杭州数学考纲附知识点教学教材.docx
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杭州数学考纲附知识点教学教材
数与代数
(一)数与式
⒈有理数
考试内容:
有理数,数轴,相反数,数的绝对值,有理数的加、减、乘、除、乘方,加法运算律,乘法运算律,简单的混合运算.
考试要求:
Ⅰ.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小.
有理数:
零(zero)既不是正数,也不是负数。
正整数,零和负整数统称为整数(integer),正分数和负分数统称为分数(fraction)。
整数和分数统称为有理数(rationalnumber)。
数轴:
画一条直线(一般画成水平的),在直线上取一点O作为原点,表示0;规定直线的一个方向(一般取从左到右的方向)为正方向,用箭头表示,相反的方向为负方向;再去适当的长度为单位长度。
像这样规定了原点(origin)、单位长度(unitlength)和正方向(positivedirection)的直线叫做数轴(numberline)。
比较大小:
数轴上表示两个数,右边的数总大于左边的数。
数都大于零,负数都小于零,正数大于负数。
两个正数比较大小,绝对值大的数大;两个负数比较大小,绝对值大的数反而小。
Ⅱ.理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).
相反数:
如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数(oppositenumber)。
零的相反数是零。
在数轴上,表示互为相反数(零除外)的两个点,位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。
绝对值:
我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值(absolutevalue)
一般的,一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
Ⅲ.理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律、运算顺序以及简单的有理数的混合运算(以三步为主).
加法:
同号两数相加,取取与加数相同的符号,并把绝对值相加。
异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值去减较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得零;一个数同零相加,仍得这个数。
加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,和不变。
a+b=b+a
加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
(a+b)+c=a+(b+c)
减法:
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
乘法:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数和零相乘,积为零。
乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积不变。
a×b=b×a
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变。
(a×b)×c=a×(b×c)
分配律:
一个数与两个数的和相乘,等于把这两个数相乘,再把积相加。
a×(b+c)=a×b+a×c
若两个有理数的乘积为1,就称这两个有理数互为倒数。
除法:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;零除以任何一个不为零的数都为零。
除以一个数(不等于零),等于乘以这个数的倒数。
乘方:
这种求几个相同因数的积的运算叫乘方(involution),乘方的结果叫幂(power),在an中,a叫做底数(base),n叫做指数(exponent)。
运算顺序:
先算乘方,再算乘除,最后算加减。
如有括号,先进行括号里的运算。
Ⅳ.能用有理数的运算律简化有关运算,能用有理数的运算解决简单的问题.
⒉实数
考试内容:
无理数,实数,平方根,算术平方根,立方根,近似数和有效数字,
二次根式,二次根式的加、减、乘、除运算法则,简单的实数四则运算.
考试要求:
Ⅰ.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根.
平方根:
一般的,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根(squareroot),也叫做a的二次方根。
一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
算术平方根:
正数的正平方根和零的平方根,统称为算术平方根。
立方根:
一般的,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根(cuberoot),也叫做a的三次方根。
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
求一个数的立方根的运算叫做开立方
Ⅱ.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根,会用科学计算器求平方根和立方根.
Ⅲ.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应.
无理数:
无限不循环小数叫做无理数(irrationalnumber)。
实数:
有理数和无理数统称为实数(realnumber)。
在数轴上表示的两个实数,右边的数总大于左边的数。
Ⅳ.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
Ⅴ.了解近似数与有效数字的概念,会按要求求一个数的近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并按问题的要求对结果取近似值.
近似数:
像这样与事实接近的数称为近似数。
有效数字:
从左边第一个不是零的数字起,到末尾为止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
Ⅵ.了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则,会用运算法则进行有关实数的简单四则运算.
运算法则:
实数的运算顺序是先乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果遇到括号,则先进行括号里的运算。
⒊代数式
考试内容:
代数式,代数式的值,合并同类项,去括号.
考试要求:
Ⅰ.了解用字母表示数的意义.
利用字母表示数,能把数和数量的关系一般化的、简明地表示出来。
Ⅱ.能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示.
代数式:
含有字母的数学表达式称为代数式(algebraicexpression),一个代数式由数、表示数的字母和运算符号组成,单独一个数或字母也成代数式。
单项式:
由数与字母或字母与字母项城组成的代数式叫做单项式(monomial)。
单独一个数或字母也叫单项式,单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数(coefficient)。
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(degree)。
多项式:
由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式(polynomial)。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term),不含字母的项叫做常数项(constantterm),次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。
整式:
单项式、多项式统称为整式。
Ⅲ.能解析一些简单代数式的实际背景或几何意义.
