七年级数学下册 第一章回顾与反思教案 北师大版.docx

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七年级数学下册第一章回顾与反思教案北师大版

教学设计思想：

本节为一堂复习课；教师可以以问题的形式帮助学生总结本章的内容，在学生充分思考、交流的基础上，引导学生梳理本章的结构框架.

一、教学目标

（一）知识与技能

1.整式的概念及其加减混合运算.

2.幂的运算性质（即同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂和负整数指数幂）.

3.整式的乘法运算（即包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式）.

4.整式的除法运算（即单项式除以单项式，多项式除以单项式）.

5．整式及整式运算的综合应用，进一步巩固整式加减法、乘除法的运算法则及算理.

6．乘法公式的灵活应用.

7．整式的混合运算.

（二）过程与方法

1.以“问题情景——数学模型——求解模型”为主要线索，经历从问题情景中寻求数量关系，发展符号感，并用符号运算解决一些问题.

2.回顾整式的运算法则的探究过程，发展推理能力和表达能力，培养学生“观察——归纳——概括”的思维方法和策略.

3.回顾从面积的角度解释多项式乘法、平方差公式、完全平方公式等内容，并直观上认识和解释它们.

4.回顾整式运算的每一步算理，重视幂的意义的作用和乘方分配律的作用，渗透转化、类比的思想.

（三）情感、态度与价值观

1.在回顾与思考的过程中，培养学生应“用数学”的意识和信心.

2.在用符号表示现实情景中问题时，体会数学的简捷美，培养对学习数学的兴趣.

二、教学重难点

（一）教学重点

在回顾与思考本章重要内容的同时，建立本章的知识结构网络图.

（二）教学难点

灵活运用所学知识解决问题.

三、教具准备

投影片.

四、教学方法

启发引导式.

五、教学安排

2课时.

六、教学过程

Ⅰ.创设情景，引入新课

［师］这一章，我们学习了整式的概念及整式的运算.

这一节课，我们一起回顾与反思这一章的重要内容.

Ⅱ.讲述新课，建立本章知识结构框架图

1.举例说明什么是整式.

2.说说如何进行整式的加减运算.

［师］请同学们针对上面的两个问题，然后再作回答.

［生］例如：

一件夹克标价为a元，现按标价的7折出售，则售价用代数式表示为0.7a元.

再例如：

3月12日是植树节，七年级一班和二班的同学参加了植树活动，一班种了a棵树，二班种的比一班的2倍还多b棵，两个班一共种了（3a+b）棵树.

我们把像0.7a这样表示数字与字母的乘积的代数式叫做单项式；像（3a+b）表示的是几个单项式的和的代数式叫做多项式，单项式和多项式统称为整式.

［师］0是整式吗？

［生］是.因为单独的一个数或一个字母也是单项式，所以所有的有理数都是单项式.

［师］关于单项式和多项式还有什么规定？

［生］单项式的次数是这个单项式中所有字母的指数和.单独的一个非零数的次数是0.

一个多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.

例如7n的次数是1，

x－by3的次数是4.

［师］我们来回顾一下第2个问题的内容？

你能举例说明吗？

［生］进行整式的加减时，如果遇到有括号先去括号，然后再合并同类项.例如

（5mn－2m+3n）－（7m+7mn）

=5mn－2m+3n－7m－7mn（去括号）

=－2mn－9m+3n（合并同类项）

［师］接下来，我们再来一块回顾幂的运算性质，并回答下面两个问题

3.说一说如何进行幂的运算，每一步的依据是什么？

4.用2、3、4组成一个算式，使得运算结果最大.

［生］幂的运算性质，包括有同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底幂的除法，我们会结合下列表格说明如何进行幂的运算，及其每一步的依据（学生自我展示，用实物投影仪）.

同时我们还由同底数幂的除法得出了零指数幂和负整数指数幂的定义：

当m=n时，am÷an=am－n=a0=1（m、n是正整数，a≠0）；

当m

am÷an

=

=

=am－n.

即

=am－n（a≠0,m、n是正整数）

令n－m=p,

则m－n=－p.

所以a－p=

（a≠0,p是正整数）

［师生共析］我们知道乘方运算可以使数增长的速度飞快.用2、3、4组成的算式，为使运算结果尽量大，于是我们想到了用2、3、4组成幂的形式，而且幂的指数也是幂的形式，可以使数尽量大.由这三个数可组成6个尽量大的算式.即

.

