第十六讲全等三角形 张范中学 杨治国.docx
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第十六讲全等三角形张范中学杨治国
课时课题:
第十六讲全等三角形
授课人:
薛城区张范中学杨治国
课型:
九年级复习课
授课时间:
2014年4月21号星期一第1节课
考试要求:
1.了解图形全等的概念,熟练应用三角形的性质及判定定理证明线段相等、角相等,能判定两个三角形全等或通过判定两个三角形全等来进一步解决问题.
2.会利用基本作图解决与全等有关的尺规作图问题,并注意作图的有关要求.
3.深刻体会通过构造全等三角形,灵活“转化”问题的思路.
4.在图形变换过程中,熟练把握全等三角形,增强观察和理解能力,几何语言的叙述能力及运用全等知识解决实际问题的能力,进一步培养和发展学生的直觉思维能力与推理论证能力.
教学重点:
1.熟练掌握全等三角形的五种判定方法和全等三角形的性质.
2.能根据已知条件选择正确的判定方法,并找齐全等的条件.
3.熟练利用全等三角形的性质来证明边、角之间的关系---数量、位置关系.
教学难点:
1.在变换的图形中,正确找出全等三角形的条件.
2.应用三角形的全等解决一些实际问题.
3.文字、符号、图形语言之间的相互转译以及正确书写推理过程.
教法与学法指导
1.注意在探究中掌握结论.
2.三角形全等的判定方法较多,注重在对比中掌握这些结论.
3.注重推理能力的培养,推理时前因后果写清楚,过程书写要严密,有理有据.
4.注重联系实际.
5.注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用,掌握作辅助线的技巧.
教学媒体:
多媒体
教学过程
一.课前热身,回忆知识
师:
同学们好,全等三角形是数学中解决几何问题的最重要的手段,主要内容包括全等三角的定义、判定及性质,探索解决一些与全等有关的实际问题,综合性问题,本单元蕴含着丰富的数学思想方法、数学建模方法等.学习好全等三角形这一章,能为后面等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线以及相似问题的学习打好基础,因此全等三角形的学习对后面几何学的学习起着至关重要的作用.全等三角形也是中考必考的内容,主要考查对全等三角形的判定及性质的掌握情况以及应用全等三角形的性质和判定进行简单的推理和计算,解决实际问题等.
师:
这节课我们就来复习《第十六讲全等三角形》.
(教师板书课题:
第十六讲全等三角形)
请大家在昨天复习课本的基础上,完成导学案上“基础知识回顾”环节中的问题.
【处理方式】1.时间:
2分钟;2.先独立填空,然后小组内交流纠错、讲解、补充.
3.做题时注意思考几个问题:
考查了什么知识点?
解题思路?
做题关键是什么?
基础知识回顾
1.如图1所示,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=____.
(第1题)(第2题)(第3题)
2.如图2,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去
3.如图,已知AE∥BF,∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是________.
4.在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠A=∠A′,若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选一个,错误的选法是( )
A.∠B=∠B′B.∠C=∠CC.BC=B′C′D.AC=A′C′
【参考答案】
1.95°2.C3.BF=AE或者∠BCF=∠ADE或BD=AC或DE∥CF(任选其一)
4.C分析:
注意普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理,但AAA、SSA,无法证明三角形全等.故选C.
【考点链接】
1.全等三角形:
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2.全等三角形的性质:
全等三角形的对应角相等、对应边相等.
3.三角形全等的判定方法有:
SAS、ASA、ASA、AAS;直角三角形全等的判定除以上的方法还有HL.
4.全等三角形的面积相等、周长相等、对应高、对应角平分线、对应中线相等.
学生:
根据课件提示有准备的回答问题.
【设计意图】:
本组题以基础为主,主要考查全等三角形的性质和判定方法.让学生在解决这些问题的过程中,一方面回顾本考点的基础知识.检验学生对所学知识的掌握情况,组内互查互助分析错题原因解决了易错点问题,通过小组合作及时纠错、讲解、补充,让学生加深对本考点知识的理解,体会小组合作的必要性.另一方面帮助学生回忆全等三角形的有关知识点,引导学生根据解题情况自动去翻阅课本,查缺补漏,为构建知识框架做准备.