Ⅳ.会求代数式的值;能根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入具体的值进行计算.
Ⅴ.掌握合并同类项的方法和去括号的法则,能进行同类项的合并.
同类项:
多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,叫做同类项(liketerms),所有常数项也看做同类项,把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项(combiningliketerms)
合并同类项的法则:
把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
整式的加减:
括号前是“+”号,把括号前和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变;括号前是“-”号,把括号前和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号。
⒋整式与分式
考试内容:
整式,整式加减,整式乘除,整数指数幂,科学记数法.
乘法公式:
.
因式分解,提公因式法,公式法.
分式、分式的基本性质,约分,通分,分式的加、减、乘、除运算.
考试要求:
Ⅰ.了解整数指数幂的意义和基本性质,会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).
幂:
这种求几个相同因数的积的运算叫乘方(involution),乘方的结果叫幂(power),在an中,a叫做底数(base),n叫做指数(exponent)。
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
am·an=am+n
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(am)n=amn
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
(ab)n=anbn
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
任何不等于零的数的零次幂都等于1.
任何不等于零的数的-p(p是正数)次幂,等于这个数的p次幂的倒数。
科学计数法:
a×10的n次幂的形式。
将一个数字表示成(a×10的n次幂的形式),其中1≤|a|<10,n表示整数,这种记数方法叫科学记数法。
Ⅱ.了解整式的概念,会进行简单的整式加、减运算;会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘).
整式:
单项式、多项式统称为整式。
整式的加减:
括号前是“+”号,把括号前和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变;括号前是“-”号,把括号前和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号。
多项式的乘法:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
(a+n)(b+m)=ab+an+bn+bm
乘法公式:
平方差公式:
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
(a-b)(a+b)=a2-b2
完全平方公式:
两数和(或两数差)的平方,等于这两数的平方和,加上(或减去)这两数积的2倍。
(a±b)2=a2±2ab+b2
Ⅲ.会推导乘法公式:
;
,了解公式的几何背景,并能进行简单计算.
Ⅳ.会用提公因式法和公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).
因式分解:
把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫做因式分解(factorization),也叫分解因式。
因式分解和整式乘法具有互逆性。
提公因式法:
一个多项式中每一项都含有相同的因式,叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项含有共同的公因式,那么可把该公因式提取出来进行因式分解,这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变号;括号前面的是“-”号,括到括号里的各项都要变号。
公式法:
平方差公式:
两数的平方差,等于这两数和与这两数差的积。
a2-b2=(a-b)(a+b)
完全平方公式:
两数的平方和,加上(或减去)这两数积的2倍,等于这两数和(或两数差)的平方。
a2±2ab+b2=(a±b)2
Ⅴ.了解分式的概念,掌握分式的基本性质,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、乘、除运算.
分式:
表示两个整式相除,且分母中含有字母的代数式叫做分式(algebraicfraction)。
分式中字母的取值不能是分母为零,当分母的值为零时,分式就没有意义。
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
分式乘分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母。
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
(二)方程与不等式
⒈方程与方程组
考试内容:
方程和方程的解,一元一次方程及其解法,一元二次方程及其解法,二元一次方程组及其解法,可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个).
考试要求:
Ⅰ.能够根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
方程:
方程(equation)是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,是含有未知数的等式,通常在两者之间有一等号“=”。
方程不用按逆向思维思考,可直接列出等式并含有未知数。
它具有多种形式,如一元一次方程、二元一次方程等。
广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。
Ⅱ.会用观察、画图或计算器等手段估计方程的解.
解(也称作根):
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(solution).
Ⅲ.会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个).
一元一次方程:
方程两边都是整式,及含有一个未知数,并且未知数的指数是一次,这样的方程叫做一元一次方程(linearequationinoneunknown)。
二元一次方程:
方程两边都是整式,及含有两个个未知数,并且含有未知数的项的次数都是一次,这样的方程叫做二元一次方程(linearequationintwounknowns)。
二元一次方程组:
由两个一次方程组成,并且含有两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组(linearsystemintwounknowns).