比较它们的大小，有计算器的同学借助于计算器，没有可计算、估测一下.例如

和

，由于34=81，43=64，所以

=281，

=264，所以

>

.……

把它们从大到小的顺序排列为

>

=

=

>

>

.

所以，运算结果最大的一个算式应该是

.

［师］接下来，我们来看第5、6个问题

5.说一说如何做整式的乘法.有关整式的乘法公式有哪些？

6.举例说明如何进行单项式除以单项式，多项式除以单项式运算.

［生］整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式（包含乘法公式）.

例如（

a2b3）·（－15a2b2c3）

=［

×（－15）］·（a2·a2）·（b3·b2）·c3－5a4b5c3

由此看出单项式与单项式相乘，是利用乘法的交换律、结合律把它们的系数、相同字母的幂相乘,其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.

［生］例如

xy2（

x2y－6xy）

=（

xy2）·（

x2y）+

xy2·（－6xy）

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

［生］也就是说，单项式与多项式相乘可根据乘法分配律转化成单项式与单项式的乘法.

［师］多项式与多项式该如何乘？

［生］多项式与多项式的乘法也可以利用乘法分配律，把其中的一个多项式看成一个整体，转化成单项式与多项式相乘的方法运算.

例如：

（m+b）（m+a）=m（m+a）+b（m+a）=m2+ma+bm+ab

［生］在多项式与多项式相乘中，还有特殊的多项式乘法即乘法公式，利用乘法公式进行计算，必须抓住其公式的特点.

平方差公式：

（a+b）（a－b）=a2－b2,其中a、b可以是数，也可以是整式.它表示两个数和与差的积等于它们的平方差.

完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2,其中a、b可以是数，也可以是整式，它表示两数和（差）的平方等于它们的平方和加上（减去）它们积的2倍.

同时我们还可以利用拼图做出上述两个公式的几何解释.

［生］6.单项式除以单项式，例如：

a4b2c2d÷（

ab2c）=（1÷

）·（a4÷a）·（b2÷b2）·（c2÷c）·d=2a3cd.

即单项式除以单项式，把系数、同底的幂分别相除后作为商的一个因式；只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.

多项式除以单项式.例如：

（4a3b－6a2b2+12ab3）÷（2ab）

=（4a3b）÷（2ab）－（6a2b2）÷（2ab）+（12ab3）÷（2ab）

=2a2－3ab+6b2

即多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.其实，多项式除以单项式，是利用乘法分配律转化成为单项式除以单项式来运算的.

Ⅲ.建立本章的知识框架图

［师］同学们通过反思本章的内容，可以交流一下，本章的框架图应如何建立.

［师生共析］本章的框架图如下：

Ⅳ.课堂练习

1.随着通过市场竞争日益激烈，某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（）

A.（

b－a）元B.（

b+a）元

C.（

b+a）元D.（

b+a）元

2.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：

输入

…

1

2

3

4

…

输出

…

2

5

10

17

…

那么，当输入的数据是8时，输出的数据是.

［生］1.根据题意，得原收费标准每分钟为

+a=

b+a（元），所以应选D.

2.根据表格可知，输入的计算程序应为：

n2+1,所以当n=8时，n2+1=82+1=65.输出的数据应为65.

［师生共析］上面两个问题充分说明整式可以表示现实情景中的问题.更进一步说明整式学习的必要性.

下面我们共析下面的判断题

3.判断题

（1）

是单项式；（）

（2）3abc的次数是1；（）

（3）2x2+3x2y2－y2的次数是二次；（）

（4）6x2+5x=11x3；（）

（5）3a2+4b2=7（a2+b2）；（）

（6）－

（2m－4n）=m－2n；（）

（7）－x3－4x2+4+x=4－（x3－4x2+x）.（）

解：

（1）×，

是多项式；

（2）×，3abc的次数应为3；

（3）×，2x2+3x2y2－y2的次数是4次；

（4）×，6x2+5x中6x2,5x不是同类项，不能合并；

（5）×，3a2+4b2中两项不是同类项，不能合并；

（6）×，利用乘法分配律，－

（2m－4n）=－

×2m－（－

）×4n=m+2n；

（7）×,添括号发生错误，－x3－4x2+4+x=4－（x3+4x2－x）.

［师生共析］1.单项式和多项式的定义及其次数的定义的理解；2.整式的加减运算，如果有括号先去括号，最后合并同类项.去括号时特别注意括号前面是“－”号情况，合并同类项，一定先判定是否为同类项，例如3a2和4b2,6x2和5x都不是同类项.

