完整word版概率论与数理统计习题集及答案.docx
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完整word版概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章概率论的基本概念
2.设S={x:
0 1VX<3},B={x: 2兰<4}: 则 (1)A\」B= §1.3概率的定义和性质 1. 已知P(AuB)=0.8,P(A)=0.5,P(B)=0.6,则 (1)P(AB)= (2)(P(AB))= ⑶P(局目)= 2. 已知P(A)=0.7,P(AB)=0.3, 则P(AB)= §1.4古典概型 某班有30个同学,其中8个女同学 (2)最多有2个女同学的概率,(3) 随机地选10个,求: (1)正好有2个女同学的概率,至少有2个女同学的概率. 2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1.5条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 1. 2. 已知P(A)=1/4,P(BIA)=1/3,P(A|B)=1/2,则P(AuB)= 1. 2. §1.6全概率公式 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中’的概率相同。 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。 1. §1.7贝叶斯公式 某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求 (1)该厂产品能出厂的概率, (2)任取一出厂产品,求未经调试的概率。 2. 将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02, B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3: 2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少? 1. §1.8随机事件的独立性 电路如图,其中A,B,C,D为开关。 设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为P,求L与R为通路(用T表示)的概率。 3.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立,求下列概率: (1)恰好命中一次, (2)至少命中一次。 第1章作业答案 1.11: (1)S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}; (2)S={0,1,2,3} 2: (1)A={1,3,5}B={3,4,5,6}; (2)A={正正,正反},B={正正,反反},C={正正,正反,反正}。 1.21: (1)ABC; (2)ABC;(3)ABC;(4)AljBuC;(5)ABuACuBC; (6)ABuACuBC或ABC+ABC+ABC+ABC; 2: (1)AljB={x: 1vxc4}; (2)AB={x: 2 3 (4)A・B={x: 0 1cxc4}。 1.31: (1)P(AB)=0.3, (2)P(AB)=0.2,(3)P(AljB)=0.7.2: P(AB))=04 1.4 1: (1)c;c22/c30, (2)((c20+c8c22+c;c;2)/c30,(3)1-(c22+c8c22)/c30. 2: P43/43. 1.5 1.6 1: .2/6;2: 1/4。 1: 设A表示第一人“中”,贝UP(A)=2/10 设B表示第二人“中”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) 1.7 1.8.1: _21822 10910910 两人抽“中’的概率相同,与先后次序无关。 2: 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为: P=0.5X0.4+0.5X0.5=0.45 1: (1)94% (2)70/94;2: 0.993; 用A,B,C,D表示开关闭合,于是T=ABUCD,从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性 P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD) =P(A)P(B)+P(C)P(D) -P(A)P(B)P(C)P(D) =p2+p2-P4=2p2 2: (1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38 (2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章随机变量及其分布 §2.1随机变量的概念,离散型随机变量 一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球中的最大号码.,试写出X的分布律. 某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,—次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的次数,试写出X的分布律。 §2.20-1分布和泊松分布 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布,求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率; (2)每分钟只少有1次呼叫的概率;⑶每分钟最多有1次呼叫的概率; 设随机变量X有分布律: X23,Y n(X),试求: P0.40.6 (1)P(X=2,Y<2); (2)P(YW2);(3)已知丫<2,求X=2的概率。 §2.3贝努里分布 1一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为 机是否被使用相互独立,问在同一时刻 恰有2台计算机被使用的概率是多少? 至少有 至多有 至少有 0.6,计算 (1) ⑵ ⑶ ⑷ 3台计算机被使用的概率是多少? 3台计算机被使用的概率是多少? 1台计算机被使用的概率是多少? 2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,不小于0.9? 才能使至少击中一次的概率 §2.4随机变量的分布函数 1设随机变量X的分布函数是: F(x)={0.5 i1 一1 X>1 (1)求P(X<0);P(0 (2)写出 X的分布律。 CAx 2设随机变量X的分布函数是: F(x)= [0 x>0,求 X<0 (1)常数A,⑵P(1cX<2). §2.5连续型随机变量 1设连续型随机变量X的密度函数为: Tkx0vxc1f(X)*。 