第12讲 二次函数与方程不等式综合尖子班.docx

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第12讲二次函数与方程不等式综合尖子班

第12讲二次函数与方程、不等式综合

知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程

中的

决定。

若

，抛物线与x轴有两个交点，方程

有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。

若

，抛物线与x轴有一个交点，方程

有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。

若

，抛物线图象与x轴没有交点，方程

无实根，

抛物线在x轴上方，

，抛物线在x轴下方。

【典例】

1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）

A.没有交点B.只有一个交点，且它位于y轴右侧

C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧

【答案】D.

【解析】解：

当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，

∵a＞1

∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，

ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，

x=

＞0，

故选：

D．

2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______

【答案】﹣5＜t≤4

【解析】解：

如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，

当x=1时，y=3，

当x=5时，y=﹣5，

由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，

直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，

∴﹣5＜t≤4．

3.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：

则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（　　）

A.1.2＜x＜1.3B.1.3＜x＜1.4C.1.4＜x＜1.5D.1.5＜x＜1.6

【答案】C.

【解析】解：

由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．

ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．

故选：

C．

4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　）

A.x=﹣3B.x=﹣2C.x=﹣1D.x=1

【答案】C.

【解析】解：

∵方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，

∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．

∵此两点关于对称轴对称，

∴对称轴是直线x=

=﹣1．

故选：

C．

【方法总结】

解这类题的方法是：

求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。

当一元二次程的

，二次函数与x轴有两个交点，

时，二次函数与x轴有一个交点，

时，二次函数与x轴没有交点。

【随堂练习】

1．（2018•吉安二模）如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动．M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2）．x1的最小值为﹣3，则x2的最大值为（　　）

A．﹣1B．1C．3D．5

2．（2018•绵阳一模）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m能与x轴交，则两交点间的距离最值是（　　）

A．最大值2B．最小值2C．最大值2

D．最小值2

3．（2018•双桥区模拟）如图，抛物线y=（x﹣1）2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点D，M为抛物线的顶点，P（m，n）是抛物线上点A，C之间的一点（不与点A，C重合），以下结论：

①OC=4；②点D的坐标为（2，﹣3）；③n+3＞0；④存在点P，使PM⊥DM．

其中正确的是（　　）

A．①③B．②③C．②④D．①④

知识点2二次函数与一次函数的综合

求二次函数与一次函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的x值就是他们交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。

【典例】

1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_______

2.若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（　　）

A.

B.

C.

D.

3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．

（1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；

（2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．

4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；

（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．

【方法总结】

解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：

用矛盾法判定。

当这些系数没有矛盾时，此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。

应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：

开口方向、对称轴、顶点坐标等．

【随堂练习】

1．（2018•金牛区校级模拟）如图，已知直线y=

x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=

x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标______

知识点3二次函数与不等式的综合

1.二次函数

与一元二次不等式之间的关系

若

，

的解集为

；

的解集为

。

若

，

的解集为

；

的无解。

若

，

的解集为x可取任意实数。

的无解。

2.二次函数与一次函数不等关系

此类问题首先要先找到交点，如果交点为2个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，自变量相同，谁高谁大。

【典例】

1.如图，一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围______

2.若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是______

3.在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是_______

4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．

（1）求m的值和抛物线的解析式；

（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）

【方法总结】

解这类题的方法是：

先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点，牢记:

函数值大的函数在函数值小函数的上方！

【随堂练习】

1．（2018•历下区三模）若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是（　　）

A．2≤x≤3B．﹣1＜x＜1C．﹣1≤x≤1D．2＜x＜3

2．（2018•雁江区模拟）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是_____．

3．（2018•龙岩模拟）已知二次函数y1=kx2﹣2kx﹣3（k为常数且k＞0）与一次函数y2=x+1，令M=y1﹣y2．

（1）若y1，y2的函数图象相交于x轴上的同一点．

①求k的值；

②当x为何值时，M的值最小，试求出该最小值．

（2）当﹣2＜x＜3时，M随x的增大而减小，请写出y1，y2的大小关系并给予证明．

综合运用：

二次函数与方程、不等式的综合

1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在B的左边），与y轴交点为C，顶点为D．

（1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的位置准确）．

（2）若M（m﹣1，y1），N（m，y2）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比较y1，y2的大小关系．（直接写结果）

（3）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，写出实数n的范围．

（4）你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集吗？

写出你的结果．

2.已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3及一次函数y2=x+m．

（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；

（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值；

（3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．

3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：

例题：

求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．

（1）解法一：

选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．

（2）解法二：

利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．

如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．

（3）解法三：

利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　　　　　　的图象与一个一次函数y=　　的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．

4.利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：

在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

（1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法；

（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数字）