分式方程:
只含有分式或分式和整式,并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程(equationwithalgebraicfraction)。
Ⅳ.理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.
一元二次方程:
方程两边都是整式,及含有一个未知数,并且未知数的指数是2次,这样的方程叫做一元一次方程(quadraticequationinoneunknown)。
因式分解法:
将方程因式分解成
的形式,两解为x1,x2
公式法:
在
中,
配方法:
将方程因式分解成
的形式,解为
Ⅴ.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解的合理性.
⒉不等式与不等式组
考试内容:
不等式,不等式的基本性质,不等式的解集,一元一次不等式及其解法,一元一次不等式组及其解法.
考试要求:
Ⅰ.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,掌握不等式的基本性质.
不等式:
用符号“﹤”(或“≤”),“>”(或“≥”),“≠”连接而成的数学式子,叫做不等式(inequality)。
这些符号统称不等号(inequalitysymbol)。
不等式的传递性
不等式两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立。
不等式两边都乘上(或除去)同一个正数,所得到的不等式仍成立。
不等式两边都乘上(或除去)同一个负数,必须把不等号的方向改变,所得到的不等式仍成立。
Ⅱ.会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解集.
一元一次不等式:
方程两边都是不等式,及含有一个未知数,并且未知数的指数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式(linearinequalityinoneunknown)。
能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集,简称为不等式的解。
一元一次不等式组:
由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式,叫做一元一次不等式组。
组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解,当它们没有公共部分时,我们成这个不等式组无解。
用数轴确定解集:
用实心点表示包括这一个点所代表的数,用空心点表示不包含这个点所代表的数。
Ⅲ.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简单的问题.
(三)函数
⒈函数
考试内容:
平面直角坐标系,常量,变量,函数及其表示法.
考试要求:
Ⅰ.会从具体问题中寻找数量关系和变化规律.
Ⅱ.了解常量、变量、函数的意义,了解函数的三种表示方法,会用描点法画出函数的图象,能举出函数的实际例子.
常量:
在一个过程中,固定不变的量叫做常量(constant)。
变量:
在一个过程中,可以取不同数值的可变化的量叫做变量(variable)。
函数:
在某个变化过程中,设有两个变量,如果对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值,那么就说y是x的函数(function),x叫做自变量(independentvariable)。
函数用等式来表达,这种表示函数关系的等式,就叫函数解析式,简称函数式,用函数解析式表示函数的方法也叫解析法。
把自变量的一系列数值和函数的对应值列成一个表,这种表示函数关系的方法叫做列表法。
解析法、图像法和列表法是函数的三种常用表示方法。
Ⅲ.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
Ⅳ.能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围,并会求出函数值.
函数值:
当自变量有一个值,则应变量的值称为函数值。
Ⅴ.能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系.
Ⅵ.结合对函数关系的分析,尝试对变量的变化规律进行初步预测.
⒉一次函数
考试内容:
一次函数,一次函数的图象和性质,二元一次方程组的近似解.
考试要求:
Ⅰ.理解正比例函数、一次函数的意义,会根据已知条件确定一次函数表达式.
形似y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)的函数叫做一次函数(linearfunction),当b为0时,一次函数y=kx+b就变为y=kx(k是常数且k≠0),叫做正比例函数(functionofdirectproportion),常数k叫做比例系数(constantofvariation)
两点确定一条直线,两个点的坐标确定一个一次函数。
Ⅱ.会画一次函数的图象,根据一次函数的图象和解析式
,理解其性质(k>0或k<0时图象的变化情况).
k大于0时,一次函数y随x的增大而增大。
k小于0时,一次函数y随x的增大而减小。
Ⅲ.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
分别用两个方程表示成两个一次函数,再在直角坐标系中画出两个一次函数,交点坐标即为二元一次方程的解。
Ⅳ.能用一次函数解决实际问题.
⒊反比例函数
考试内容:
反比例函数,反比例函数图象及其性质.
考试要求:
Ⅰ.理解反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
若变量y与x成反比例,则有xy=k(k为常数且不为零),也就是说y=k/x.
