整数m,使得对任意
n12n
的n均有
m
T总成立?
若存在,求出m;若不存在,请说明理由。
n
32
9
海豚教育
F、有关数列的实际问题
例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一
块,,
依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完,问共用
了多少块?
例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%,从2003年开始,计划每年将非绿化
面积的
8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2%被非绿化.
⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为
a表示
n
4
a,经过n年后绿化的面积为
1
10
a,试用
n1
a;
n1
⑵求数列an的第n1项an1;
⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:
lg20.3010,lg30.4771)
10
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