第六章万有引力与航天.docx

第六章万有引力与航天.docx

《第六章万有引力与航天.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章万有引力与航天.docx（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第六章万有引力与航天

第六章万有引力与航天

一行星的运动

［要点导学］

1．开普勒第一定律又称轨道定律，它指出：

所有行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。

远日点是指__________，近日点是指_________。

不同行星的椭圆轨道是不同的，太阳处在这些椭圆的一个公共焦点上。

2．开普勒第二定律又称面积定律。

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

所以行星在离太阳比较近时，运动速度________。

行星在离太阳较远时，运动速度_________。

3．开普勒第三定律又称周期定律，内容是：

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

该定律的数学表达式是：

_________。

4．对于多数大行星来说，它们的运动轨道很接近圆，因此在中学阶段，可以把开普勒定律简化，认为行星绕太阳做匀速圆周运动。

行星的轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

这样做使处理问题的方法大为简化，而得到的结果与行星的实际运动情况相差并不大。

5.开普勒行星运动定律，不仅适用于行星，也适用于其它卫星的运动。

研究行星运动时，开普勒第三定律中的常量k与________有关，研究月球、人造地球卫星运动时，k与____________有关。

6.地心说是指____________________________________，日心说是指__________

_____________________________________。

以现在的目光来看地心说与日心说不过是参考系的改变，但这是一次真正的科学革命，日心说的产生不仅仅是人们追求描绘自然的简洁美，更是使得人们的世界观发生了重大的变革，意大利科学家布鲁诺曾为此付出生命的代价！

两种观点的斗争反映了科学与反科学意识形态及宗教神学的角逐。

也能反映科学发展与社会文化发展的相互关系。

［范例精析］

例1：

地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化。

冬至这天地球离太阳最近，夏至最远。

下列关于地球在这两天绕太阳公转速度大小的说法中，正确的是（）

A．地球公转速度是不变的

B．冬至这天地球公转速度大

C．夏至这天地球公转速度大

D．无法确定

解析：

冬至地球与太阳的连线短，夏至长。

根据开普勒第二定律，要在相等的时间内扫过的面积相等，则在相等的时间内冬至时地球运动的路径就要比夏至时长，所以冬至时地球运动的速度比夏至的速度大，答案选B

拓展：

本题要比较行星在轨道不同位置时运动的快慢，可以比较相同时间内行星在不同位置时运动的路线长度，而开普勒第二定律则告诉了我们，相同时间内行星与太阳的连线扫过的面积相等，根据几何关系，可以找到行星与太阳的连线扫过的面积和行星运动路线长度的关系，从而解决问题。

例2．根据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的9大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转周期约为288年。

若把它和地球绕太阳公转的轨道看作圆，问它与太阳的距离是地球与太阳距离的多少倍？

（最后结果可用根式表示）

解析：

本题要求行星到太阳的距离，由于可以把该行星和地球的轨道看作圆，则行星和地球到太阳的距离就是它们的轨道半径。

题中给出了行星运动的周期，可以根据开普勒第三定律直接求解。

根据开普勒第三定律有：

a地3/T地2=a行3/T行2

得：

拓展：

开普勒第三定律，揭示了行星运动轨道与运动周期之间的联系。

当将行星运动轨道看成圆时，公式中的半长轴就是行星运动的轨道半径。

开普勒定律不仅适用于行星，也适用于围绕同一行星运动的各个卫星。

一般行星或卫星（人造卫星），涉及到轨道和周期的问题，不管是椭圆轨道还是圆轨道，在中学物理中通常运用开普勒分析、求解。

例3．飞船沿半径为R的圆轨道运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处减速，将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆与地面的B点相切，实现着陆，如图所示。

