第十八章 平行四边形基础卷解析版.docx
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第十八章平行四边形基础卷解析版
第十八章平行四边形(基础卷)
姓名:
__________________班级:
______________得分:
_________________
注意事项:
本试卷满分100分,考试时间90分钟,试题共23题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共12小题,每小题2分,共24分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,则下列结论不一定正确的是( )
A.CD=BDB.∠A=∠DCA
C.BD=ACD.∠B+∠ACD=90°
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等角对等边,直角三角形两锐角互余,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:
∵在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴CD=BD,CD=AD,
∴∠A=∠DCA,
∵∠B+∠A=90°,
∴∠B+∠ACD=90°,
∴A、B、D正确;
如果BD=AC,那么△ACD是等边三角形,
必须∠A=60°,题目没有这样的条件,所以C错误;
故选:
C.
【知识点】等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线
2.若平行四边形的两条对角线长为6cm和16cm,则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( )
A.5cmB.8cmC.12cmD.16cm
【答案】B
【分析】平行四边形的两条对角线互相平分,根据三角形形成的条件:
任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,进行判断.
【解答】解:
由题意可知,平行四边形边长的取值范围是:
8﹣3<边长<8+3,即5<边长<11.
只有选项B在此范围内,故选B.
【知识点】三角形三边关系、平行四边形的性质
3.平行四边形的周长为24cm,相邻两边的差为2cm,则平行四边形的各边长为( )
A.4cm,4cm,8cm,8cm
B.5cm,5cm,7cm,7cm
C.5.5cm,5.5cm,6.5cm,6.5cm
D.3cm,3cm,9cm,9cm
【答案】B
【分析】利用平行四边形两组邻边相等,进而再利用周长及两边的关系建立方程组即可求解.
【解答】解:
可设两边分别为xcm,ycm,
由题意可得
,
解得
,
所以平行四边形的各边长为5cm,5cm,7cm,7cm,
故选:
B.
【知识点】平行四边形的性质
4.如图,已知平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF交于H,BF、AD的延长线交于G,下面结论正确的是( )
①DB=
BE;
②∠A=∠BHE;
③连CG,则四边形BCGD为平行四边形;
④AD2+DH2=2DC2.
A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④
【答案】C
【分析】①根据等腰直角三角形的性质即可判断;
②通过三角形全等和平行四边形的性质即可判断;
③根据平行四边形的判定方法即可判断;
④通过线段的等量代换即可求得结果;
【解答】解:
∵∠BDE=45°,DE⊥BC,
∴DB=
BE,BE=DE.
∵DE⊥BC,BF⊥CD,
∴∠BEH=∠DEC=90°.
∵∠BHE=∠DHF,
∴∠EBH=∠CDE,
∴△BEH≌△DEC,
∴∠BHE=∠C,BH=CD,EH=EC,
∵▱ABCD中,
∴AD=BC,∠A=∠C,
∴∠A=∠BHE,
∴AD2+DH2=BC2+DH2=(BE+EC)2+(DE﹣HE)2=(BE+HE)2+(BE﹣HE)2=2BE2+2HE2=2(BE2+HE2)=2BH2=2DC2,
∴正确的有①②④.
故选:
C.
【知识点】平行四边形的判定与性质、勾股定理
5.若平行四边形中两个内角的度数比为1:
3,则其中较小的内角是( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
【答案】B
【分析】首先设平行四边形中两个内角分别为x°,3x°,由平行四边形的邻角互补,即可得x+3x=180,继而求得答案.
【解答】解:
设平行四边形中两个内角分别为x°,3x°,
则x+3x=180,
解得:
x=45°,
∴其中较小的内角是45°.
故选:
B.
【知识点】平行四边形的性质
6.如图,平地上A、B两点被池塘隔开,测量员在岸边选一点C,并分别找到AC和BC的中点M、N,测量得MN=8米,则A、B两点间的距离为( )
A.4米B.24米C.16米D.48米
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理计算即可.
【解答】解:
∵点M、N分别为AC和BC的中点,
∴MN是△ABC的中位线,
∴AB=2MN=16(米),
故选:
C.
【知识点】三角形中位线定理
7.如图,面积为1的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则△DEF的面积是( )
A.1B.
C.
D.
【答案】D
【分析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
【解答】解:
∵D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴DE=
AC,DF=
BC,EF=
AB,
∴
=
,
∴△DEF∽△ABC,
∴
=(
)2=(
)2=
,
∵等边三角形ABC的面积为1,
∴△DEF的面积是
,
故选:
D.
【知识点】等边三角形的性质、三角形中位线定理
8.如图,周长为20的菱形ABCD中,点E、F分别在边AB、AD上,AE=2,AF=3,P为BD上一动点,则线段EP+FP长度的最小值为( )
A.3B.4C.5D.6
【答案】C
【分析】在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1,连接EG,则EG与BD的交点就是P.EG的长就是EP+FP的最小值,据此即可求解.
