简谐振动与频谱分析解析.docx

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简谐振动与频谱分析解析

第一章简谐振动与频谱分析

这一章是一些基础内容，主要介绍：

（1）简谐振动的特点及表示方法、

（2）周期振动的谐波分析、（3）非周期振动的谱分析、（4）单位脉冲函数的定义、性质、应用等。

现实中很多结构振动（特别是人造的结构振动）是可以用函数关系表示的（揭示振动规律），根据运动表现形式振动可分为：

（1）周期振动；

（2）非周期振动。

而简谐振动是最简单的周期振动，重要的是周期振动可以分解为多个简谐振动的叠加。

§1.1简谐振动的表示方法及合成

数学知识：

1.%（/）=Asin（^+（p）

x=Acocos（a）t+

2

x=-Aco1sin（6?

r+

2・=cos&+isin&i=y/^1

Z=A严9；Z=S严F；Z=

3・sinA+sin3=2sin"+"・cos_—（和差化积）

22

1.简谐振动的表示

（1）简谐振动的一般表示

简谐振动是周期振动中最简单的一种，它可以用正弦函数表示为

x（/）=Asin（血+

A——振幅，e——圆频率，（p——初相位

e乂称角频率，它与频率f,周期T的关系为

3=2叮=—（1.2）

T

CO（rad/s）,f（Hz）,T（s）,为了方便，以后也称“为频率。

从简谐振动的函数形式而言，若确定了振幅、频率及初相位这三者就完全确

定了一个简谐振动，通常把振幅、频率和相位称为简谐振动的三要素。

图M

若X是位移，则

速度x=Acocqs（coi+

2

加速度x=-Aco1sin（期+（p）=Aco1sin（^yr+

可见，简谐振动的速度也是简谐运动，其速度的相位超前位移兰，简谐振动的加

2

速度也是简谐运动，其加速度的相位超前速度兰。

2

从位移、速度、加速度的表达式可以看到它们的频率是相同，幅值是频率的函数。

为测量提供了依据。

根据加速度的式子，我们有

X=-CCTX（1.5）

即加速度大小与位移成正比，但方向总与位移相反，始终指向平衡位置，上式改写为

仝+宀0

dr

显然这个微分方程的解是以"为频率的正弦函数或余弦函数。

（2）简谐振动的旋转矢量表示

简谐振动可以用平面上匀速旋转的矢量来表示。

旋转矢量在x轴的投影ON即简谐振动。

利用旋转矢量能直观形象地表示简谐振动位移、速度、加速度之间的关系。

AM

（D

Aco

（1

0

图1-2

（3）复数表示

—个复数

Z==Acos（/^T

容易得到

x=Im（Z）

（1.12）

x=Im（Z）x=Im（Z）

简谐振动的复数表示方法较便于分析，在以后解方程时常用到。

2・简谐振动的合成

（1）两个相同频率的简谐振动的合成仍是简谐振动，并保持原来的频率，这个很容易证明，自己看讲义。

（2）频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。

频率比为有理数时，合成为周期振动，频率比为无理数时，合成为非周期振动。

设

X|=Asin（①/+%）

x2=A2sin（6?

2r+

乂设频率比为有理数

（m、n为互质整数）

cox_m

改写为:

2龙2兀

n・——=m・——

n-T2=m-7]

证x=x}+x2

x{t+T）=Xj（/+T）+x2（t+T）=xx（t+mT}）+x2（t+nT2）=x^t）+x2（t）

=40

所以，T就是州与w的合成后的周期，所以这时合成后的运动是周期运动。

当频率比为无理数时

即找不到周期T,所以这时合成的运动不是周期运动。

图1-3

（3）频率很接近的两个简谐振动的合成会出现“拍”的现象。

设两个频率很接近的简谐振动为

X|=Asin（①/+%）

x2=A2sin（dJ2/+

设co{-co2=2sS小量

x=x}+x2=Asin（6?

/+cp,）+A2sin（6?

2r+

[sin（/y/+

改写

+-:

-2-[sin（6?

