57用二元一次方程组确定一次函数表达式2 省级一等奖教案含反思.docx
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57用二元一次方程组确定一次函数表达式2省级一等奖教案含反思
5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式
第一环节 复习引入
内容:
(1)二元一次方程组与一次函数有何联系?
(2)二元一次方程组有哪些解法?
意图:
通过
(1)问,体会函数和方程之间的联系——二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图像的交点坐标;反之,两个一次函数图像的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解;所以方程问题可以转化为函数来解决,同样函数问题也可以通过方程问题来加以解决.为后面利用二元一次方程组确定一次函数的表达式埋下伏笔.通过
(2)问,让学生感受解决问题的方法的多样性和知识之间是
互相联系的,为后面利用作图像方法和代数方法解决议一议的问题作铺垫.
效果:
回忆旧知,为本节课学习新的知识做铺垫.
第二环节 设计实际问题情境,导入新课
内容:
教材议一议
A,B两地相距100千米,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距离S(千米)
都是
骑车时间t(时)的一次函数.1小时后乙距离A地80千米;2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间
两人将相遇?
目的:
通过实际问题情景,进一步加强函数与方程的联系,让学生在多种方法解决问题的思考和比较中体会作图像方法与代数方法各自的特点,为讲解待定系数法确定一次函数的解析式做好铺垫.同时理解知识之间有着广泛的联系.通过“小明的方法求出的结果准确吗?
”自然过渡到本节课的主要内容。
效果:
通过引例的分组探索,深刻理解图像方法可以更直观、形象,但缺乏准确,用代数方法虽然准确,但不够形象和直观.
第三环节典型例题,探究一次函数解析式的确定
内容:
例1某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费y(元)是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李,交了行李费5元,张华带了90千克的行李,交了行李费10元.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?
解:
(1)设
,根据题意,可得方程组
解该方程组,得
所以
(2)当x=30时,y=0.
所以旅客最多可免费携带30千克的行李.
例2 某市自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量分段收费办法,若某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示.
(1)分别写出当0≤x≤15和x>15时,y与x的函数关系式;
(2)若某用户十月份用水量为10吨,则应交水费多少元?
若该用户十一月份交了51元的水费,则他该月用水多少吨?
解:
(1)当0≤x≤15时,设
,根据题意得
,解得
所以当0≤x≤15时,
;
当x>15时,设
根据题意,可得方程组
解这个方程组,得
所以当x>15时,
.
(2)当x=10时,代入
中,得y=18.
当y=51时,代入
中,得x=25.
意图:
通过两个例题的探索,让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的方法;在设计本例题时,考虑到两种类型,一是利用文字提供的信息,一种是利用图像提供的信息,补充例2主要是承接第六章,一次函数图像的应用,进一步强化学生数形结合的意识,学会从图
形中获取有用的信息.
效果:
通过两个例题的讲解,让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体的做法,让学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法,使学生有知识迁移的基础.
第四环节 练习与提高
内容:
1.图中的两条直线
,
的交点坐标可以看做方程组的解
答案:
2.在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米)是所挂物体质量x(千克)的一次函数.当所挂物体的质量为1千克时弹簧长15厘米;当所挂物体的质量为3千克时,弹簧长16厘米.写出y与x之间的函数关系式,并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
答案:
当x=4时
,y=16.5
意图:
通过练习1,强化函数与方程的关系,同时也是利用二元一次方程组确定一次函数解析式这一方法的训练,目的在于加强学生数形结合思想的应用,以及从图形中获取有用的信息,同时也是对本节课教学重点的强化.让学生明白新旧知识之间是有着知识上的联系的;练习2是配合例1出的一个练习,目的是强化本节知识的重点“利用二元一次方程组确定一次函数解析式”.
效果:
通过学生的解答和老师的讲解,让学生掌握这类问题解决的
一般方法,为课堂小结做好铺垫.
第五环节 课堂小结
内容:
一、函数与方程之间的关系.
二、在解决实际问题时从不同角度思考问题,就会得到不一样的方法,从而拓展自己的思维.
三、掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤:
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式:
;
2.将已知条件代入上述表达式中得k,b的二元一次方程组;
3.解这个二元一次方程组得k,b,进而得到一次函数的表达式.
意图和效果:
让学生对本节课的内容作概括的归纳与整理.
第六环节 布置作业:
习题5·7
教学设计反思
(1)合理使用教材
事
物之间是存在普遍联系的,研究二元一次方程组与一次函数之间的关系应证了辨证唯物主义的这一观点.同时利用二元一次方程组解决一次函数问题也是初中阶段数学学习的一个重要内容.教材通过引例对图像方法与代数方法的比较,使学生了解解决应用问题的策略和方法是多样性的,同时也使学生理解图像方法与代
数方法在解决
具体问题中各自的优劣,从而对方法作出正确的选择.对于教材的这一方面的使用,教师应根据自己学生的特点,选择合理的方式去让学生理解不同方法去解决同一问题.
(2)如何突出重点、突破难点
本节课主要要求学生能够利用二元一次方程组解决一次函数
的解析式问题,根据一次函数解析式进一步解决相关的一些问题.要让学生理解为什么要用二元一次方程组去求解一次函数的解析式的必要性,从而掌握本堂课的基础知识.在教学的过程中,要让学生充分理解图像方法和代数方法解决问题的特点,在这个基础上,学生掌握用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题才会有着坚实的理论基础,有关这一方面的题目要让学生充分讨论,其理解才会深刻;同时要以这一部分的知识为载体,结合教材例题,在补充分段图形题,甚至表格题,让学生充分理解用方程的思想去解决函数问题.