二.知识网络,指引方向
师:
以上同学们完成的很好,那么你能尝试着说说全等三角形中知识点之间的联系吗?
师生互动,结合课本,理清知识点构建知识框架(用课件展示).
【设计意图】:
通过对本章知识网络图的对比分析,让学生体会知识之间的发展脉络与内在联系;对知识网络图中的各知识点进行简要回顾,在学生充分思考、交流的基础上,引导学生梳理全等三角形的内容,从而更好的从整体把握这部分内容.为后面的题组训练打好基础,也帮助学生更系统地掌握本考点的知识.
三.典例解析,考点扫描
【典例精析】
师:
在同学们全面梳理知识的基础上,让我们一起来完成下面的题目
(引领学生完成导学案上的例题).
生:
按要求独立完成,有困难可以合作完成.
考点一:
全等三角形的概念与性质
师:
看来基本知识大家已经掌握的很好了,但“说得好不如做的好”.下面的问题你们能解决吗?
(利用多媒体出示)
1.已知:
如图,ΔABD≌ΔCDB,若AB∥CD,则AB的对应边是()
A.DBB.BCC.CDD.AD
2.下列命题中,真命题的个数是()
①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等
A.4B.3C.2D.1
3.如图所示,ΔABC≌ΔDCB.
(1)若∠D=74°
∠DBC=38°,则∠A=_____,∠ABC=_____
【处理方式】学生独立完成,口头回答,并说出所考的知识点,教师及时纠正.
【变式练习】:
1.如图,已知△ABE≌△DCE,AE=2cm,BE=1.5cm,
∠A=25°,∠B=48°;那么DE=_____cm,EC=_____cm,
∠C=_____°;∠D=_____°.
2.如图,AB⊥BC,ΔABE≌ΔECD.判断AE与DE的关系,并证明你的结论.
【思路点拨】充分利用全等三角形的性质对应边相等,对应角相等.
【处理方式】学生独立完成,小组交流做题及结果,找学生口头回答,师生共同纠正答案.
【设计意图】理解全等三角形的概念和性质,并灵活运用这些知识点.
考点二:
边角边(SAS)判定三角形全等
师:
请同学们继续开动脑筋,完成下面的题目.
1.(13·聊城)如图,四边形ABCD是平行四边形,点
E在BC上.如果点F是边AD上的点,那么△CDF与
△ABE不一定全等的条件是()
A.DF=BEB.AF=CEC.CF=AED.CF//AE
(师生共同读题,学生进行计算.)
师:
(1分钟后)同学们你们是怎样做的呢?
生1:
结合平行四边形性质,如果DF=BE,则与∠B=∠D,AB=CD,恰好满足(SAS)全等条件,即△CDF≌△ABE;如果AF=CE,因为AD=CB,所以DF=BE,结合选项A,能够判断△CDF≌△ABE;如果CF=AE,判断两三角形条件不具备;如果CF//AE,则四边形AECF是平行四边形,则有AE=CF,CE=AF,于是BE=DF,而AB=CD.所以具备全等三角形条件SSS.
故本题选.C
师:
【方法提炼】本题借助平行四边形为背景,判断三角形全等.判断两三角形全等一般方法有SAS、ASA、AAS、SSS.条件中三要素必须对应具备.
【小试身手】:
1.(13·福州)
(1)如图,点E、F在AC上,AB∥CD,AB=CD,
AE=CF.求证:
△ABF≌△CDE.
【处理方式】学生独立完成,小组交流做题步骤及结果,找学生黑板板书,教师规范学生做题步骤,师生共同纠正答案.
生:
证明:
∵AB∥CD,
∴∠A=∠C
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF
即AF=CE
又∵AB=CD
∴△ABF≌△CDE
【点评】本题将平行线的性质及三角形全等的判定相结合,考查了学生逻辑推理能力,本题易出现错误的地方是将条件AE=CF直接运用.
【设计意图】理解边角边(SAS)判定三角形全等,及全等三角形的性质地运用.
考点三:
角边角(ASA)、角角边(AAS)判定三角形全等
师:
同学们做的真是太好了,下面的问题老师同样相信你!
例(13·广州市)点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,
∠B=∠C.
求证:
BE=CD.