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,周长为20,
∴AD=20,
在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=5﹣3=2,连接EG,EG与BD交于点P′,连接P′F,此时P′E+P′F的值最小,最小值=EG的长,
∵AE=DG=2,且AE∥DG,
∴四边形ADGE是平行四边形,
∴EG=AD=5.
故选:
C.
【知识点】菱形的性质、轴对称-最短路线问题
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,E为BC边的中点,则点E到中线CD的距离EF的长为( )
A.3B.4C.
D.
【答案】C
【分析】根据勾股定理得出AB,进而利用直角三角形的性质得出BD=DC=AD=5,利用三角形面积公式解答即可.
【解答】解:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=10,
∵中线CD,
∴AD=BD=CD=5,△BDC的面积=
△ABC的面积=
连接DE,
∵E为BC边的中点,
∴△DEC的面积=
△BDC的面积=6,
∵△DEC的面积=
,
可得:
,
解得:
EF=
,
故选:
C.
【知识点】直角三角形斜边上的中线
10.如图,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是( )
A.菱形B.平行四边形C.矩形D.不能确定
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质,可以得到∠B和∠BAD的度数,同理可以得到∠BCD和∠D的度数,然后根据矩形的判定方法即可得到四边形ABCD是矩形,本题得以解决.
【解答】解:
∵EF∥MN,
∴∠EAC+∠MCA=180°,
∵AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的角平分线,∠EAF=180°,
∴∠BAC+∠BCA=90°,∠BAD=90°,
∴∠B=90°,
同理可得,∠D=90°,∠BCD=90°,
∴四边形ABCD是矩形,
故选:
C.
【知识点】矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定
11.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE周长的最小值为( )
A.5B.6C.7D.8
【答案】B
【分析】连接ED交AC于一点F,连接BF,根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小,利用勾股定理求出DE即可得到答案.
【解答】解:
如图,连接ED交AC于一点F,连接BF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴点B与点D关于AC对称,
∴BF=DF,
∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE,此时△BEF的周长最小,
∵正方形ABCD的边长为4,
∴AD=AB=4,∠DAB=90°,
∵点E在AB上且BE=1,
∴AE=3,
∴DE=
,
∴△BFE的周长=5+1=6,
故选:
B.
【知识点】正方形的性质、勾股定理、轴对称-最短路线问题
12.如图,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,BE=4,EC=8,将正方形边AB沿AE折叠到AF,延长EF交DC于G,连接AG,FC,现在有如下4个结论:
①∠EAG=45°;②FG=FC;③FC∥AG;④S△GFC=14.
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】①正确.证明∠GAF=∠GAD,∠EAB=∠EAF即可.
②错误.可以证明DG=GC=FG,显然△GFC不是等边三角形,可得结论.
③正确.证明CF⊥DF,AG⊥DF即可.
④错误.证明FG:
EG=3:
5,求出△ECG的面积即可.
【解答】解:
如图,连接DF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC=CD,∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°,
由翻折可知:
AB=AF,∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°,BE=EF=4,∠BAE=∠EAF,
∵∠AFG=∠ADG=90°,AG=AG,AD=AF,
∴Rt△AGD≌Rt△AGF(HL),
∴DG=FG,∠GAF=∠GAD,设GD=GF=x,
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=
(∠BAF+∠DAF)=45°,故①正确,
在Rt△ECG中,∵EG2=EC2+CG2,
∴(4+x)2=82+(12﹣x)2,
∴x=6,
∵CD=BC=BE+EC=12,
∴DG=CG=6,
∴FG=GC,
易知△GFC不是等边三角形,显然FG≠FC,故②错误,
∵GF=GD=GC,
∴∠DFC=90°,
∴CF⊥DF,
∵AD=AF,GD=GF,
∴AG⊥DF,
∴CF∥AG,故③正确,
∵S△ECG=
×6×8=24,FG:
FE=6:
4=3:
2,
∴FG:
EG=3:
5,
∴S△GFC=
×24=
,故④错误,
故选:
B.
【知识点】翻折变换(折叠问题)、正方形的性质
二、填空题(本大题共4小题,每小题2分,共8分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
13.已知菱形的周长为20,一条对角线长为8,则菱形的面积为 .
【答案】24
【分析】菱形对角线互相垂直平分,所以OA2+OB2=AB2,已知AB=5,BO=4,即可求得AO,即可求得AC的长,根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积,即可解题.
【解答】解:
BD=8,则BO=DO=4,
菱形周长为20,则AB=5,
菱形对角线互相垂直平分,
∴OA2+OB2=AB2,
AO=3,AC=6,
故菱形的面积S=
×6×8=24.
故答案为24.
【知识点】勾股定理、菱形的性质
14.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知∠BOC=120°,DC=3cm,则AC的长为 cm.
