北京市中考数学专题突破七阅读理解型问题含答案.docx

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北京市中考数学专题突破七阅读理解型问题含答案

专题突破（七）　阅读理解型问题　

阅读理解类题主要是对题目的理解、转化、运用等进行考查，内容丰富，形式多样．要求学生能够在较短的时间里，分析、比较、综合概括，并用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．

2011－20XX年北京第22题考点对比

年份

2011

2012

2013

2014

2015

考点

阅读理解、平移变换、画图、面积计算

阅读理解、平移变换、坐标变换计算

阅读理解、等积变换

阅读理解、勾股定理、构造直角三角形

阅读理

解、运用

已学研

究函数

的方法

探究新

函数性质

1．[2015·北京]有这样一个问题：

探究函数y＝x2＋的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2＋的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）函数y＝x2＋的自变量x的取值范围是________；

（2）下表是y与x的几组对应值．

x

…

－3

－2

－1

－

－

1

2

3

…

y

…

－

－

－

m

…

求m的值；

（3）如图Z7－1，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；

图Z7－1

（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：

____________．

2．[2013·北京]阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图Z7－2①，在边长为a（a>2）的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积．

图Z7－2

小明发现：

分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四个全等的等腰直角三角形（如图②）．请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为________；

（2）求正方形MNPQ的面积．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图Z7－3，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边三角形RPQ.若S△RPQ＝，则AD的长为________．

图Z7－3

3．[2011·北京]阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：

如图Z7－4①，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．

图Z7－4

小伟是这样思考的：

要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形（如图②）．

请你回答：

图②中△BDE的面积等于________．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图Z7－5，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.

图Z7－5

（1）在图中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于________．

1．[2015·西城一模]阅读下面的材料：

小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：

如果α，β都为锐角，且tanα＝，tanβ＝，求α＋β的度数．

小敏是这样解决问题的：

如图Z7－6①，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD＝α，∠CBE＝β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得α＋β＝∠ABC＝________°.

请参考小敏思考问题的方法解决问题：

如果α，β都为锐角，当tanα＝4，tanβ＝时，在图②的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON＝α－β，由此可得α－β＝________°.

图Z7－6

2．[2015·海淀一模]阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图Z7－7①，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于点D，交AC于点E.已知CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，求BC＋DE的值．

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图②）．

图Z7－7

请回答：

BC＋DE的值为________．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，求∠AGF的度数．

3．[2015·门头沟一模]阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图Z7－8①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC，AD之间的数量关系．

小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图②）．

图Z7－8

请回答：

（1）在图②中，小明得到的全等三角形是△________≌△________；

（2）BC和AC，AD之间的数量关系是________．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图Z7－9，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝9.求AB的长．

图Z7－9

4．[2015·东城二模]阅读材料：

如图Z7－10①，若P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．

图Z7－10

证明：

延长PO交⊙O于点B，显然PB>PA.

如图Z7－10②，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连接PC，OC.

∵PO

且PO＝PA＋OA，OA＝OC，

∴PA

∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．

由此可以得到真命题：

圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．

请用上述真命题解决下列问题．

（1）如图Z7－11①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是半圆上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是________．

图Z7－11

（2）如图Z7－11②，在边长为2的菱形中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C.

①求线段A′M的长；

②求线段A′C长的最小值．

5．[2015·海淀二模]阅读下面材料：

小明研究了这样一个问题：

求使得等式kx＋2－＝0（k>0）成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为kx＋2＝，再通过研究函数y＝kx＋2的图象与函数y＝的图象（如图Z7－12①）的交点，使问题得到解决．

图Z7－12

请回答：

（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为________；

（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为________；

（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为________．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

关于x的不等式x2＋a－<0（a＞0）只有一个整数解，求a的取值范围．

参考答案

北京真题体验

1.解：

（1）x≠0

（2）令x＝3，y＝×32＋＝＋＝，

∴m＝.

（3）图略

（4）答案不唯一，如：

①该函数没有最大值；

②该函数在x＝0处断开；

③该函数没有最小值；

④该函数图象不经过第四象限．

2．解：

（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，

每个等腰直角三角形的面积为a·a＝a2，

则拼成的新正方形的面积为4×a2＝a2，即与原正方形ABCD的面积相等．

∴这个新正方形的边长为a.

故答案为a.

（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，

∴S正方形MNPQ＝S△ARE＋S△DWH＋S△GCT＋S△SBF＝4S△ARE＝4××12＝2.

（3）如图所示，分别延长RD，QF，PE交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W.

由题意易得△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．

不妨设等边三角形ABC的边长为a，则SF＝AC＝a.

如图所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF＝SF＝a.

在Rt△RMF中，RM＝MF·tan30°＝a×＝a，

∴S△RSF＝a·a＝a2.

如图所示，过点A作AN⊥SD于点N，设AD＝AS＝x，

则AN＝AD·sin30°＝x，SD＝2ND＝2AD·cos30°＝x，

∴S△ADS＝SD·AN＝·x·x＝x2.

∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和＝3S△RSF＝3×a2＝a2，正三角形ABC的面积为a2，∴S△RPQ＝S△ADS＋S△CFT＋S△BEW＝3S△ADS，

∴＝3×x2，得x2＝，

解得x＝或x＝－（不合题意，舍去），

即AD的长为.

故答案为.

3．解：

△BDE的面积等于1.

（1）如图，以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP.

（2）以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于.

北京专题训练

1.解：

45.

解决问题：

画图如图所示．

45.

2．解：

BC＋DE的值为.

解决问题：

如图，连接AE，CE.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB平行且等于DC.

∵四边形ABEF是矩形，

∴AB平行且等于FE，BF＝AE，

∴DC平行且等于FE，

∴四边形DCEF是平行四边形，

∴CE平行且等于DF.

∵AC＝BF＝DF，

∴AC＝AE＝CE，

∴△ACE是等边三角形，

∴∠ACE＝60°.

∵CE∥DF，

∴∠AGF＝∠ACE＝60°.

3．解：

（1）ADC　△A′DC

（2）BC＝AC＋AD.

解决问题：

如图，在AB上截取AE＝AD，连接CE.

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠EAC.

又∵AC＝AC，

∴△ADC≌△AEC，

∴AE＝AD＝9，CE＝CD＝10＝BC.

过点C作CF⊥AB于点F，

∴EF＝BF.

设EF＝BF＝x.

在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，由勾股定理，得CF2＝CB2－BF2＝102－x2.

在Rt△CFA中，∠CFA＝90°，由勾股定理，得CF2＝AC2－AF2＝172－（9＋x）2.

∴102－x2＝172－（9＋x）2，

解得x＝6.

∴AB＝AE＋EF＋FB＝9＋6＋6＝21.

故AB的长为21.

4．解：

（1）－1

（2）①∵△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，

∴A′M＝AM＝1.

②由①知，点A′在以点M为圆心，1为半径的圆上．

如图，连接CM交⊙M于点A′，此时A′C的长度最小，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为H.

在Rt△MHD中，

DH＝DM·cos∠HDM＝，

MH＝DM·sin∠HDM＝.

在Rt△CHM中，

CM＝＝＝，

∴A′C＝－1.

5．解：

（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为1.

（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为2.

（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为1.

解决问题：

将不等式x2＋a－<0（a＞0）转化为x2＋a<（a＞0）．