【思路点拨】证明两三角形全等即可得到两线段相等.用ASA证明.
师:
有困难的同学可以寻求小组的帮助.
(教师巡视指导,并参与到小组的讨论中去.)
生:
(板演)证明:
在△ABE和△ACD中.
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD.
【方法提炼】注意证明两三角形全等时公共角的应用.
【举一反三】:
1.(13•玉林)如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.
求证:
△ABC≌△AED.
【思路点拨】首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD,再加上条件AB=AE,∠C=∠D可证明△ABC≌△AED.
生解答:
证明:
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,
即∠BAC=∠EAD,
∵在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(AAS).
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
【方法提炼】AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
【设计意图】理解角边角(ASA)、角角边(AAS)判定三角形全等,及全等三角形的性质地运用.
考点四边边边(SSS)判定三角形全等
师:
请同学们继续开动脑筋,完成下面的题目.(利用多媒体出示)
1.(13•常州)如图,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.
求证:
∠A=∠B.
【思路点拨】根据中点定义求出AC=BC,然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等,再根据全等三角形对应角相等证明即可.
生:
(板演)证明:
∵C是AB的中点,
∴AC=BC,
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SSS),
∴∠A=∠B.
【方法提炼】本题考查了全等三角形的判定与性质,比较简单,主要利用了三边对应相等,两三角形全等,以及全等三角形对应角相等的性质.
【强化训练】:
1.如图,所示中,F、C在线段BE上,若BC=FE,
AB=DE,要利用SSS证明△ABC≌△DEF,补充
一条边相等的条件是________.
2.“三月三,放风筝”.图是小明制作的风筝,
他根据DE=DF,EH=FH,不用度量,就知
道∠DEH=∠DFH.请你用所学的知识证明.
【设计意图】理解边边边(SSS)判定三角形全等,及全等三角形的性质地运用.通过题目告诉我们同学,对所学的知识在掌握的同时要能灵活的运用,毕竟我们学习的目的是运用知识解决问题.
考点五:
斜边与直角边(HL)判定三角形全等
师:
前面学习了一般三角形的判定应用,下面我们一起复习直角三角全等的判定(HL)
(13•温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,
过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【思路解析】
(1)根据角平分线性质求出CD=DE,根据HL定理求出另三角形全等即可;
(2)求出∠DEB=90°,DE=1,根据含30度角的直角三角形性质求出即可.
生:
(1)证明:
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°,
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL);
(2)解:
∵DC=DE=1,DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=2.
【处理方式】小组合作、研讨,板演解题过程,并让学生讲解,老师纠正.
师:
【方法提炼】本题考查了直角三角形全等的判定(HL),角平分线性质,含30度角的直角三角形性质的应用,注意:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
【跟踪训练】
1.如图,所示,我们可以用三角板来平分一个任意的锐角,
在已知△AOB的两边上分别取OM=ON,再分别过点M、N
作OA、OB的垂线,交点为P,画射线OP,OP就是
∠AOB的平分线,说明其中的道理.
2.如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,
另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆
底部的距离相等吗?
请说明你的理由.
【设计意图】理解斜边与直角边(HL)判定三角形全等,角平分线性质,含30度角的直角三角形性质的应用,注意:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
考点六:
全等三角形的创新题型
师:
同学们对一般三角形和直角三角形的判定和性质掌握的很好,下面我们一起看一下涉及三角形全等的判定和性质的新题型
1.探索开放题
如图1,AB、CD相交于点O,AB=CD,试添加一个条件使得
△AOD≌△COB,你添加的条件是(只需写一个).
【思路解析】由对顶角相等,得∠AOD=∠COB,若加条件AO=CO,则由AB=CD,可得AB-AO=CD-CO,即BO=DO.由“SAS”得△AOD≌△COB.同理,也可以加条件BO=DO.如果连接DB,那么可加条件AD=CB,先说明△ADB≌△CBD,得∠A=∠C,再得出△AOD≌△COB.所以应填AO=CO,或BO=DO,或AD=CB等.
【处理方式】小组合作、研讨,并让学生讲解,老师纠正.
师:
【方法提炼】解答条件开放型试题,需要执果索因,逆向推理,逐步探求结论成立的条件.解决这类题时,要注意挖掘图形中的隐含条件,如对顶角、公共角、公共边等.这类题的答案往往不唯一,只要合理即可.