我们把函数y=k/x(k为常数且不为0)叫做反比例函数(reciprocalfunction),这里x是自变量,y是x的函数,k叫做比例系数。
一个点可以确定一个反比例函数。
反比例函数的图像是由两个分支构成,k大于0时,图像在一,三象限;k小于0时,图像在二,四现象。
该图像关于原点中心对称,关于直线y=x,直线y=-x轴对称。
Ⅱ.能画出反比例函数的图象,根据图象和解析式
理解其性质(k>0或k<0时,图象的变化情况).
k大于0时,在图像所在象限内,函数值y随自变量x增大而减小;k小于0时,函数值y随自变量x增大而增大。
Ⅲ.能用反比例函数解决某些实际问题.
⒋二次函数
考试内容:
二次函数及其图象,一元二次方程的近似解.
考试要求:
Ⅰ.理解二次函数和抛物线的有关概念,能对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式.
形似
(a,b,c是常数,a不为零)的函数叫做二次函数(quadraticfunction),称a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。
二次函数图像是一个抛物线(parabola),抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
它的图像是一条抛物线,它关于y轴对称,顶点是原点。
a大于0
a小于0
开口向上,顶点是最低点。
开口向下,顶点是最高点。
Ⅱ.会用描点法画出二次函数的图象,能结合图象认识二次函数的性质.
Ⅲ.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求推导和记忆),并能解决简单的实际问题.
在函数y=ax2+bx+c中,顶点(
),对称轴是直线
a大于0时,开口向上,a小于0时,开口向下。
Ⅳ.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
把一元二次方程转化成一般形式,设函数y为ax2+bx+c,画出图像,与x轴交点即为方程的解。
补:
Ⅴ.用直角坐标系:
有序数对:
可以用有序数对确定一个物体的位置。
用(a,b)表示。
直角坐标系:
在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点O的数轴,其中一条叫做x轴(x-axis,又叫横轴),通常画成水平,另一条y轴(y-axis,又叫纵轴),通常画成铅垂,这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标(planerectangularcoordinatesystem),简称直角坐标系,坐标系所在平面叫做坐标平面,两坐标轴的公共原点叫做该直角坐标系的原点。
x轴和y轴把坐标平面分成四个象限(quadrant),x轴和y轴不属于任何象限。
对于平面内任意一点M,作MM1⊥x轴,MM2⊥y轴,设垂足为M1,M2在各自数轴上所表示的数为x,y,则x叫做M点的横坐标(abscissa),y叫做M点的纵坐标(ordinate),有序实数对(x,y)叫做M点的坐标(coordinate)。
坐标的思想是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的。
空间与图形
(一)图形的认识
⒈点、线、面,角.
考试内容:
点、线、面、角、角平分线及其性质.
考试要求:
Ⅰ.在实际背景中认识,理解点、线、面、角的概念.
点:
点是所有图形的基础。
线:
线就是由无数个点连接而成的。
端点
延伸方向
长度
线段
2个
没有
有限
射线
1个
向一个方向
无限
直线
没有
向两个方向
无限
面:
面就是由无数条线组成的。
Ⅱ.会比较角的大小,能估计一个角的大小,会计算角度的和与差,认识度、分、秒,会进行简单换算.
角:
具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角(angle)。
这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的两条边。
Ⅲ.掌握角平分线性质定理及逆定理.
角平分线:
从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线(bisectorofangle)。
三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等。
三角形的角平分线不是角的平分线:
前者是线段,后者是射线。
其它解释:
角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合。
性质
角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等。
角平分线分得的两个角相等,都等于该角的一半。
角的内部到角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上。
(逆运用)
角平分线的做法
1.以点O为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角AOB两边于点M,N。
2.分别以点M,N为圆心,以大于1/2MN的长度为半径画弧,两弧交于点P。
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
当然,角平分线的作法有很多种。
下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB,且使得OM=ON,OA=OB;
2.连接AN与BM,他们相交于点P;
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
⒉相交线与平行线
考试内容:
补角,余角,对顶角,垂线,点到直线的距离,线段垂直平分线及其性质,平行线,平行线之间的距离,两直线平行的判定及性质.
考试要求:
Ⅰ.了解补角、余角、对顶角的概念,知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.
补角:
两角之和等于180°,那么这两个角互为补角(supplementaryangle).其中一个角叫做另一个角的补角。
同角的补角相等。
等角的补角相等。
余角:
两角之和是直角(90°),那么称这两个角互为余角(complementaryangle),其中一个角是另一个角的余角。
同角的余角相等。
等角的余角相等。
对顶角:
一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角(verticalangles,oppo
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