【答案】6
【分析】根据矩形的性质即可求出答案.
【解答】解:
在矩形ABCD中,
∴OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC,
∵∠BOC=120°,
∴∠OCB=30°,
∵DC=3cm,
∴AB=CD=3cm
,
在Rt△ACB中,
AC=2AB=6cm,
故答案为:
6
【知识点】矩形的性质
15.如图,平行四边形ABCD中,点M是边BC的中点,线段AM、BD互相垂直,AM=3,BD=6,则该平行四边形的面积为 .
【答案】12
【分析】连接DM,根据平行四边形的性质和三角形中线的性质解答即可.
【解答】解:
连接DM,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
∴△ABD的面积=△BCD的面积,
∵点M是边BC的中点,
∴△BDM的面积=△CDM的面积=
△BCD的面积,
∵线段AM、BD互相垂直,AM=3,BD=6,
∴四边形ABMD的面积=
,
∴△ABD的面积=
,
∴四边形ABCD的面积=2×6=12,
故答案为:
12.
【知识点】平行四边形的性质、三角形的面积
16.如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,△CBE由△DAM平移得到,若过点E作EH⊥AC,H为垂足,则有以下结论:
①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;
②无论点M运动到何处,都有DM=
HM;
③在点M的运动过程中,四边形CEMD可能成为菱形;
④无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.
以上结论正确的有 (把所有正确结论的序号都填上).
【答案】①②④
【分析】①正确.证明∠ADM=30°,即可得出结论.
②正确.证明△DHM是等腰直角三角形即可.
③错误.首先证明四边形CEMD是平行四边形,再证明,DM>CD即可判断.
④正确.证明∠AHM<∠BAC=45°,即可判断.
【解答】解:
如图,连接DH,HM.
由题可得,AM=BE,
∴AB=EM=AD,
∵四边形ABCD是正方形,EH⊥AC,
∴EM=AD,∠AHE=90°,∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH,
∴EH=AH,
∴△MEH≌△DAH(SAS),
∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,
∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,
∴DM=
HM,故②正确;
当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,
∴∠ADM=45°﹣15°=30°,
∴Rt△ADM中,DM=2AM,
即DM=2BE,故①正确;
∵CD∥EM,EC∥DM,
∴四边形CEMD是平行四边形,
∵DM>AD,AD=CD,
∴DM>CD,
∴四边形CEMD不可能是菱形,故③错误,
∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,
∴∠AHM<∠BAC=45°,
17.已知:
如图,在▱ABCD中,点E在AB上,点F在CD上,且DE∥BF.
求证:
BE=DF.
【分析】根据平行四边形的性质和判定,可以得到四边形DEBF是平行四边形,然后即可得到BE=DF.
【解答】证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥BA,
∴DF∥BE,
又∵DE∥BF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴BE=DF.
【知识点】平行四边形的性质
18.如图,在▱ABCD中,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,求证:
BE=DF.
【分析】利用平行四边形的性质可得AD=BC,AD∥BC,再利用平行线的性质可得∠DAF=∠BCE,结合AAS判定△AFD≌△CEB,进而可得BE=DF.
【解答】证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAF=∠BCE.
又∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠AFD=∠CEB=90°,
在△AFD和△CEB中
,
∴△AFD≌△CEB(AAS),
∴BE=DF.
【知识点】全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质
19.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF.
(1)求证:
四边形ADFE是矩形;
(2)连接OF,若AD=6,EC=4,∠ABF=60°,求OF的长度.
【分析】
(1)由在平行四边形性质得到AB∥DC且AB=DC,由平行线的性质得到∠ABE=∠DCF,根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF,由全等三角形的性质得到AE=DF,∠AEB=∠DFC=90°,可得AE∥DF,根据矩形的判定即可得到结论;
(2)由矩形的性质得到EF=AD=6,进而求得BE=CF=2,BF=8,由∠ABE=60°可求得AB=2BE=4,由勾股定理可求得DF=AE=2
,BD=2
,由平行四边形性质得OB=OD,由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论.
【解答】
(1)证明:
∵在平行四边形ABCD中,
∴AB∥DC且AB=DC,
∴∠ABE=∠DCF,
在△ABE和△DCF中,
,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴AE=DF,∠AEB=∠DFC=90°,
∴AE∥DF,
∴四边形ADFE是矩形;
(2)解:
由
(1)知:
四边形ADFE是矩形,
∴EF=AD=6,
∵EC=4,
∴BE=CF=2,
∴BF=8,
Rt△ABE中,∠ABE=60°,
∴AB=2BE=4,
∴DF=AE=
,
∴BD=
=2
,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∴OF=
BD=
.
【知识点】平行四边形的性质、矩形的判定与性质
20.已知:
如图,平行四边形ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.