(3)需要改进的方面
根据新课标的评价理念,教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平,关注的是学生对问题的理解水平和解决过程中的表述水平,关注的是学生对基本知识技能的掌握情况和应用二元一次方程组解决一次函数的解析式的相关问题的提高.教学中可通过学生对“做一做”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况和解决问题的意识和能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励,帮助学生认识自我,建立自信,发挥评价的教育功能.
7.3平行线的判定
第一环节:
情景引入
活动内容:
回顾两直线平行的判定方法
师:
前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想:
两条直线在什么情况下互相平行呢?
生1:
在同一平面内,不相交的两条直线就叫做平行线.
生2:
两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线互相平行.
生3:
同位角相等两直线平行;内错角相等两直线平行;同旁内角互补两直线平行.
师:
很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.
上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外,其他真命题都需要通过推理的方法证实.
我们知道:
“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢?
这节课我们就来探讨.
活动目的:
回顾平行线的判定方法,为下一步顺利地引出新课埋下伏笔.
教学效果:
由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识,教师通过对话的形式,可以使学生很快地回忆起这些知识.
第二环节:
探索平行线判定方法的证明
活动内容:
①证明:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
师:
这是一个文字证明题,需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意,可以把这个文字证明题转化为下列形式:
如图,已知,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补,求证:
a∥b.
如何证明这个题呢?
我们来分析分析.
师生分析:
要证明直线a与b平行,可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道:
∠1与∠3是同位角,所以只需证明∠1=∠3,则a与b即平行.
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角,即∠2+∠3=180°,所以:
∠3=180°-∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补
,即:
∠2+∠1=180°,所以∠1=180°-∠2,因此由等量代换可以知道:
∠1=∠3.
师:
好.下面我们来书写推理过程,大家口述,老师来书写.(在书写的同时说明:
符号“∵”读作“因为”,“∴”读作“所以”)
证明:
∵∠1与∠2互补(已知)∴∠1+∠2=180°(互补定义)
∴∠1=180°-∠2(等式的性质)∵∠3+∠2=180°(平角定义)
∴∠3=180°-∠2(等式
的性质)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴a∥b(同位角相等,两直线平行)
这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题,我们把这个真命题称为:
直线平行的判定定理.
这一定理可简单地写
成:
同旁内角互补,两直线平行.
注意:
(1)已给的公理,定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.
(2)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”.这些根据,可以是已知条件
,也可以是定义、公理,已经学过的定理.在初学证明时,要求把根据写在每一步推理后面的括号内.
②证明:
内错角相等,两直线平行.
师:
小明用下面的方法作出了平行线,你认为他的作法对吗?
为什么?
(见相关动画)
生:
我认为他的作法对.他的作法可用上图来表示:
∠CFE=45°,∠BEF=45°.因为∠BEF与∠FEA组成一个平角,所以∠FEA=180°-∠BEF=180°-45°=135°.而∠CFE与∠FEA是同旁内角.且这两个角的和为180°,因此可知:
CD∥AB.
师:
很好.从图中可知:
∠CFE与∠FEB是内错角.因此可知:
“内错角相等,两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.
师生分析:
已知,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:
a∥b
证明:
∵∠1=∠2(已知)∠1+∠3=180°(平角定义)
∴∠2+∠3=180°(等量代换)∴∠2与∠3互补(互补的定义)∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理:
内错角相等,两直线平行.
③借助“同位角相等,两直线平行”这一公理,你还能证明哪些熟悉的结论呢?
生1:
已知,如图,直线a⊥c,b⊥c.求证:
a∥b.
证明:
∵a⊥c,b⊥c(已知)
∴∠1=90°∠2=90°(垂直的定义)
∴∠1=∠2(等量代换)
∴b∥a(同位角相等,两直线平行)
生2:
由此可以得到:
“如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行”的结论.
师:
同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.
活动目的:
通过对学生熟悉的平行线判定的证明,使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理,并逐步掌握规范的推理格式.
教学效果:
由于学生有了以前学习过的相关知识,对几何证明题的格式有所了解,今天的学习只不过是
将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳,学生的认识更提高一步.
第三环节:
反馈练习
活动内容:
课本第231页的随堂练习第一题
活动目
的:
巩固本节课所学知识,让教师能对学生的状况进行分析,以便调整前进.
教学
效果:
由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理(公理),因此,
学生都能很快完成此题.
第四环节:
学生反思与课堂小结
活动内容:
①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下完成下表:
②由角的大小关系来证两直线平行的方法,再一次体现了“数”与“形”的关系;而应用这些公理、定理时,必须能在图形中准确地识别出有关的角.
③注意:
证明语言的规范化.推理过程要有依据.
活动目的:
通过对平行线的判定定理的归纳,使学生的认识有进一步的升华,再一次体会证明格式的严谨,体会到数学的严密性.
教学效果:
学生充分认识到证明步骤的严密性,对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识.
课后作业:
课本第232页习题6.4第1,2,3题
思考题:
课本第233页习题6.4第4题(给学有余力的同学做)
教学反思
平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一,它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系,即
通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否,在教学中,要紧紧围绕这些角(同位角、内错角、同旁内角)与平行线之间的关系展开。
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