版理数练习第八章 第七节 双曲线.docx
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版理数练习第八章第七节双曲线
课时作业
A组——基础对点练
1.已知F为双曲线C:
x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B.3
C.mD.3m
解析:
双曲线方程为-=1,焦点F到一条渐近线的距离为.选A.
答案:
A
2.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=( )
A.2B.
C.D.1
解析:
因为双曲线的方程为-=1,所以e2=1+=4,因此a2=1,a=1.选D.
答案:
D
3.双曲线x2-4y2=-1的渐近线方程为( )
A.x±2y=0B.y±2x=0
C.x±4y=0D.y±4x=0
解析:
依题意,题中的双曲线即-x2=1,因此其渐近线方程是-x2=0,即x±2y=0,选A.
答案:
A
4.已知双曲线-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )
A.1B.
C.D.
解析:
在双曲线-y2=1中,a=,b=1,c=2.不防设P点在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|+|PF2|=2,∴|PF1|=+,|PF2|=-.又|F1F2|=2c=4,而|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴PF1⊥PF2,∴S△PF1F2=×|PF1|×|PF2|=×(+)×(-)=1.故选A.
答案:
A
5.已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0),直线l:
y=2x-2.若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点,则双曲线C的焦点到渐近线的距离为
( )
A.1B.2
C.D.4
解析:
根据题意,双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),其焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线,可知=2,直线l:
y=2x-2与x轴的交点坐标为(1,0),即双曲线C的一个顶点坐标为(1,0),即a=1,则b=2a=2,故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2,故选B.
答案:
B
6.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长,则该双曲线的离心率为
( )
A.B.2
C.D.2
解析:
不妨设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),因为焦点F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为a,所以=a,即=a,所以=1,所以该双曲线的离心率e===,故选C.
答案:
C
7.已知双曲线C:
-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
解析:
由题意得e==,又右焦点为F2(5,0),a2+b2=c2,所以a2=16,b2=9,故双曲线C的方程为-=1.
答案:
C
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )
A.-y2=1B.x2-=1
C.-=1D.-=1
解析:
由题意得c=,=,则a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1.
答案:
A
9.(2018·山西八校联考)已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2,则双曲线的离心率e为( )
A.B.
C.2+1D.+1
解析:
∵直线y=(x+c)过左焦点F1,且其倾斜角为30°,∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,∴∠F2PF1=90°,即F1P⊥F2P.∴|PF2|=|F1F2|=c,|PF1|=|F1F2|sin60°=c,由双曲线的定义得2a=|PF1|-|PF2|=c-c,∴双曲线C的离心率e===+1,选D.
答案:
D
10.已知F1,F2是双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是双曲线C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°,则双曲线C的渐近线方程是( )
A.x±y=0B.x±y=0
C.2x±y=0D.x±2y=0
解析:
不妨设|PF1|>|PF2|,则
所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,且|F1F2|=2c,即|PF2|为最小边,即∠PF1F2=30°,则△PF1F2为直角三角形,所以2c=2a,所以b=a,即渐近线方程为y=±x,故选A.
答案:
A
11.已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C的一条渐近线上,则C的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
解析:
依题意,解得,
∴双曲线C的方程为-=1.
答案:
A
12.已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为.
解析:
法一:
因为双曲线过点(4,)且渐近线方程为y=±x,故点(4,)在直线y=x的下方.设该双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),所以,解得故双曲线方程为-y2=1.
法二:
因为双曲线的渐近线方程为y=±x,故可设双曲线为-y2=λ(λ≠0),又双曲线过点(4,),所以-()2=λ,所以λ=1,故双曲线方程为-y2=1.
答案:
-y2=1
13.双曲线Γ:
-=1(a>0,b>0)的焦距为10,焦点到渐近线的距离为3,则Γ的实轴长等于.
解析:
双曲线的焦点(0,5)到渐近线y=x,即ax-by=0的距离为==b=3,所以a=4,2a=8.
答案:
8
14.已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线C的渐近线方程为y=±2x,则双曲线C的方程为.
解析:
易得椭圆的焦点为(-,0),(,0),
∴∴a2=1,b2=4,
∴双曲线C的方程为x2-=1.
答案:
x2-=1
15.(2018·合肥市质检)双曲线M:
-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线x=a与双曲线M的渐近线交于点P,若sin∠PF1F2=,则该双曲线的离心率为.
解析:
不妨设P为直线x=a与双曲线M的渐近线在第一象限内的交点,则P点坐标为(a,b),因为sin∠PF1F2=,所以|PF1|=3b,所以(a+c)2+b2=9b2,即9a2+2ac-7c2=0,7e2-2e-9=0,又e>1,解得e=.
答案:
B组——能力提升练
1.已知F1,F2是双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若在双曲线上存在点P满足2|+|≤||,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,]B.(1,2]
C.[,+∞)D.[2,+∞)
解析:
∵2|+|≤||⇒4||≤2c⇒||≤,又||≥a,∴a≤,即c≥2a,∴e=≥2.故选D.