如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点的时间。

解析：

飞船先后在两个轨道上运动，一次作半径为R的圆周运动，一次是椭圆轨道运动。

飞船绕地球的圆轨道又可以看作两个焦点重合在地心的椭圆轨道。

从A点运动到B点的时间就是飞船在椭圆轨道上运动周期的二分之一，可以利用开普勒第三定律求出飞船在椭圆轨道运动的周期，进而求出飞船从A点到B点的运动时间。

设飞船的椭圆轨道的半长轴为R1，运动周期为T1，根据开普勒第三定律有：

根据几何关系，

解得：

所以飞船从A点到B点所需要的时间为

拓展：

运用开普勒第三定律计算天体的运动时间，一般都要寻找运动时间与天体做椭圆运动周期的联系，天体运动的轨道半长轴（或轨道半径）则可以通过几何关系与已知长度联系起来。

再用开普勒第三定律建立天体运动的轨道半长轴（或轨道半径）与天体运动周期联系，求得所需要的结果。

［能力训练］

1．关于太阳系中行星运动的轨道，以下说法正确的是（BC）

A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆

B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆

C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的

D．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是相同的

2．把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动，比较各行星周期，则离太阳越远的行星（B）

A．周期越小B．周期越大C．周期都一样D．无法确定

3．一年四季,季节更替.地球的公转带来了二十四节气的变化.一年里从立秋到立冬的时间里,地球绕太阳运转的速度___________,在立春到立夏的时间里,地球公转的速度___________.（填“变大”、“变小”或“不变”）变大,变小

4．有一颗叫谷神的小行星，它离太阳的距离是地球离太阳的2.77倍,那么它绕太阳一周的时间是_________年。

4.6

5．一颗近地人造地球卫星绕地球运行的周期为84分钟，假如月球绕地球运行的周期为30天，则月球运行的轨道半径是地球半径的_________倍。

64

6．天文观测发现某小行星绕太阳的周期是27地球年，它离太阳的最小距离是地球轨道半径的2倍，求该小行星离太阳的最大距离是地球轨道半径的几倍？

16倍

7．天文学者观测到哈雷慧星的周期是75年，离太阳最近的距离是8.9×1010m，但它离太阳最远的距离不能测得。

试根据开普勒定律计算这个最远距离。

（太阳系的开普勒常量k=3.354×1018m3/s2）5.2×1012m

8．月球的质量约为7．35×1022kg绕地球运行的轨道半径是3．84×105km，运行周期是27.3天，则月球受到地球所施的向心力的大小是多少？

4.7×1026

9．宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近似圆形轨道，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运动的周期是多少年？

27年

10．一个近地（轨道半径可以认为等于地球半径）卫星，绕地球运动的周期为84分钟，而地球同步通信卫星则位于地球赤道上方高空，它绕地球运行的周期等于地球自转的周期，试估算地球同步通信卫星的高度。

5.6R

二、太阳与行星间的引力

［要点导学］

1．天体引力的假设：

牛顿认为物体运动状态发生改变的原因是受到力的作用，如果没有力的作用物体将保持静止或匀速直线运动状态。

行星围绕太阳运动，一定受到了力的作用。

这个力是太阳对行星的引力。

2．太阳与行星间的引力推导思路（将椭圆轨道近似看作圆轨道来推导）：

（1）行星运动需要的向心力:

，根据开普勒第三定律:

得到：

太阳对行星的引力

（其中m为行星质量，r为行星与太阳的距离）

（2）太阳和行星在相互作用中的地位是相同的，只要作相应的代换，就可以得到结果。

行星对太阳的引力

（其中M为太阳的质量，r为太阳到行星的距离）

（3）因为这两个力是作用力与反作用力，大小相等，所以概括起来，得到

，写成等式，比例系数用G表示，有

。

（4）虽然在中学阶段只能将椭圆轨道近似看作圆轨道来推导，但仍要明确：

牛顿是在椭圆轨道下进行推导的。

牛顿是在前人的基础上做出了伟大发现，牛顿的发现还在于他有正确的科学思想和超凡的数学能力。

［范例精析］

例题：

证明开普勒第三定律中，各行星绕太阳公转周期的平方与公转轨道半径的三次方的比值k是与太阳质量有关的恒量。

　　解析：

行星绕太阳运动的原因是受到太阳的引力，引力的大小与行星质量、太阳质量及行星到太阳的距离（行星公转轨道半径）有关。

这个引力使行星产生向心加速度，而向心加速度与行星公转的周期和轨道半径有关，这样就能建立太阳质量与行星公转周期和轨道半径之间的联系。

设太阳质量为M，某行星质量为m，行星绕太阳公转周期为T，半径为R。

将行星轨道近似看作圆，万有引力提供行星公转的向心力，有

得到

，

其中G是行星与太阳间引力公式中的比例系数，与太阳、行星都没有关系。

可见星绕太阳公转周期的平方与公转轨道半径的三次方的比值k是与太阳质量有关的恒量。

　　拓展：

在解决有关行星运动问题时，常常用到这样的思路：

将行星的运动近似看作匀速圆周运动，而匀速圆周运动的向心力则由太阳对行星的引力提供。

研究其它天体运动也同样可以用这个思路，只是天体运动的向心力由处在圆心处的天体对它的引力提供。

［能力训练］

1．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的（D）

A.1/4B.4倍C.16倍D.64倍。

2．对于太阳与行星间引力的表述式

，下面说法中正确的是（D）

A.公式中G为引力常量，它是人为规定的

B.当r趋近于零时，太阳与行星间的引力趋于无穷大

C.太阳与行星受到的引力总是大小相等的、方向相反，是一对平衡力

D.太阳与行星受到的引力总是大小相等的、方向相反，是一对作用力与反作用力

3．关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是（BCD）

A．神圣和永恒的天体的匀速圆周运动无需要原因，因为圆周运动是最美的。

B．行星绕太阳旋转的向心力来自太阳对行星的引力

C．牛顿认为物体运动状态发生改变的原因是受到力的作用。

行星围绕太阳运动，一定受到了力的作用。

D．牛顿把地面上的动力学关系应用到天体间的相互作用，推导出了太阳与行星间的引力关系

4．在宇宙发展演化的理论中，有一种学说叫“宇宙膨胀说”，就是天体的距离在不断增大，根据这理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（BC）

A．公转半径较大

B．公转周期较小

C．公转速率较大

D．公转角速度较小

5．若火星和地球都绕太阳做匀速圆周运动，今知道地球的质量、公转的周期和地球与太阳之间的距离，今又测得火星绕太阳运动的周期，则由上述已知量可求出（BCD）

A．火星的质量

B．火星与太阳间的距离

C．火星的加速度大小

D．火星做匀速圆周运动的速度大小

6．假设地球与月球间的引力与地球表面物体受到的重力是同种性质的力，即力的大小与距离的二次方成反比。

已知月心和地心的距离是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为9.8m/s2，试计算月球绕地球做圆周运动的向心加速度。

3×10-3m/s2

7．假设某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球的一半。

若地球上近地卫星的周期为84分钟.则该星球上的近地卫星的周期是多少？

9.9分钟

8．如果牛顿推导的太阳与行星间引力的表达式中，引力的大小与其距离的n次方（n≠2）成反比，各行星的周期与其轨道半径的二次方成正比，则n的值是多大？

n=3

三、万有引力定律

［要点导学］

1．牛顿经过长期的研究思考，提出了他的假想：

行星与太阳间的引力、地球吸引月球的力以及地球表面物体所受到的引力都是同一种性质的力，遵循同一个规律，即它们的大小都与距离的二次方成反比。

2．“月—地检验”将月球的向心加速度与地面附近的重力加速度进行比较，证明了地球对它表面附近物体的引力与地球对月球的引力以及太阳和行星间的引力符合同样的规律，是同一种力。

“月—地检验”的过程，应用了“猜想假设—实验（事实）验证”的科学思想方法。

“月—地检验”基本思路是：

月球到地心的距离是地面上物体到地心距离（地球半径）的60倍，如果月球受到地球的引力与地面上物体受到的力是同一种力，也就是引力的大小与距离的二次方成反比，那么月球的向心加速度应该是地面上物体重力加速度的1/602。

牛顿通过计算，证实了他的假想，进而提出了万有引力定律。

3．万有引力定律的内容是：

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。

其数学表达式是_______________。

万有引力定律的发现，证明了天体运动和地面上运动遵守共同的力学原理，实现了天地间力学的大综合，第一次揭示了自然界中的一种基本相互作用规律。

这是人类认识历史上的一个重大飞跃。

万有引力在天体运动中起着主要作用，在宇宙探索研究中有很重要的应用。

万有引力定律适用于计算两个质点间的万有引力，对于质量均匀分布的球体，仍可以用万有引力定律，公式中的r为球心之间的距离。

另外当两个物体间的距离比它们自身的尺寸大得多的时候，可以把两个物体当作质点，应用万有引力定律进行计算。

当研究物体不能看成质点时，可把物体假想分割成无数个质点，求出一个物体上每个质点与另一物体上每一个质点的万有引力然后求合力。

4．卡文迪许扭秤实验证明了万有引力的存在及正确性，并使得万有引力定律可以定量计算，推动了天文学的发展。

充分体现了实验对物理学发展的意义。

说明了实践是检验真理的唯一标准。

［范例精析］

例1：

氢原子有一个质子和围绕质子运动的电子组成，已知质子的质量为1.67×10-27kg，电子的质量为9.1×10-31kg，如果质子与电子的距离为1.0×10-10m，求它们之间的万有引力。