/4-q）]）-sin（幻+

为了简单起见，仅考虑振幅人与V接近的情况，上式的第二项可以忽略不计，利用三角函数的基本关系

x（t）=（A】+A,）cos（£t+申匚％）•sin（®_®t+卩十°-）

_2」22

这是一个可以变振幅的简谐振动，振动频率为竺严，振幅为（£+4）与零之间缓慢地周期性变化，如书P12页图1-4所示，这种现象称为“拍”，振幅的包络为

A（t）=（Ax+A,）cos（s-r+—~）

2

“拍”的周期为冬。

［数学周期为对称所以取一半］。

£8

对于儿和人不接近的惜况，合成振动是频率接近为号i的变幅振动。

“拍”的现象在振动试验中是很有用的。

§1.2周期振动的谐波分析

数学知识：

4.x（/）=E（/）+O（/）

£（/）：

关于原点的偶函数，数学特征：

£（/）=£（-/）例如：

cos（血）=cos（-〃）

O（t）:

关于原点的奇函数，数学特征：

O（/）=2（T）

例如：

sin（6X）=—sin（—of）

5・JyE（f）sin（©/）c〃=0

•.・j7E（t）sin（a）nf）（/f=-JrE（-f）sin（-

或：

E（-f）sin（-©/）=-E（/）sin（6V）是奇函数。

J\O（t）cos（cont）dt=0

f0f0（•—

・・•J7-O（t）CQS{CDnt）dt=-J70（-t）cos（-cont）dt=-J（；O（/）cos（©/）〃/

或：

O（-r）cos（-©/）=-0（/）cos⑷/）是奇函数。

rr

J\E（t）cos（a）nt）dt=2£2E（f）cos（q/）d/

L（）L

j7E⑴cos{cont）dt=jrE（t）cos（a）nt）dt+J2E（f）cos（©/）df*2~°

•=-J*；E（-/）cos（-©/）d/+E（t）cos（cont）dt

*2

=£2E（t）cos（cont）dt+£2E（f）cos（砒）（〃=2j（:

E（f）cos（a）nt）dt

或：

・・・E（-/）cos（-®f）=E（t）cos（cont）是偶函数。

TT

J\0（/）sin（ej）=2£2O⑴sin（cont）dt

Lol

J；O（t）sin（a）nt）dt=jtO（t）sin（①/）df+J；O（t）sin（cont）dt

T

-J；O（-f）sin（-e/）d/+£20（7）sin（

2

rrr

=J：

O（t）sin（ty/）〃f+J；O（f）sin（a）nf）e/t=2J；O（f）sin（a）nt）dt

或：

・.・O（-f）sin（-e/）=O⑴sin（qf）是偶函数。

规律：

偶偶得2（1+1=2）；奇奇得2（—1—1=—2）；偶奇得0（1-1=0）；奇偶得2（—1+1=0）。

6・•.・e'iiC，x=cos（/?

6X）+/sin（/?