答案:
D
2.若实数k满足0 A.离心率相等B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等D.焦距相等 解析: 由0 答案: D 3.(2018·云南五市联考)设P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,设|PM|-|PN|的最大值和最小值分别为m,n,则|m-n|=( ) A.4B.5 C.6D.7 解析: 易知双曲线的两个焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),恰为两个圆的圆心,两个圆的半径分别为2,1,所以|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=5,同理|PM|-|PN|的最小值为(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=(|PF1|-|PF2|)-3=-1,所以|m-n|=6,故选C. 答案: C 4.(2018·江南十校联考)已知l是双曲线C: -=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分别是C的左、右焦点,若·=0,则点P到x轴的距离为( ) A.B. C.2D. 解析: 由题意知F1(-,0),F2(,0),不妨设l的方程为y=x,点P(x0,x0),由·=(--x0,-x0)·(-x0,-x0)=3x-6=0,得x0=±,故点P到x轴的距离为|x0|=2,故选C. 答案: C 5.已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 解析: 根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD为矩形.双曲线的渐近线方程为y=±x,圆的方程为x2+y2=4,不妨设交点A在第一象限,由y=x,x2+y2=4得xA=,yA=,故四边形ABCD的面积为4xAyA==2b,解得b2=12,故所求的双曲线方程为-=1,选D. 答案: D 6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 解析: 因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为-=1. 答案: C 7.过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为点A,与另一条渐近线交于点B,若=2,则此双曲线的离心率为( ) A.B. C.2D. 解析: 不妨设B(x,-x),|OB|==c,可取B(-a,b),由题意可知点A为BF的中点,所以A(,),又点A在直线y=x上,则·=,c=2a,e=2. 答案: C 8.若直线l1和直线l2相交于一点,将直线l1绕该点逆时针旋转到与l2第一次重合时所转的角为θ,则角θ就称为l1到l2的角,tanθ=,其中k1,k2分别是l1,l2的斜率,已知双曲线E: -=1(a>0,b>0)的右焦点为F,A是右顶点,P是直线x=上的一点,e是双曲线的离心率,直线PA到PF的角为θ,则tanθ的最大值为( ) A.B. C.D. 解析: 设PA,PF的斜率分别为k3,k4,由题意可知tanθ=,不妨设P(,y)(y>0),则k3=,k4=.令m=-a,n=-c,则tanθ==,由m-n=c-a>0,得当+y取得最小值时tanθ取最大值,又y>0,m<0,n<0,所以+y≥2,当且仅当y=时等号成立,此时tanθ===,故选C. 答案: C 9.(2018·淄博模拟)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F1,作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的右支于点P,切点为T,PF1的中点M在第一象限,则以下结论正确的是( ) A.b-a=|MO|-|MT| B.b-a>|MO|-|MT| C.b-a<|MO|-|MT| D.b-a=|MO|+|MT| 解析: 如图,连接OT,则OT⊥F1T,在直角三角形OTF1中,|F1T|==b,连接PF2, ∵M为线段F1P的中点,O为F1F2的中点, ∴|OM|=|PF2|, ∴|MO|-|MT|=|PF2|-=(|PF2|-|PF1|)+b=×(-2a)+b=b-a,故选A. 答案: A 10.(2018·昆明市检测)已知点F为双曲线C: -=1(a>0,b>0)的一个焦点,以点F为圆心的圆与C的渐近线相切,且与C交于A,B两点,若AF⊥x轴,则C的离心率为. 解析: 不妨设F为双曲线的右焦点,则F(c,0),易知双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的焦点F到渐近线的距离d==b,所以圆F的半径为b.在双曲线方程中,令x=c,得y=±,所以A(c,±).因为点A在圆F上,所以=b,即a=b,所以c==a,所以e==. 答案: 11.双曲线-=1(a>0,b>0)上一点M(-3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2,则该双曲线的标准方程为. 解析: 不妨设双曲线-=1的右焦点F2(c,0)关于渐近线y=x对称的点在双曲线上, 则过焦点F2且垂直于该渐近线的直线方程为y-0=-(x-c),即y=-(x-c). 联立可得方程组 解得 由中点坐标公式可得F2关于渐近线对称的点的坐标为(-c,), 将其代入双曲线的方程可得-=1,化简可得c2=5a2,c2=a2+b2=5a2,所以b2=4a2.因为M(-3,4)在双曲线-=1上,所以-=1,-=1,所以a2=5,b2=20,则该双曲线的标准方程为-=1. 答案: -=1 12.设双曲线x2-=1的左,右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是. 解析: 由题意不妨设点P在双曲线的右支上,现考虑两种极限情况: 当PF2⊥x轴时,|PF1|+|PF2|有最大值8;当∠P为直角时,|PF1|+|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形,所以|PF1|+|PF2|的取值范围为(2,8). 答案: (2,8) 13.(2018·沈阳质量监测)已知P是双曲线-y2=1上任意一点,过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,求·的值. 解析: 设P(x0,y0),因为该双曲线的渐近线分别是-y=0,+y=0,所以可取|PA|=,|PB|=,又cos∠APB=-cos∠AOB=-cos2∠AOx=-cos=-,所以·=||·||·cos∠APB=·(-)=×(-)=-.
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