运筹学期末考试复习资料.docx
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运筹学期末考试复习资料
1.最小费用最大流
例1求下图所示网络中的最小费用最大流,弧旁的权是(bij,cij).
解:
(1)取初始可行流为零流f(0)={0},构造赋权有向图M(f(0)),求出从vs到vt的最短路(vs,v2,v1,vt),如下图中双箭头所示。
(2)在原网络D中,与这条最短路相对应的增广链为μ=(vs,v2,v1,vt)。
(3)在μ上对f(0)={0}进行调整,取θ=5,得到新可行流f
(1),如下图所示。
按照以上的算法,依次类推,可以得到f
(1),f
(2),f(3),f(4),流量分别为5,7,10,11,并且分别构造相对应的赋权有向图
M(f
(1)),(Mf
(2)),(Mf(3)),(Mf(4))
由于在Mf(4)中已经不存在从vs到vt的最短路,因此,可行流f(4),v(f
(1))=11是最小费用最大流。
2.灵敏度分析
(1)资源数量br变化的分析最优单纯形表如下
这里B=
求b2的增量Dbr变化范围:
所以b2的增量Dbr变化范围是[-8,16],显然b2的变化范围是[8,32]。
(2)目标函数中价值系数cj的变化分析
1)非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
例Maxz=-2x1-3x2-4x3
S.t.-x1-2x2-x3+x4=-3
-2x1+x2-3x3+x5=-4
x1,x2,x3,x4,x5≥0
求C3的变化范围?
解:
最优单纯形表
从表中看到可得到Δc3≤9/5时,c3≤-4+9/5=-11/5原最优解不变。
2)基变量对应的价值系数的灵敏度分析
例Maxz=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5
s.t.x1+2x2+x3=8
4x1+x4=16
4x2+x5=12
x1,x2,x3,x4,x5≥0
解:
下表为最优单纯形表,考虑基变量系数c2发生变化
σj=cj-(c1×a1j+c5×a5j+(c2+Δc2)×a2j)j=3,4可得到-3≤Δc2≤1时,原最优解不变。
(3)增加一个约束
3.割平面法
例:
用割平面法求解数规划问题
Cj
1
1
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
0
x3
6
2
1
1
0
0
x4
20
4
5
0
1
-Z
1
1
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
1
x1
5/3
1
0
5/6
-1/6
1
x2
8/3
0
1
-2/3
1/3
-Z
-13/3
0
0
-1/6
-1/6
在松弛问题最优解中,x1,x2均为非整数解,由上表有:
将系数和常数都分解成整数和非负真分数之和
以上式子只须考虑一个即可,解题经验表明,考虑式子右端最大真分数的式子,往往会较快地找到所需割平面约束条件。
以上两个式子右端真分数相等,可任选一个考虑。
现选第二个式子,并将真分数移到右边得:
引入松弛变量s1后得到下式,将此约束条件加到上表中,继续求解。
Cj
1
1
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
s1
1
x1
5/3
1
0
5/6
-1/6
0
1
x2
8/3
0
1
-2/3
1/3
0
0
s1
-2/3
0
0
-1/3
-1/3
1
-Z
-13/3
0
0
-1/6
-1/6
0
Cj
1
1
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
s1
1
x1
5/3
1
0
5/6
-1/6
0
1
x2
8/3
0
1
-2/3
1/3
0
0
s1
-2/3
0
0
-1/3
-1/3
1
-Z
-13/3
0
0
-1/6
-1/6
0
得到整数最优解,即为整数规划的最优解,而且此整数规划有两个最优解:
X*=(0,4),Z=4,或X*=(2,2),Z=4。
4.分支定界法
例:
用分枝定界法求解整数规划问题(用图解法计算)
记为(IP)
解:
首先去掉整数约束,变成一般线性规划问题
记为(LP)
用图解法求(LP)的最优解,如图所示。
x1=18/11,x2=40/11
Z(0)=-218/11≈(-19.8)
即Z也是(IP)最小值的下限。
对于x1=18/11≈1.64,取值x1≤1,x1≥2
对于x2=40/11≈3.64,取值x2≤3,x2≥4
先将(LP)划分为(LP1)和(LP2),取x1≤1,x1≥2
有下式:
现在只要求出(LP1)和(LP2)的最优解即可。
先求(LP1),如图所示。
此时B在点取得最优解。
x1=1,x2=3,Z
(1)=-16
找到整数解,问题已探明,此枝停止计算。
同理求(LP2),如图所示。
在C点取得最优解。
即x1=2,x2=10/3,
Z