4.

（1）A与2x2y－5xy2+6y3的和为3x2－4x2y+5y2,求A.

（2）已知x=3时，多项式ax3+bx+1的值是5.

求当x=－3时，多项式ax3+bx+1的值.

［师生共析］解：

（1）根据加法和减法互为逆运算，得A=（3x2－4x2y+5y2）－（2x2y－5xy2+6y3）

=3x2－4x2y+5y2－2x2y+5xy2－6y3

=3x2－6x2y+5xy2+5y2－6y3；

（2）当x=3时，ax3+bx+1=27a+3b+1=5,即27a+3b=4；

当x=－3时，ax3+bx+1=－27a－3b+1=－（27a+3b）+1=－4+1=－3.

出示投影片（§1.10.2D）

（1）（π－3）0；

（2）3－2；

（3）（0.04）2003×［（－5）2003］2；

（4）（－2a）·a－（－2a）2；

（5）（2a+2b+1）（2a+2b－1）=63,求a+b的值；

（6）设（5a+3b）2=（5a－3b）2+A,则A为多少；

（7）x+y=－5,xy=3,求x2+y2；

（8）已知xa=3,xb=5,求x3a－2b；

（9）一个正方形的边长增加了2cm,面积相应地增长了32cm2,求这个正方形的边长.

（10）下列计算正确的是（）

A.x3+x2=2x5B.x2·x3=x6

C.（－x3）2=－x6D.x6÷x3=x3

（11）若x（y－1）－y（x－1）=4,求

－xy的值.

［师生共析］解：

（1）（π－3）0=1；

（2）3－2=

=

；

（3）（0.04）2003×［（－5）2003］2

=（0.04）2003×［25］2003

=［0.04×25］2003=12003=1

（4）（－2a）·a－（－2a）2

=－2a2－4a2=－6a2

（5）根据平方差公式的特征，得

（2a+2b+1）（2a+2b－1）=63

［2（a+b）+1］［2（a+b）－1］=63

［2（a+b）］2－12=63

［2（a+b）］2=64

4（a+b）2=64

（a+b）2=16

所以a+b的值为±4.

（6）由（5a+3b）2=（5a－3b）2+A

得A=（5a+3b）2－（5a－3b）2

=［（5a+3b）+（5a－3b）］［（5a+3b）－（5a－3b）］

=（10a）·（6b）=60ab

或A=（5a+3b）2－（5a－3b）2

=（25a2+30ba+9b2）－（25a2－30ba+9b2）

=25a2+30ab+9b2－25a2+30ab－9b2

=60ab

（7）由（x+y）2=x2+y2+2xy,得

x2+y2=（x+y）2－2xy

=（－5）2－2×3=25－6=19

（8）（逆用幂的运算性质）由（xa）3=33，即x3a=27；（xb）2=52=25,即x2b=25.

得x3a－2b=x3a÷x2b=27÷25=

.

（9）设这个正方形的边长为acm，根据题意，得

（a+2）2－a2=32

a2+4a+4－a2=32

4a=28

a=7

这个正方形的边长为7cm.

（10）A不正确.x3和x2不是同类项，不能想当然地合并；

B也不正确，x2·x3是同底数幂的乘法：

底数不变，指数相加，即x2·x3=x2+3=x5；

C也不正确，（－x3）2=［（－1）·x3］2=（－1）2·（x3）2=x6；

D正确.

（11）x（y－1）－y（x－1）=4.

xy－x－xy+y=4,－x+y=4,x－y=－4.

所以

－xy=

=

=

=8.

Ⅴ.课后作业

课本P47~48，复习题的B组、C组

Ⅵ.活动与探究

请你观察下列算式，再填空：

32－12=8×1，52－32=8×2，

（1）72－52=8×.

（2）92－（）2=8×4.

（3）（）2－92=8×5.

（4）132－（）2=8×.

……

通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：

，并证明.

［过程］观察可以发现：

等式的左边是相邻奇数的平方差.右边是8的倍数.

［结果］

（1）72－52=8×3；

（2）92－（7）2=8×4；

（3）（11）2－92=8×5；

（4）132－（11）2=8×6；

……

规律：

（2n+1）2－（2n－1）2=8n（n为正整数）

证明：

左边=（2n+1）2－（2n－1）2

=［（2n+1）+（2n－1）］［（2n+1）－（2n－1）］

=（4n）·2=8n

即（2n+1）2－（2n－1）2=8n.

七、板书设计

单元复习