【设计意图】条件不唯一的开放型试题,是近几年中考试题中的热点题型.主要考查对一些知识点掌握的熟练性、系统性.这类题型要注意多琢磨、多领悟.
2.条件组合题
如图2,在△ABC和△DEF中,D、E、C、F在
同一直线上,下面有四个条件,请你在其中选3个作
为题设,余下的1个作为结论,写一个真命题,并加
以证明.
①AB=DE,②AC=DF,③∠ABC=∠DEF,
④BE=CF.
已知:
求证:
证明:
【思路解析】由BE=CF⇒BC=EF,所以,由1,2,4,可用SSS⇒△ABC≌△DEF⇒∠ABC=∠DEF;由1,3,4,可用SAS⇒△ABC≌△DEF⇒AC=DF;由于不存在ASS的证明全等三角形的方法,故由其它三个条件不能得到1或4.
【处理方式】小组合作、研讨,分组分类研讨及时展示不同类型,老师指导.
生解:
真命题:
如果AB=DE,BE=CF,∠ABC=∠DEF,那么AC=DF.(答案不唯一)
证明:
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
∴BC=EF,
在△ABC与△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF,
∴AC=DF.
【设计意图】:
这是一道开放题.四个条件可组合成四个命题,其中有真有假,考生既要会证明真命题,还要会对假命题举反例加以否定,本题既考查了学生的基础知识,又考查了学生的创新能力.给学生提供了充分展示才能的空间,不同层次不同能力的学生可以给出不同的结果.
3.猜想验证题
如图,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且△DEF也是等边三角形.
(1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,
并证明你的猜想是正确的;
(2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?
写出变化过程.
【思路点拨】由已知条件,根据等边三角形的性质推出△AEF≌△BFD≌△CDE.从而推出AE=BF=CD,AF=BD=CE.
【处理方式】小组合作交流,并让学生上黑板板演讲解,老师纠正.
【解答反馈】生1解:
(1)图中还有相等的线段是:
AE=BF=CD,AF=BD=CE.
事实上,∵△ABC与△DEF都是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD.
又∵∠CED+∠AEF=120°,∠CDE+∠CED=120°,
∴∠AEF=∠CDE,同理,得∠CDE=∠BFD,
∴△AEF≌△BFD≌△CDE(AAS),
所以AE=BF=CD,AF=BD=CE.
(2)线段AE、BF、CD它们绕△ABC的内心按顺时针(或按逆时针)方向旋转120°,可互相得到,线段AF、BD、CE它们绕△ABC的内心按顺时针(或按逆时针)方向旋转120°,可互相得到.
【方法提炼】主要考查全等三角形的判与性质及等边三角形的性质;常用的方法有AAS,SSS,SAS等,要灵活运用于具体的题目中,进行角的等量代换是正确解答本题的关键.
【设计意图】:
主要考查全等三角形的判与性质及等边三角形的性质;常用的方法有AAS,SSS,SAS等,要灵活运用于具体的题目中,进行角的等量代换是正确解答本题的关键.
4.拼图证明题
一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.
(1)求证AB⊥ED;
(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,
并给予证明.
【思路点拨】做此题要理解翻折变换后相等的条件,同时利用常用的全等三角形的判定方法来判定其全等.
【处理方式】:
在错综复杂的图形中寻找全等三角形是一件不容易的事,要鼓励学生大胆的猜想,努力探求,在学生的叙述过程中,教师及时纠正学生叙述中的错误,训练学生严谨的学习态度和学习习惯.
【设计意图】:
翻折变换(折叠问题);直角三角形全等的判定.此题考查了翻折变换及全等三角形的判定方法等知识点,常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、HL等.结合前面的剪纸让学生明白图形的变化.
四.归纳总结,盘点收获
师:
通过本节课的学习,你都掌握了哪些数学知识?
你还有什么疑难问题吗?