euf）；不皿=cos（n曲）-isin（ncot）

一、周期函数的谐波分析

周期振动在工程中是很常见的，如旋转系统的振动信号，往复机械振动信号等等。

对于周期振动可以表示为：

x（t）=x{t±nT）〃=1,2,3,・・・（1.25）

T——周期

图1-5

当周期信号满足狄利赫莱（Dirchlet）条件，则可进行傅里叶级数展开，即

（1.26）

cosncoxt+bnsinncoxt）

式中，山、化称为傅里叶系数

2广+7、

ao=—J.x{t）dt

x（/）cosncoxtdt

（1.27）

2严丁

bn=—Jx{t）sinncoxtdt

其中①专称为基频，仞壬-时刻

（1.26）式乂可改写为

+工“sin（g/+5）n-l

（1.30）

式中4=何+矿,

班/）=工5COSg^+CPn）

5哼％=0

可见，通过傅氏技术展开，周期振动被表示成一系列频率为基频整倍数的简谐振

动的叠加，C”和厲为频率为”©的简谐振动的振幅和相位。

5=色，为兀⑴的平2

均值，这个展开过程称为谐波分析。

通过傅立叶级数将周期振动展开成一系列简谐振动（谐波）的叠加，该过程称为谐波分析。

频谱图：

令CD=G\n,ill±式可见，每一简谐振动的振幅C”和相位5与CO=（OX-II相对应,

即C”和5是频率①的函数。

将这个函数关系图表示为

5

纲2倒辺co

糾2倒3纠a

振幅频谱图一一幅频谱相位频谱图一一相谱

云no即幅频谱都为正，谱线的间隔为离散的垂直线称为谱线。

山频谱可知，一个周期振动中所包含全部简谐振动的频率分量，各种分量的幅值和相位都一目了然。

这种分析振动的方法称为频谱分析。

可以看到频谱分析实际上是将振动信号从时间域转换到频率域。

谐波分析（频谱分析）的功能（作用）：

（1）复杂信号从时间域转成频率域：

（2）转成频域后，信号的特征更加明显；

（3）分段线性的函数线性化；

（4）将激振力分解，使得系统振动分析简化：

（5）故障诊断。

二、算例：

对周期方波作谐波分析

已知：

P（r）

/i

0

O

-

一-ft

现进行傅里叶展开，计算傅里叶系数应利用积分的一些性质，从而可简化讣算,由图可知，在一周期内，方波所包含的总面积为零，所以有

2L

an=—f2tP（t）cosnco^tdt=0P（f）cosncoxt是奇函数

TJ~2

现计算化

nco}tdt=yjjsinnco^tdt

b”=¥j±P（/）sin

厶

4Z>）r11.14/>）r1T1n

=—[cosnco}t]J=—_[cos”①了+——1

Tneo、Tncox2nco}

考虑n取偶数时：

T4P1T1

・/cosneo.—=L・\b==—[一cosncox—+1=0

12/rTg12g

考虑n取奇数时：

Tt,4^r1718/>4^

•/cosneo.—=-l,・•.b=―[-cosneo.—+]==―-

2'Tneo、2n（DxTnco}htt

c”=血+时=»（p”=rg中=0

n

所以周期方波的傅氏级数为

x

P（f）=工仏sinna\t

n-l

4PJi

—-（sinco}t+—sin3qf+Tsin5却+…）

7T35

即周期方波是山频率为©的奇函数的简谐振动组成。

3.周期信号的傅里叶展开的复数形式表示

（1.26）

根据欧拉公式

cosn（x\t=—（e"!

^r+e~"'

22

oc

周期信号的傅立叶展示：

x（r）=—+（a”cosncoxt+bnsinncoxt）

J-ibf_山+叽

22-

X_"”+i"

”一2

x（t）=X（）+XXlle"^+XX_ne-i^

n-lH-i

x1X

=X"+》X”严V+工x”严,=工X,0啊

"■1/r—wn—w

\x（/）（cosncoxt一isinncoxt）dt

|Xn|=3Jd；+b：

如gX”=tg~—an

2

这时，由比」是。

的偶函数，t^Xn是。

的奇函数，所以，幅值谱图中谱线对称地分布在正负两个频率区域内，且每条谱线|X”|只是C“的一半，但各谱线之间的长度之比不变。

谱线之间的距离①=字，显然是周期T越大，谱线之间的距离就会变得越来越密集。

§1.3非周期振动与傅里叶积分

周期振动一一频谱分析（傅里叶级数展开）

非周期振动一一频谱分析（将周期看作为了=8的周期信号）

3TT

设信号x（t）,取一段X7•⑴

在（一二，=）内，Xj（t）=x（t）

22

显然，x（r）=limxT（t）

X

将与⑴延拓为周期函数，这样就可以将石⑴展开成傅里叶级数

（b41）

neo、=nAco=co,

—即2严//fFJ■—

27

代入（1-41）

呦=恣®⑴严dt宀3

2龙-=oVJ-2

当7->co,A6?

->dco.xT⑴时，上式求和转为求积，得至山

X（O=—fXfX天⑴严dt严d®

2兀——

（1.46）

（1.47）

X（e）=匸x⑴不叫〃傅立叶正变换

x（r）=f匚X9）严〃少傅立叶逆变换

（1.46）式称为傅里叶积分，也称为傅里叶变换。

用傅里叶积分表示非周期振动x（r）,x（t）III无穷多个频率为振幅为的简谐振动的叠加组成，也就是说，同周期振动表示成无穷简谐振动一样，非周期振动仍然能够表示成无穷简谐振动的叠加，但这些简谐振动的频率在（-oo,oo）内不再是离散分布，而是连续分布。