(2)=-56/3≈-18.7∵Z2 ∴原问题有比(-16)更小的最优解,但x2不是整数,故利用 3≥10/3≥4加入条件。 加入条件: x2≤3,x2≥4有下式: 只要求出(LP3)和(LP4)的最优解即可。 先求(LP3),如图所示。 此时D在点取得最优解。 即x1=12/5≈2.4,x2=3, Z(3)=-87/5≈-17.4 但x1=12/5不是整数,可继续分枝。 即x1≤2,x1≥3。 求(LP4),如图所示。 无可行解,不再分枝。 在(LP3)的基础上继续分枝。 加入条件x1≤2,x1≥3有下式: 只要求出(LP5)和(LP6)的最优解即可。 先求(LP5),如图所示。 此时E在点取得最优解。 即x1=2,x2=3,Z(5)=-17 找到整数解,问题已探明,此枝停止计算。 求(LP6),如图所示。 此时F在点取得最优解。 x1=3,x2=2.5, Z(6)=-31/2≈-15.5>Z(5) 如对Z(6)继续分解,其最小值也不会低于-15.5,问题探明,剪枝。 至此,原问题(IP)的最优解为: x1=2,x2=3, Z*=Z(5)=-17 以上的求解过程可以用一个树形图表示如右: 5.贝叶斯 例: 某石油钻探队准备在一远景区勘探石油,根据预测估计钻井出油的概率为0.3,可以自己钻探或是出租。 自己钻探的费用为1000万元,出油可收入4000万元; 如果出租,租金为200万元,若有油租金再增加100万元。 为获更多情报,可以先做地震试验,再行决策。 地震试验将有油区勘测为封闭构造的概率为0.8;将无油区勘测为开放构造的概率为0.6。 地震试验费为100万元。 试用决策树法进行决策。 由题意知,有油事件q1的概率P (1)=0.3,无油事件q2的概率P (2)=0.7,这是先验概率; 后验概率则是封闭构造而有油的概率P(1|I1)=0.8,开放构造而无油的概率P(2|I2)=0.4。 6.大M法 例: 标准化 单纯形表 cj 3 -1 -1 0 0 -M -M CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 -M -M x4 x6 x7 11 3 1 1 -4 -2 -2 1 0 1 2 [1] 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 1 σj 3-6M -1+M -1+3M 0 -M 0 0 0 -M -1 x4 x6 x3 10 1 1 3 0 -2 -2 [1] 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 -1 -2 1 σj 1 -1+M 0 0 -M 0 -3M+1 0 -1 -1 x4 x2 x3 12 1 1 [3] 0 -2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 -2 -1 0 2 1 0 -5 -2 1 σj 1 0 0 0 -1 0 -3M+1 3 -1 -1 x1 x2 x3 4 1 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1/3 0 2/3 -2/3 -1 -4/3 2/3 1 4/3 -5/3 -2 -7/3 σj 0 0 0 -1/3 -1/3 -M+1/3 -M+2/3 最优值和最优解X*=(4,1,9,0,0)T,x6*=x7*=0;z*=2。 7.互补松弛性定理 例: 原问题 的最优解为X*=(0,0,4,4)T。 试利用互补松弛定理求对偶问题最优解。 解: 先写出对偶问题 求解 , Y*=(6/5,1/5,0),z*=w*=28。 8.根据原问题最优表写出对偶问题的最优解和最优值 例: 原问题 已知它的最优表,求对偶最优解。 Cj 10 18 0 0 0 CB xB b x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 540/7 0 0 1 -23/7 11/7 10 x1 50/7 1 0 0 5/7 -3/7 18 x2 200/7 0 1 0 -1/7 2/7 -Z -4100/7 0 0 0 -32/7 -6/7 解: 写出对偶问题 计算步骤原问题的初始单纯形表中的基变量的技术系数-最终单纯形表中的检验数 即y1*=0-0=0,y2*=0-(-32/7)=32/7,y3*=0-(-6/7)=6/7则 Y*=(0,32/7,6/7),W=4100/7 9.目标规划 某厂生产A、B、C三种产品,装配工作在同一生产线上完成,三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时,生产线每月正常工作时间为200小时;三种产品销售后,每台可获利分别为500、650和800元;每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下: (1)利润指标为每月16000元,争取超额完成; (2)充分利用现有生产能力; (3)可以适当加班,但加班时间不得超过24小时; (4)产量以预计销售量为准。 试建立目标规划模型。 解: x1、x2、x3分别表示三种产品的产量,则该问题的目标规划模型为: 10.背包问题: 借的书245页第3题
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