(1)求证:
△AOD≌△EOC;
(2)连接AC、DE,当∠B=∠AEB=45°时,求证四边形ACED是正方形.
【分析】
(1)根据平行线的性质可得∠D=∠OCE,∠DAO=∠E,再根据中点定义可得DO=CO,然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC;
(2)当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形,首先证明四边形ACED是平行四边形,再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形.
【解答】证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∴∠D=∠OCE,∠DAO=∠E.
∵O是CD的中点,
∴OC=OD,
在△AOD和△EOC中,
,
∴△AOD≌△EOC(AAS);
(2)∵△AOD≌△EOC,
∴OA=OE.
又∵OC=OD,
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B=∠AEB=45°,
∴AB=AE,∠BAE=90°
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠COE=∠BAE=90°.
∴▱ACED是菱形.
∵AB=AE,AB=CD,
∴AE=CD.
∴菱形ACED是正方形.
【知识点】正方形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质
21.已知平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,且CA=CB,延长BC至点E,使CE=BC,连接DE.
(1)当AC⊥BD时,求证:
BE=2CD;
(2)当∠ACB=90°时,求证:
四边形ACED是正方形.
【分析】
(1)根据已知条件得到四边形ABCD是菱形.求得BC=CD.得到BE=2BC,于是得到结论;
(2)根据平行四边形的性质得到AD=BC,AD∥BE,求得AD=CE,AD∥CE,推出平行四边形ACED是矩形,根据正方形的判定定理即可得到结论.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
∴BC=CD.
又∵CE=BC,
∴BE=2BC,
∴BE=2CD;
(2)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BE,
又∵CE=BC,
∴AD=CE,AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠ACB=90°,
∴平行四边形ACED是矩形,
又∵CA=CB,
∴CA=CE,
∴矩形ACED是正方形.
【知识点】正方形的判定、平行四边形的性质
22.如图,过△ABC边AC的中点O,作OE⊥AC,交AB于点E,过点A作AD∥BC,与BO的延长线交于点D,连接CD,CE,若CE平分∠ACB,CE⊥BO于点F.
(1)求证:
①OC=BC;
②四边形ABCD是矩形;
(2)若BC=3,求DE的长.
【分析】
(1)①根据角平分线定义得到∠OCE=∠BCE,由垂直的定义得到∠CFO=∠CFB=90°,根据全等三角形的性质即可得到结论;
②根据平行线的性质得到∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO,根据全等三角形的性质得到AD=BC,推出四边形ABCD是平行四边形,根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠EOC=90°,于是得到四边形ABCD是矩形;
(2)由矩形的性质得到AD=BC=3,∠DAB=90°,AC=BD,得到△OBC是等边三角形,求得∠OCB=60°,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】
(1)证明:
①∵CE平分∠ACB,
∴∠OCE=∠BCE,
∵BO⊥CE,
∴∠CFO=∠CFB=90°,
在△OCF与△BCF中,
,
∴△OCF≌△BCF(ASA),
∴OC=BC;
②∵点O是AC的中点,
∴OA=OC,
∵AD∥BC,
∴∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO,
在△OAD与△OCB中,
,
∴△OAD≌△OCB(ASA),
∴AD=BC,
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵OE⊥AC,
∴∠EOC=90°,
在△OCE与△BCE中,
,
∴△OCE≌△BCE(SAS),
∴∠EBC=∠EOC=90°,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=3,∠DAB=90°,AC=BD,
∴OB=OC,
∵OC=BC,
∴OC=OB=BC,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠OCB=60°,
∴∠ECB=
OCB=30°,
∵∠EBC=90°,
∴EB=
EC,
∵BE2+BC2=EC2,BC=3,
∴EB=
,EC=2
,
∵OE⊥AC,OA=OC,
∴EC=EA=2
,
在Rt△ADE中,∠DAB=90°,
∴DE=
=
=
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理
23.已知,如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=12cm,点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动,点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动,设点P、Q分别从点A、C同时出发,运动时间为t(秒)(0<t<6),回答下列问题:
(1)直接写出线段AP、AQ的长(含t的代数式表示):
AP= ,AQ= ;
(2)设△APQ的面积为S,写出S与t的函数关系式;
(3)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时间t,使四边形PQP′C为菱形?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
【答案】【第1空】2t
【第2空】6-t
【分析】
(1)根据∠A=60°,AB=12cm,得出AC的长,进而得出AP=2t,AQ=6﹣t.
(2)过点P作PH⊥AC于H.由AP=2t,AH=t,得出PH=
t,从而求得S与t的函数关系式;
(3)过点P作PM⊥AC于M,根据菱形的性质得PQ=PC,则可得出PN=QM=CM,求得t即可.
【解答】解:
(1)∵在Rt△ABC中,
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- 第十八章 平行四边形基础卷解析版 第十八 平行四边形 基础 解析