其 F(x)的图形, (1)求常数k的值; (2)求X的分布函数F(x),画出 (3)用二种方法计算P(-0.5 2设连续型随机变量X那勺分布函数为: F(x)= 0 I I1 ⑵并用二种方法计算P(X>0.5). (1)求X的密度函数f(X),画出f(X)的图形, §2.6均匀分布和指数分布 1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布 2 求方程4X+4Kx+K+2=0 有实根的概率。 2假设打一次电话所用时间(单位: 分)X服从a=0.2的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待: (1)超过10分钟的概率; (2)10分钟到20分钟的概率。 §2.7正态分布 1随机变量X〜N(3,4), (1)求P(2 (2)确定c,使得P(X>c)=P(X §2.8随机变量函数的分布 1设随机变量X的分布律为; X 0 1 2 P 0.3 0.4 0.3 T,求随机变量X的分布律。 Y=2X 2: (1)由乘法公式: P(X=2,Yw2)=P(X=2)P(Yw2|X=2)=0.4(我+2e工+2e/)=2e工 多维随机变量 §3.2二维连续型随机变量 求 (1)常数k; (2)P(X<1/2,Y<1/2);(3)P(X+Y<1);(4)P(X<1/2)。 e^ f(x,y)”0 §3.1二维离散型随机变量 设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取个数,用丫表示取到的白球个数,写出 ⑵P(X>1|Y=2)=0.5;(3)已知X与丫相互独立。 随机变量的数字特征 §4.1 1.盒中有 (A)1; 数学期望 5个球,其中 (B) 2个红球,随机地取3个, 1.2; (C)1.5; X表示取到的红球的个数,则EX是: (D)2. 2 其他, [3x1 2.设X有密度函数: f(X)= 10 求E(X),E(2X—1),E(A),并求X X 大于数学期望E(X)的概率。 3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: XKy 0 1 2 已知E(XY)=0.65, 0 0.1 0.2 a 1 b 0.2 (A)a=0.1,b=0.3;(B)a=0.3,b=0.1; a和b的 O.1 (C)a=0.2,b=0.2; (D)a=0.15,b=0.25。 则E(X2-2X+3)是: 相互独立。 §4.3方差 §4.2数学期望的性质 1.设X有分布律: 2.X有密度函数: 讪屮讪4其x他2,求D(X). ',b其他 §4.4常见的几种随机变量的期望与方差 1.设X~兀 (2),Y-B(3,0.6),相互独立,则E(X-2Y),D(X-2Y)的值分别是: (A)-1.6和4.88;(B)-1和 4;(C)1.6和4.88;(D)1.6和-4.88. E(XY)=E(X)E(Y),则X与丫相互独立; 2.若COV(X,Y)=0,则不正确的是() X、丫 -1 0 1. -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 (A)必要条件;(B)充分条件: (C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 (D)既不必要,也不充分。 X与丫不相关,但不独立。 (A)必要条件;(B)充分条件: (C)充要条件; 6.设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下: 试验证 22 y/4XcyC其他 第4章作业答案 §4.1 1: B; 2: 3/2,2,3/4,37/64;3: D;4: 2/3 4/3,17/9; §4.2 1: D; §4.3 1: 7/2, 35/12;2: 11/36; §4.4 1: A 2: B; §4.5 1: 0.2, 0.355;2: -1/144,—1/11; §4.6 1: C; 2: C;3: X与丫不相关,但X与丫不相互独立; 4: C;5: A; 第5章极限定理 大数定理中心极限定理 *§5.1§5.2 1.一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用,其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。 2.某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。 数理统计中的几个概念 §6.1 1.有n=10的样本;1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4,则样本 2•设总体方差为b2有样本X1,X2,…,Xn,样本均值为X,则Cov(X1,X)= §6.2数理统计中常用的三个分布 2.设Xi,X2,…,Xn是总体/2(m)的样本,求E(X),D(X)。 §6.3一个正态总体的三个统计量的分布 1.设总体X-N(巴CT2),样本X1,X2,…,Xn,样本均值X,样本方差S2,则 As(X\-X)2 忑\1 第6章作业答案 第7章参数估计 Z的值,在实地随机地调查了20次, 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X〜兀(A),为估计 每次1分钟,结果如下: 次数: 234 量数: 95374 试求A的一阶矩估计和二阶矩估计。 §7.2极大似然估计 X1,X2,,Xn,证明a? =2X—1是a 2 aX+(1—a)S是参数入的无偏估计 未知参数9的极大似然估计。 §7.3估计量的评价标准 1.设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布,有样本 的无偏估计。 2.设总体X〜兀仏),有样本X1,X2,…,Xn,证明 (0cac1)。 §7.4参数的区间估计 1.40,1.32,1.42,1.47,试求4的置 2 (2)若b未知 量其纤度为: 1.36,1.49,1.43,1.41,1.27, 信度为0.95的置信区间, (1)若b2=0.0482, 2.2.为分析某自动设备加工的另件的精度,抽查16个另件,测量其长度,得x=12.075 假设检验 1.某种电子元件的阻值(欧姆)X〜N(1000,400),随机抽取25个元件,测得平均电 阻值X=992,试在a=0.1下检验电阻值的期望4是否符合要求? 2 2.在上题中若CT未知,而25个元件的均方差S=25,则需如何检验,结论是什么? §8.2假设检验的说明 1.设第一道工序后,半成品的某一质量指标X〜N(比64),品质管理部规定在进入下一工 序前必需对该质量指标作假设检验h0: 4=A0,比: 4工%;n=16,当X与卩0的绝 对偏差不超过3.29时,许进入下一工序,试推算该检验的显著性水平。 §8.3一个正态总体下参数的假设检验 1.成年男子肺活量为卩=3750毫升的正态分布,选取20名成年男子参加某项体育锻练一 定时期后,测定他们的肺活量, 得平均值为X=3808毫升,设方差为CT2=1202,试检 验肺活量均值的提高是否显著(取 第8章作业答案 a=0.02)? §8.1 1: 拒绝H0: 卩=1000; 接受H。 : 卩=1000; §8.2 1: 0.1; §8.3 1: 拒绝H0;
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