请你先想一想,再小组间说一说.(学生先独立思考,小组交流然后由学生口答)
1.常见全等三角形的基本图形
(1)平移全等型
(2)翻折全等型
(3)旋转全等型
2.全等三角形的判定方法
方法
内 容
符号
适用范围
方法1
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
SAS
所有三角形
方法2
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
ASA
所有三角形
方法3
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
AAS
所有三角形
方法4
三边对应相等的两个三角形全等
SSS
所有三角形
方法5
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
HL
直角三角形
3.全等三角形的判定思路
说明两个三角形全等时要认真分析已知条件,仔细观察图形,弄清已具备了哪些条件,从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系,从而选择最适当的方法,一般可按下面的思路进行.
证明两个三角形全等的基本思路:
【设计意图】通过学生自主的思考、总结,使得学生对知识的理解、掌握更系统,对方法和过程更规范,把课堂教学传授的知识尽可能化为学生的素质;同时通过小组的交流互动,培养学生的合作意识,通过对所学内容的总结和表达,使得学生学会知识的同时培养能力,提高素质.
五.目标检测,考点达标
A
基础训练
一.选择题
1.(13·陕西)如图,在四边形
中,对角线AB=AD,
CB=CD,若连接AC、BD相交于点O,则图中全等三角形共有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
2.(13·四川乐山)如图,点E是平行四边形
ABCD的边CD的中点,AD、BE的延长线相交
于点F,DF=3,DE=2,则平行四边形ABCD
的周长为【】
A.5 B.7 C.10 D.14
二、填空题
1.(13·山东德州)如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和
CD上,下列结论:
①CE=CF②∠AEB=75°③BE+DF=EF④S正方形ABCD=2+
,
其中正确的序号是①②④.(把你认为正确的都填上)
2.(13·白银)如图,已知BC=EC,∠BCE=∠ACD,
要使△ABC≌△DEC,则应添加的一个条件
为 AC=CD .(答案不唯一,只需填一个)
三.解答题
1.(13·四川宜宾)如图,已知点E,C在线段BF上,
BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证:
△ABC≌△DEF.
B
能力提升
1.(13·湖北荆门)如图1,在△ABC中,AB=AC,
点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:
BE=CE;
(2)若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,如图2,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.
求证:
△AEF≌△BCF.
【设计意图】进一步巩固全等三角形性质和判定,学生独立完成达标题,教师要分析学生答题情况,为下一步教学提供依据.
六.分层作业,课堂延伸
必做题:
新课程复习指导:
P861、2、3、4、6、8、9题
选做题:
新课程复习指导:
P875、7、10、11题
【设计意图】作业的设计突出层次性,让学生都有所得、有所获,让不同层次的学生享受成功的喜悦.可更好地调动不同学生的学习热情,另一方面巩固了本课所学的知识,同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.为后续的教学做准备.
板书设计:
第十六讲全等三角形
知识网络:
考点
1.2.
3.4.
5.6.
课堂小结:
达标检测:
(见课件)
学生板演区
教学反思:
全等三角形是学习图形内容的甚而知识,是图形证明、计算的重要工具,因此在近年来中考试题中一直占有重要的地位,属必考内容,一般都渗透到解答题中,单独成题较少.一般都渗透到其它考题中联系起来考查,所以在设计时,结合本校学生实际,考虑学情,把抽象的理论知识具体化,模型化,简单明了,易于操作.让学生分析问题,解决问题,归纳方法,突破重难点.
教师积极引导,因势利导,协调合作,充分调动学生的学习积极性、主动性,充分体现学生是学习的主人.由于学生的基础较弱,能力参差不齐,教学要关注每一个学生,要有利于绝大多数学生的学习,所以进行分层施教,让人人有所学,人人有所会.促进学生增长知识,增长才干,推进成功教育,从而激发学生的学习兴趣,激活课堂气氛,提高课堂效率.通过中考题训练,让学生感受中考难易程度,认识中考,积累经验.
分层作业中设置不同层次的题目,发展学生的发散思维,使每个学生都有收获,都能体验成功的快乐,体会数学与生活紧密联系.
不足之处:
在上课过程中,担心学生由于基础差,不能很好的掌握知识,所以新课教学时间过长,学生练习时间短.问题的探究时,学生归纳不到位的地方教师要适时加以引导.由于课堂练习时间短,所以学生在灵活运用知识上还有欠缺,推理过程还不够规范.
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- 第十六讲 全等三角形 张范中学 杨治国 第十六 全等 三角形 中学 治国