在这里，X（e）是血的复函数，是血的连续函数，这和周期振动是不一样的,

X9）的模|X”|和相角/g»X9）与。

的函数关系用图表示即得到曲）的幅值谱图和相谱图。

由于求W）傅里叶变换是x（/）lll时域变换到频域的过程，通常，把对一个非周期函数求傅里叶变换称为频谱分析。

表示方法：

1.幅值谱，相位谱

2.实部，虚部

3.对数

这里要注意的，x（/）的变换要满足一个条件，即狄利赫利条件，并绝对可积

只要这个条件成立，才能保证X（e）的存在。

另外，傅里叶变换还可以写成自变量为频率/的形式

=傅立叶正变换

A（r）=£x（/）^T//#傅立叶逆变换

这种形式更为对称。

例1・1单个矩形脉冲函数，求频谱图

阶跃函数（广义富式变换）：

有些振动信号，不满足绝对可积的条件。

如：

阶跃函数

/<0

t>0

从理论上讲，它的傅氏变换不存在，即要用到广义傅氏变换。

M（/）可以表示为：

//（/）=剋"⑴厂炉（0>0），转换为可积函数

F[u（t）e^1]=匸“（r）（“不叫〃=（t）e^e^dt

=fx『曲叫廿=（!

矿（0+切"|x）=_!

_

h-（0+血）°p+ico

这样即可得到阶跃函数M（F）的广义傅氏变换

F[n（/）]=ymF[.（r）^l=linj^-

对于一般地任意的振动信号x（r）,即它乘以e"即可傅氏变化：

X（e）=匸x（/）e"e-叫〃

实际中，当『<0时，兀（/）无意义或者不需要考虑。

只要考虑/>0的情况。

即认

为：

/<0时，x（r）=Oo

上式可写为：

令：

s=0+血

所以：

x（s）=[〉（/）厂力

上式就是拉普拉斯变换，也可记为：

X（$）=Ux（/）]

由上式可知，当S=iCD时，即可由拉式变换得到富式变换：

=xc

§1.45函数及其应用

3函数就是单位脉冲函数，它在理论分析方面很有用。

（为数学上描述脉冲函数引入的）

5函数的定义：

》函数的单位为量刚：

1/秒tS

其中，厂为任意实数

1

O

t

矩形脉冲保持脉冲面积为1，而脉冲宽度为£趋于零时的极限，即

d（/Y）=lim6（/Y）

—0

.—T

其中:

巧（/Y）=]£

0f为其它

3函数的性质（筛选性）：

对于连续函数/⑴

1.£/（/W-r）6/r=/（r）

C―询=）0（f一CM

=lim£/（0（-）^=f（t+0£）£

=/（^）

（借用了数学上的拉格朗日中值定理）

2.定义:

换一个形式：

J\r-r）=竺口=lim兀Y+£）—COtD£

解释:

匚/⑴•夕（ry）"〃=匚f（t）•hmW-Tp-Jm.jt

=lim—J/（0-[-T+£）-d（t-r）]-dt

£

=迪£[/（—G一/（^）]=-广⑺

更一般的形式：

匸几）刃"Y）〃/=（-严广坨）

》函数的这个性质非常重要。

5函数的傅立叶变换

r=0时的情况F[/（f）]=「3（/0叫〃=严）=1

J—00

IFQ（O]I

kL

相位谱为零

1

这个说明：

单位脉冲函数的频谱中包含着从零到00的各种频率成分，并且各种频率的简偕振动分量的幅值都为1.

这是自振法测结构固有频率的依据之一。

高频难测。

若r^0

F[J（r-r）]=匸刃-T）e-iadt=e~iar

IF[5（t一r）]1=1cos（-血r）+isin（-血r）1=1

（p{CO）=-CDT

即，当"0时，a函数的幅值仍为1・即不论「是否为零，幅值在0-co都为常数,

但相位有变化。

（这很正常，因为单位脉冲函数作用的时间变了）

5函数的应用：

脉冲力的表示：

在爆炸冲击力、撞击等可以近似地

脉冲力是一种作用时间无限短而具有有限冲量的力。

设脉冲力P（/）的冲量为U

则有：

U=P（f）

P（t）=U/St（△『为冲击时间）

当冲击时间无限短时，则P（/）=limU/AT=□△§（/）

除了在时间的某一点表示脉冲力之外，对于在空间的一点上集中的物理量和作用在结构上某点的集中力或集中力矩，同样可以借助于6函数，描述这个5函数的自变量应该换为空间坐标自变量。

例：

（

///

/

//

/

;

P

<

A

B

J>

►

/

/

o>

C

作用在梁上的集中力转成用分布力表示：

p（x）=P^X-a）,

p（x）dx=J：

Pd（x-a）dx=P

作用在梁上的集中力偶转成分布力偶表示：

加=“），

Jm（x）dx=£M6（x-a）dx=M