解析：

本题由于质子和电子的尺寸大小远小于它们间的距离，可以将它们看作质点，运用万有引力定律直接求解。

根据万有引力定律质子与电子之间的万有引力为

N

答：

电子与质子之间的万有引力大小为1.01×10-47N。

拓展：

应用万有引力定律计算物体间的万有引力时，应该注意万有引力定律的适用条件。

万有引力定律适用于计算两个质点间的万有引力，对于质量均匀分布的球体，仍可以用万有引力定律，公式中的r为球心之间的距离。

另外当两个物体间的距离比它们自身的尺寸大得多的时候，可以把两个物体当作质点，应用万有引力定律进行计算。

例2：

设地球表面物体的重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为（）

A．1B．1/9C．1/4D．1/16

解析：

本题是万有引力定律的简单应用，物体在地球表面的重力加速度和在高空中的加速度都是由地球对物体的万有引力产生的。

根据万有引力定律和牛顿第二定律就可以解决该题。

设地球质量为M，质量为m的物体受到地球的万有引力产生加速度，在地球表面和高空分别有:

解得:

g/g0=1/16

答案选：

D

拓展：

物体运动的加速度由它受到的力产生，通常情况下不考虑地球的自转，物体受到的重力大小就认为等于它受到地球的万有引力。

本题中物体在地面的重力加速度和高空中运动的加速度都认为是万有引力产生的，然后运用牛顿第二定律，建立物体受到的万有引力与物体运动的加速度之间的联系，从而解决问题。

例3：

卡文迪许测出万有引力常量后，人们就能计算出地球的质量。

现公认的引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2，请你利用引力常量、地球半径R和地面重力加速度g，估算地球的质量。

（R=6371km，g=9.8m/s2）

解析：

应用万有引力定律计算地球质量，需要知道物体和地球间的万有引力，本题中可以认为引力等于重力，用重力加速度表示引力。

根据万有引力定律

，

得:

=5.967×1024kg

答：

地球得质量为5.967×1024kg。

拓展：

在应用万有引力定律解决有关地面上物体和地球的问题时，通常可以将重力和万有引力相替代。

［能力训练］

1．对于万有引力定律的表述式

，下面说法中正确的是（AD）

A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的

B.当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大

C.m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力

D.m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关

2．下列关于陨石坠向地球的解释中，正确的是（B）

A．陨石对地球的吸引力远小于地球对陨石的吸引力

B．陨石对地球的吸引力和地球对陨石的吸引力大小相等，但陨石的质量小，加速度大，所以改变运动方向落向地面

C．太阳不再吸引陨石，所以陨石落向地球

D．陨石受到其它星球的斥力而落向地球

3．设地球表面物体的重力加速度为g0，某卫星在距离地心3R（R是地球的半径）的轨道上绕地球运行，则卫星的加速度为（B）

A．g0B．g0/9C．g0/4D．g0/16

4．地球质量大约是月球质量的81倍,在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（B）

A．1:

27B.1:

9C.1:

3D.9：

1

5．设想把一质量为m的物体放在地球的中心，这时它受到地球对它的万有引力是（A）

A.0B.mg（g=9.8m/s2）C.∞D.无法确定

6．宇宙间的一切物体都是互相极引的，两个物体间的引力大小，跟它们的成正比，跟它们的成反比，这就是万有引力定律.万有引力恒量G＝6.67×10-11.第一个比较精确测定这个恒量的是英国物理学家.

质量的乘积,距离的二次方,Nm2/kg2,卡文迪许

7.月球的质量约为7．35×1022kg,绕地球运行的轨道半径是3．84×105km,运行的周期是27.3天，则月球受到地球所施的向心力的大小是_____。

2.33×1020

8．地球是一个不规则的椭球，它的极半径为6357km，赤道半径为6378km，已知地球质量M=5.98×1024kg。

不考虑地球自转的影响，则在赤道、极地用弹簧秤测量一个质量为1kg的物体，示数分别为多少？

9.87N,9.81N

9．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球的一半。

若从地球上高h处平抛一物体，射程为15m，则在该星球上从同样的高度，以同样的初速度平抛该物体，其射程为多少？

2.5m

10．某行星自转一周所需时间为地球上的6小时。

若该行星能看作球体，它的平均密度为3.03×103kg/m3。

已知万有引力恒量G=6.67×10-11N·m2/kg2，在这行星上两极时测得一个物体的重力是10N。

则在该行星赤道上称得物重是多少？

9.5N

四、万有引力理论的成就

［要点导学］

1．计算天体质量（或密度）。

应用万有引力定律计算天体质量的基本思路和方法是将围绕某天体的行星的运动看成圆周运动，根据行星运动的向心力由它们间的万有引力提供建立方程，求出天体质量（或密度）。

（1）在不考虑地球自转的影响时，地面上物体受到的引力大小等于物体的重力。

利用

。

解得地球质量_________。

卡文迪许用扭秤测量了铅球间得作用力大小，得到了引力常量G，进而计算了地球的质量。

从而使得万有引力定律进入定量计算领域，有了更实用的意义。

（2）根据卡文迪许计算地球质量的思路，我们还可以计算天体表面的重力加速度，某行星表面物体受到行星的引力大小等于物体在该行星表面的重力

，解得:

。

式中M为行星质量，R为行星半径

（3）行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以列出方程，从中解出太阳的质量。

（4）假如一个近地卫星（离地高度忽略，运动半径等于地球半径R）的运行周期是T。

有:

，解得地球质量为___________;由于地球的体积为

可以计算地球的密度为:

______________.

2．发现未知天体等：

问题的发现：

天文学家在用牛顿的引力理论分析天王星运动时，发现用万有引力定律计算出来的天王星的轨道与实际观测到的结果不相符，发生了偏离。

两种观点：

一是万有引力定律不准确；二是万有引力定律没有问题，只是天王星轨道外有未知的行星吸引天王星，使其轨道发生偏离。

亚当斯和勒维耶的计算及预言：

亚当斯和勒维耶相信未知行星的存在（即第二种假设）。

他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。

伽勒的发现：

1846年，德国科学家伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星。

和预言的位置只差1度。

在理论指导下进行有目的的观察，用观察到的事实结果验证了万有引力定律的准确性。

1930年，汤姆根据洛韦尔对海王星轨道异常的分析，发现了冥王星。

未知天体的发现是根据已知天体的轨道偏离，由万有引力定律推测并计算未知天体的轨道并预言它的位置从而发现未知天体。

［范例精析］

例1：

地球和月球的中心距离大约是r=4×108m，试估算地球的质量。

估算结果要求保留一位有效数字。

解析：

月球是绕地球做匀速运动的天体，它运动的向心力由地球对它的引力提供。

根据牛顿定律和万有引力定律，可以列式求出地球质量。

月球绕地球运动的周期约为27.3天，由于本题是估算，且只要求结果保留一位有效数字，可以取月球周期T=30天。

设地球质量为M，月球质量为m，有

得到地球质量

拓展：

本题主要是依据课本计算太阳质量的思路和方法进行计算，从中体会解题思路和方法。

由于有关天体的数据计算比较复杂，要注意细心、准确，提高自己的估算能力。

例2：

已知地球半径R约为6.4×106m，地球质量M约为6×1024kg，引力常量G为6.67×10-11Nm2/kg2，近地人造地球卫星的周期T近约为85min，估算月球到地心的距离。

解析：

本题的研究对象为月球，可以认为它绕地球做匀速圆周运动，圆周运动的向心力由地球对它的引力提供。

本题还可以用到一个常识，即月球的周期T为一个月，约为30天。

解法一：

对月球，万有引力提供向心力，有

（m为月球质量）

得：

答：

月球到地心的距离为4×108m。

解法二：

对月球有

设地面上有一物体质量为m’，在不考虑地球自转时有

，得

，

代入上式得到

答：

月球到地心的距离为4×108m。

解法三：

利用开普勒第三定律求解：

得:

=4×108m

答：

月球到地心的距离为4×108m。

拓展：

本题方法一和方法二，仍然依据“将天体运动看成圆周运动，天体和中心天体间得万有引力提供向心力”的思路解题。

方法一利用地球质量和引力常量，方法二运用地球表面物体的重力近似等于引力，作了替换

。

这种方法常常会被采用。

方法三则运用开普勒第三定律解决勒问题。

学习中要开阔思路，多练习从不同角度去思考问题。

例3：

两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

解析:

双星之间的相互引力提供它们做匀速圆周运动的向心力，由于向心力总指向圆心，所以圆心在两星的连线上，且它们的角速度相同。

如图所示，虚线圆是它们的轨道。

设它们的质量分别是m1、m2，两星到圆心的距离分别是L1、L2，做圆周运动的周期为T，根据万有引力提供向心力，有

由于

解得：

拓展：

对于这种问题，不仅要明确万有引力提供向心力，还要注意到天体运动的特点和空间位置分布，特别要注意，万有引力中的距离L和两星做圆周运动的半径L1、L2之间的区别。

另外要明确两星运动之间的联系，即向心力、周期相同。

1．人造地球卫星A