上海九年级数学上知识总结.docx
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上海九年级数学上知识总结
上海九年级数学上知识总结
1)
上海九年级数学上知识总结
相似三角形基本知识
知识点一辛放缩与相似形知识点二:
比例线段有关概念及性质
(1)有关概念
1、比,选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a:
b=m:
n(或;专)
2、比的前项,比的后项:
两条线段的比a:
b中。
a叫做比的前项,b叫做比的后项。
说明:
求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度。
3.比例:
两个比相等的式子叫做比例,如貯
4、比例外项:
在比例^专(或a:
b=c:
d)中a*d叫做比例外项。
5>比例内项:
在比例冷亏(或a:
b=c:
d)中b、c叫做比例内项。
6.第四比例项:
在比例冷亏(或/b=c;d)中,d叫b>c的第四比例项。
7.比例中项:
如果比例中两个比例内项相等,即比例为X(或a:
b=b:
c时,我们把b叫做a和d的比例中项。
&比例线段:
对于四条线段冬b.c.d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即『夕
ba
(或农b=C:
d),那么,这四条线段叫做成比例线段,
2•反比性质:
acbd
(把比的前项、后项交换)
葡称比例线段。
(2)比例性质
(注意;在求线段比时,线段嵐位要统一,单位不统一应先化成同一单位)
3.更比性质咬换比例的内项或外项):
-=4*(交换内项)
ca
彳亠(交换外项)
bdba
2上侗时交换内外项)ca
注意
4-合比性质,計汁字=宁(分子加(减〉分母,分母不变)
b-ad-c
发生同样和整变化岀例仍成立-如;
hd
ac
a-bc-d
ci¥bcd
i实际上,比例的合比性质可扩展対:
比例式中等号左右两个比的前项,后项之间
5.等比性质:
(分子分母分别相加,比值不甕>
…旦(b+d+f+…UHO),那么…+"二?
nh+d+f+…斗nh
(刃应用竽比性质时.要考虎到分母是否为零.
©)可利用分式性质将连等式的每一个比的師项与后项同时乘以一个数.再利用等比性质也成立.
知识点三:
黄金分割
1)定义:
在线段AB±f点C把线段昇〃分成两条线段
3)AC和BC(AC>BC),女口果竺=BC,即AC2=ABXBC,
ABAC
那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比。
其中AC=-^AB〜0.618AB。
2
2)黄金分割的几何作图:
已知:
线段AB.求作:
点C使C是线段AB的黄金分割点.
作法:
①过点B作BDLAB使"」;
2连结AD,在DA上截取DE=DB
3在AB上截取AC=AE则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为:
AC^5-1
-.(只要求记住)
3)矩形中,如果宽与长的比是黄金比,这个矩形叫做黄金矩形。
知识点四:
平行线分线段成比例定理
(一)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应
线段成比.
2.推论:
平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的
延长线)所得的对应线段成比例.
.此推论较原定
理应用更加广泛,条件是平行.
3.推论的逆定理:
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例•那么这条直线平行于三角形的第三边•(即利用比例式证平行线)
4•定理:
平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例•
5.平行线等分线段定理:
三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等,难么在另一条直线上截得的线段也相等。
★★★三角形一边的平行线性质定理
★★★三角形一边的平行线性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
★★★三角形一边的平行线的判定定理
三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边•
★★★平行线分线段成比例定理
1平行线分线段成比例定理:
两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比
例•用符号语言表示:
ADIIBEII
CF.ABDEBCEFABDE‘‘BC一EF'AC一DF'AC一DF
的线段相等,那么在另一直线上所截得的线段也相等
重心定义:
三角形三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心.
重心的性质:
三角形的重心到一个顶点的距离,等于它
到对边中点的距离的两倍.
知识点三:
相似三角形
1、相似三角形
1)定义:
如果两个三角形中,三角对应相等,三边对应
成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系:
两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充:
对于多边形而言,所有圆相似;所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等);
2)性质:
两个相似三角形中,对应角相等、对应边成比例。
3)相似比:
两个相似三角形的对应边的比,叫做这两个三角形的相似比。
女口△ABC与△DEF相似,记作△ABC
DEF。
相似比为k。
4)判定:
①定义法:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理:
平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相
似。
三角形相似的判定定理:
判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似•简述为:
两角对应相等,两三角形相似.(此定理用的最多)
判定定理2:
如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似•简述为:
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
判定定理3:
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似•简述为:
三边对应成比例,两三角形相似.
直角三角形相似判定定理:
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2•直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似,并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一:
直角三角形中的相似问题:
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似
射影定理:
CD2=AD-BD,
AC2=AD-AB,
BC2=BD-BA
(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用)
补充二:
三角形相似的判定定理推论
推论一:
顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二:
腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三:
有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四:
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五:
如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质
1相似三角形对应角相等、对应边成比例•
2相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).
3相似三角形对应面积的比等于相似比的平方•
锐角三角函数知识点总结与复习
1、勾股定理:
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
a2+b2=c2
1.如下图,在Rt△ABC中,/C为直角,
则/A的锐角三角函数为(ZA可换成/B):
定义
表达式
取值范围
关系
正弦
.AZA的对边
sinA=———
斜边
..asinA=—c
0vsinA£1
(ZA为锐角)
b
sinA=cosBcosA=sinB
sin2A+cos2A=1
余弦
八ZA的邻边
cosA=
斜边
cosA=bc
0vcosA<1(ZA为锐角)
正切
ZA的对边
tanA_Ar7,
ZA的邻边
a
tanA=—
b
tanAa0(ZA为锐角)
tanA=cotBcotA=tanB
1
tanA=(倒数)
cotA
tanAcotA=1
余切
ZA的邻边cotA-”「丄
ZA的对边
b
cotA=_
a
cotA>0(ZA为锐角)
sinA=cos(90-A)cosA=sin(90-A)
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
sinA=cosB由乂A+NB=90;
cosA=sinB得Nb=90°—^A
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
当0°<><90°时,tan:
-随〉的增大而增大,cot:
-随〉的增大而减小
1、解直角三角形的定义:
已知边和角(两个,其中必有一边)-所有未知的
⑶坡面的铅直高度h和水平宽度I的比叫做坡度(坡比)。
用字母i表示,即
i专。
坡度一般写成1m的形式’如i九5等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinot
0
1
V2
43
1
2
2
2
cosa
1
西
匹
1
0
2
2
2
tana
0
旦
1
43
不存在
3
做坡角),那么ifE
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。
如图3,OAOBOC0D的方向角分别是:
45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。
如图4:
OAOBOCO□的方向角分别是:
北偏东30°(东北方向),南偏东45°(东南方向),南偏西60°(西南方向),北偏西60°(西北方向)。
第一部分基础知识
2
1•定义:
一般地,如果y=axbxc(a,b,c是常数,a"),那么y叫做x的二次函数.
2
2.二次函数y=ax的性质
2
(1)抛物线y=ax的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.
_2
(2)函数y=ax的图像与a的符号关系.
1当a0时:
二抛物线开口向上:
二顶点为其最低点;
2当a:
:
:
0时:
二抛物线开口向下:
二顶点为其最高点.
_2
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y=ax(a=0).
3.二次函数y=axbxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
bt4ac—b2
22h———k=
4.
22
②y=axk:
③y二ax_h‘④
二次函数y=axbxc用配方法可化成:
y=ax-hk的形式,其中2a'4a
_2
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①y=ax
y二ax-h?
k卫y=ax2bxc
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点
①a的符号决定抛物线的开口方向:
当a0时,开口向上;当a■0时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地,y轴记作直线x=0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只
是顶点的位置不同.
8.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
x=h.
(3)运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,
对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失
2
9.抛物线y=axbxc中,a,b,c的作用
2
(1)a决定开口方向及开口大小,这与y=ax中的a完全一样.
b
y轴左侧;③a:
:
0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
①c=0,抛物线经过原点;②c>0,与y轴交于正半轴;③cv0,与y轴交于负半轴
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立
.如抛物线的对称轴在
y轴右侧,则
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
2
y=ax
当a>0时,
x=0(y轴)
(0,0)
y=ax2+k
开口向上;
X=0(y轴)
(0,k)
2
y=a(x—h)
当ac0时,
开口向下。
x=h
(h,0)
2
y=a(x—h)+k
x=h
(h,k)
y=ax2+bx+c
b
x=-一
2a
b4ac-b2
(2a'4a)
(3)交点式:
已知图像与x轴的交点坐标Xi、X2,
y=a(x_hf
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
y=aXbxc
已知图像上三点或三对值,通常选择一般式.
(2)顶
像的顶点或对称轴,点式.
通常选用交点式:
y^ax-X1X-x2.
12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线y=axbxc得交点为(0,
C).
占
八、、
.已知图
通常选择顶
_2
(2)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax
bxc有且只有一个交点(h,ah2bh
-c).
(3)抛物线与x轴的交点(xi,O)、(X2,0)
二次函数ybxc的图像与x轴的两个交点的横坐标X1、x2,是对应一元二次方程
2
axbxc=0的两
个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点:
=”0:
=抛物线与X轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)=丄抛物线与x轴相切;
③没有交点Uu:
:
:
0:
=抛物线与X轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为
k,则横坐标是
2
axbxk的两个实数根.
(5)一次函数
2
kx•nk=0的图像l与二次函数y二ax•bx•ca=0的图像g的交点,由方程组
:
y=kxn
y^X2bxc的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时:
二l与G有两个交点;②方程组只有一组解时=l与G
只有一个交点;③方程组无解时=1与G没有交点.
2*r
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线y=ax*bx*c与x轴两交点为A(X1,O),B(X2,0),由于捲、
2
x2是方程axbx^0的两个根,故
X1X2「b,X1X2‘
aa
AB=Xi_x2=Xi_x2=X1-x2
第二部分典型习题
1.抛物线y=x2+2x-2的顶点坐标是()
A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3)
2.已知二次函数y=axbxc的图象如图所示,则下列结论正确的是()
A.ab>0,c>0B.ab>0,c<0C.abv0,c>0D.ab<0,cv0
3.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是()
A.a>0,b<0,c>0B.a<0,b<0,c>0
C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b>0,c>0
4.如图,已知ABC中,bc=8,bc上的高h=4,d为bc上一点,EF//BC,交ab于点e,交ac于点f(ef不过a、
6.已知二次函数y=E+-1)x—1与x轴交点的横坐标为xi、X2(Xi ①当x=-2时,y=1; 2 ②当X>X2时,y>0;③方程kX+(2k-1)X~1=0有两个不相等的实数根X1、X2: ④X1<-1,x2>—1: ⑤ J1+4k2 X2XLk,其中所有正确的结论是(只需填写序号) 7.已知直线勺=敛bb-J0与x轴交于点A,与y轴交于点B;—抛物线的解析式为 (1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2xb上,试确定这条抛物线的解析式; (2)过点B作直线BC丄AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y=_2x'b的解析式. 8.有一个运算装置,当输入值为x时,其输岀值为y,且y是x的二次函数,已知输入值为—2,0,1时,相应的输岀值分 别为5,-3,-4. (1)求此二次函数的解析式; (2)在所给的坐标系中画岀这个二次函数的图象,并根据图象写岀当输岀值y为正数时输入值X的取值范围. 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现: 骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同•他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图•请根据图象回答: ⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的? 它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式. 24 y=ax2+3a)x+4 10.已知抛物线3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形.若 存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由. 11.已知抛物线y=—x2+mx—m+2. (1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=・5,试求m的值; (2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点MN,并且△MNC勺面积等于27,试求m的值.
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